Pourquoi la règle et le compas ?
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- Catégorie : Constructions à la règle et au compas
- Créé le lundi 6 juillet 2009 14:03
- Mis à jour le samedi 5 janvier 2013 19:31
- Écrit par Administrator
On peut constater que toutes les constructions géométriques étudiées dans les treize livres des Eléments d'Euclide s'effectuent uniquement à l'aide de la règle et du compas.
Quelles sont les raisons qui ont poussé les grecs à privilégier dans leurs études la règle et le compas ?
Dans un premier temps, les courbes les plus simples qui interviennent en géométrie sont la droite et le cercle et les instruments les plus simples qui permettent de les construire sont la règle et le compas. On comprend alors pourquoi les grecs avaient pour habitude de tracer leurs figures à l'aide de ces deux intruments, mais pourquoi étaient ils si entêtés à l'idée de se servir uniquement de ces deux là ?
Comme on l'a déjà dit dans l'introduction, l'influence de Platon a été déterminante. Les figures géométriques ne sont que des images imparfaites d'une réalité qui appartient au monde de l'esprit, néanmoins la règle et le compas, fournissent selon lui des solutions permettant de représenter la géométrie en respectant son harmonie.
Malgré le travail extraordinaire accompli par Euclide dans ses Eléments, où il synthétise toutes les connaissances géométriques de son temps, en donnant des démonstrations d'une qualité nouvelle pour l'époque. Certaines d'entre elles souffrent néanmoins d'imprécision verbale, et toute démonstration chez Euclide s'accompagne d'une figure géométrique. On peut même dire que la figure géométrique est chez Euclide un élément de démonstration.
La dernière raison, évoquée en introduction, justifie la recherche du statut de nombre. Les grecs connaissaient les entiers naturels, et les nombres rationnels. Cependant la découverte du théorème de Pythagore amène à considérer de nouveaux nombres, comme `sqrt 2`. Il est assez aisé de montrer que ce dernier nombre n'appartient pas aux nombres connus de l'époque mais difficile à accepter (cf des maths qui rendent fou). Construire `sqrt 2` à la règle et au compas est une chose à laquelle parvienne les grecs (cf construction élémentaire à la règle et au compas) et on peut considérer que les constructions à la règle et le compas étaient en fait l'occasion de découvrir et de définir de nouveaux nombres. Cependant, on s'interdisait d'autres types de construction pour se préserver de nouvelles crises.