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Construction élémentaire à la règle et au compas

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Catégorie parente: Autour des maths

Catégorie : Constructions à la règle et au compas

Créé le lundi 6 juillet 2009 18:31

Mis à jour le samedi 5 janvier 2013 19:31

Écrit par David Zancanaro

On donne ici l'exemple de neuf constructions élémentaires à la règle et au compas :

1. Si on se donne une droite `(AB)`, et un point `C`, la perpendiculaire à `(AB)` passant par `C` est une droite constructible à la règle et au compas.
   On l'obtient de la manière suivante :
   

   • On trace le cercle de centre `A` passant par `C`
   • On trace le cercle de centre `B` passant par `C`
   • La droite passant par les intersections de ces deux cercles est perpendiculaire à la droite `(AB)` et passe par `C`.
   
   En effet, on a construit un cerf-volant et nous savons que les diagonales d'un cerf-volant sont perpendiculaires.
   Il est alors aisé de tracer une perpendiculaire quelconque à une droite donnée (on prend `C` au hasard).



2. Si on se donne une droite `(AB)` et un point `C`, la parallèle à `(AB)` passant par `C` est une droite constructible (sous entendu à la règle et au compas).
   On l'obtient de la manière suivante :
   
   • On trace la droite `(AC)`
   • On trace le cercle de centre `A` passant par `C`. Il recoupe`(AC)` en un point `C_1`
   • On trace `(BC_1)`
   • On trace le cercle de centre `B` passant par `C_1`. Il recoupe `(BC_1)` en `C_2`
   • La droite ` (C C_2 )` est parallèle à `(AB)` et passe par `C`.
   
   
   En effet, cette construction est une application du théorème de Thalès.
   Il est alors aisé de tracer une parallèle quelconque à une droite donnée (on prend `C` au hasard).



3. Si on se donne deux points, le milieu et la médiatrice du segment formé par ces deux points sont constructibles.
   

   • On trace un cercle de centre l'une des extrémités du segment et de rayon visiblement strictement supérieur à la moitié de la longueur du segment.
   • On trace un cercle de centre l'autre extrémités du segment et de même rayon.
   • La droite passant par les intersections de ces deux cercles est perpendiculaire au segment en son milieu. Il s'agit de sa médiatrice.
   
   
   En effet, nous avons construit un losange dont les diagonales se coupent en leur milieu et sont perpendiculaires.
   



4. Si on se donne deux droites non parallèles, alors la bissectrice de l'angle formé par ces deux droites est constructible.
   
   • On trace un cercle de centre le sommet de l'angle et de rayon quelconque. Il coupe les côtés de l'angle en `A` et `B`
   • On trace un cercle de centre `A` et de rayon visiblement strictement supérieur à la moitié de la longueur `AB`
   • On trace un cercle de centre `B` et de même rayon
   • La droite passant par les intersections de ces deux cercles partage l'angle considéré en deux parties égales. Il s'agit de sa bissectrice.
   
   
   
   En effet, nous avons construit un cerf-volant d'axe de symétrie cette droite.
   
   
   Remarque : il est donc possible de partager un angle en deux à l'aide de la règle et du compas, alors qu'il est impossible de réaliser la trissection de l'angle (cf construction élémentaire à la règle et au compas) .



5. Si on se donne un segment `[AB]` de longueur 1, alors on peut construire un segment `[BC]` de longueur `sqrt2`, on dit alors que `sqrt2` est constructible à la règle et au compas.
   
   • Tracer le cercle `C_1` de centre `A` et de rayon `AB`. Il coupe `[BA)` en `B'`, symétrique de `B` par rapport à `A`
   • Tracer le cercle `C_2` de centre `B` et de rayon `r > AB`
   • Tracer le cercle `C_3` de centre `B'` et de rayon `r`, il coupe `C_2` en `H` et `H'`.
   • La droite `(HH')` ou encore `(AH)` est la médiatrice du segment `[BB']`.
   • Tracer le segment `[AH]` il intersecte `C_1` en un point `C`Le segment `[BC]` est de longueur `sqrt2`.
   
   
   
   
   En effet, le triangle `ABC` est rectangle isocèle en `A`, d'hypoténuse `[BC]` de longueur `sqrt 2` d'après le théorème de Pythagore.



6. Si on se donne un segment `[OB]` de longueur `u`, alors on peut construire un segment `[OH]` de longueur `sqrt u`
   

   • On construit le point `A` tel que `OA=1` et `A in (OB)` et non au segment `[AB]`.
   • On construit le cercle Γ de diamètre `AB`.
   • `H` est un point d'intersection entre Γ et la perpendiculaire à `(OB)` passant par `O`.
   • La distance `OH` mesure alors `sqrt u`

   
   

   
   

   En effet, en appliquant le théorème de Pythagoredans les triangles rectangles `ABH`, `AOH` et `HOB`, on obtient trois équations à trois inconnues (`AH`, `HB` et `OH`). En résolvant ce système, on trouve alors `OH=sqrt u`.



7. Duplication du carré : Si on se donne un carré de coté `c` et donc d'aire `c^2`, il est possible de construire un carré dont l'aire est doublé !
   

   • On appelle `ABCD` le carré initial (sur la figure, `A` est le point "en haut à gauche" du carré rouge, puis on tourne dans le sens des aiguilles d'une montre pour nommer les autres sommets) .
   • On construit le symétrique`A_1` de `A` par rapport à `B`.
   • On construit le symétrique `C_1`de`C` par rapport à `B`.
   • Le quadrilatère `AC_1A_1C` est un carré d'aire `2c^2` (en bleu sur la figure).

   
   

   En effet, le quadrilatère `AC_1A_1C` a ses quatre côtés de longueur `AC`, par symétrie. De plus, par symétrie toujours, ses diagonales sont de même longueur. Donc il s'agit d'un carré. Or d'après le théorème de Pythagore dans le triangle rectangle `ABC`, on a `AC=c sqrt 2`. D'où l'aire du carré `AC_1A_1C=(c sqrt 2)^2=2c^2`.

   
   



8. Construction d'un hexagone régulier : Si on se donne un cercle et un diamètre, un hexagone régulier se construit de la manière suivante :
   

   • On trace un cercle `Gamma_1` de centre l'une des extrémités du diamètre donné  (appelé `A`) et passant par le centre du cercle initial, appelé `O`.  `Gamma_1` coupe le cercle initial en `B` et `F`.
   • On trace un cercle `Gamma_2` de centre l'autre extrémité du diamètre donné  (appelé `D`) et passant par `O`. `Gamma_2` coupe le cercle initial en `C` et `E` (on choisit `C` sur le même demi-cercle de diamètre `[AD]` que `B`).
   • L'hexagone `ABCDEF` est régulier.

   
   En effet, par construction, `AB=AF=AO` et `DC=DE=DO=AO`. Donc on a l'égalité de quatre des six côtés.
   De plus `OA=OB=OC` comme rayon du cercle initial. Les triangles `AOB` et `DOC` sont donc équilatéraux (d'angles tous égaux à 60°), et le triangle `BOC` isocèle en `O`.
   En considérant l'angle plat `hat {AOD}`, on trouve que `hat {BOC}` vaut 60°. Le triangle `BOC` est donc isocèle avec un angle de 60°, il s'agit d'un triangle équilatéral. D'où `BC=BO=AB`.
   De même on a `EF=OF=AF`.
   Donc l'hexagone `ABCDEF` est régulier.
   
   Remarque : Les enfants en construisent parfois lorsqu'il font des rosaces pour s'amuser, sans le comprendre. Ils s'y prennent autrement :
   

   • Ils construisent le cercle initial
   • Sans changer l'écartement du compas, ils piquent n'importe où sur le cercle et font une encoche sur le cercle initial.
   • Ils piquent alors sur cette encoche et continuent le même processus toujours dans le même sens de rotation sur le cercle initial
   • A la fin, ils sont surpris de voir qu'ils "retombent sur leurs pattes", puisque le 6ème coup de compas coupe le cercle initial au premier endroit où ils avaient piqué.



9. Construction d'un pentagone régulier : Si on se donne un cercle de centre `O` et de rayon `OA`, on construit le pentagone régulier de la manière suivante :
   

   • On construit `I` le milieu de `[OA]`, ainsi que `B`, `C` et `D` comme ci-dessous
   • On construit le cercle Γ de centre `I` et de rayon `OI`. On appelle `E` et `F` les points d'intersections de  Γ et `(BI)`
   • On construit le cercle de centre`B` et de rayon `BE`. On obtient les points `D_2` et `D_3`.
   • On construit le cercle de centre`B` et de rayon `BF`. On obtient les points `D_1` et `D_4`.
   • Le pentagone `DD_1D_2D_3D_4` est régulier.
     
     Remarque : Lorsque l'on sait construire un polygone régulier à `n` cotés, il est aisé de doubler le nombre de coté.
     Exemple : Si on considère le pentagone régulier représenté ci-dessus, on obtient le décagone régulier en construisant les milieux `M_i` de `[DD_1]`, de `[D_1D_2]`, de `[D_2D_3]`, de `[D_3D_4]` et de `[D_4D]`, puis en considérant l'intersection de la droite `(OM_i)` avec le cercle de départ. On obtient alors 5 nouveaux sommets qui ajoutés aux 5 du pentagone forment le décagone régulier La construction du pentagone régulier fait intervenir le nombre d'or. En effet les 5 angles au centre mesurent ont leurs cosinus qui vaut le nombre d'or !



10. A suivre ...