Quadrature du cercle

L'histoire :

La quadrature du cercle est l'un des problèmes classiques les plus célèbres de l'histoire des mathématiques. L'expression "c'est la quadrature du cercle" est même employée dans le langage courant pour désigner un problème sans solution. Il fait partie des trois grands problèmes de l'Antiquité, avec la trisection de l'angle et la duplication du cube

A’h-mosé ou Ahmès est le scribe-mathématicien qui a recopié, vers 1650 av. J.C., le premier texte mathématique  connu sous la désignation de « Papyrus de Rhind » traitant du problème de la quadrature du cercle. Bien après les Égyptiens (vers 1650 av. notre ère) et le géomètre Hippocrate de Chios (Ve siècle av. notre ère), Archimède de Syracuse (vers 287-212 av. notre ère) développe tout un programme de recherche dans la perspective de pouvoir faire la quadrature du cercle.

  • Archimède commence à s’intéresser aux objets dont les grandeurs – longueur, aire, volume – ont quelque chose à voir avec celles du cercle (sphère, cylindre, cône, spirale).
  • Dans une deuxième étape, il étudie les figures courbes particulières (paraboles et lunules), dont on peut faire la quadrature.
  • Enfin, dans une troisième étape, Archimède propose une méthode de calcul pour approcher la mesure du cercle.

Enoncé :

Le problème consiste à construire un carré de même aire qu'un cercle donné, à l'aide d'une règle et d'un compas. Si on choisit un cercle de rayon 1, cela revient à construire un carré de côté `sqrt π`

 

Solution approchée :

Dans le plus ancien texte mathématique retrouvé, le papyrus Rhind (~1650 av. J.-C.), le scribe Ahmès proposait déjà une solution approchée du problème.

Quadrature du cercle

 

Dans ce papyrus on peut lire l'énoncé du problème formulée de la manière suivante : "construire un carré équivalent à un cercle. Réponse. Retirer `1/9` au diamètre et construire le carré sur ce qui reste". Cette construction fournit une très bonne approximation de π : `π~=3,16` (1650 ans avant J.C. !!)

 

Origines du problème :

Le premier scientifique grec à s'intéresser à la question a été Anaxagore de Clazomènes. Pour les grecs l'intérêt de ce problème était de calculer l'aire du cercle, car ils n'avaient qu'une mauvaise connaissance du nombre π. Ainsi ils voulaient ramener le calculer de l'aire du cercle à celle du carré. Entre parenthèse, un autre problème, moins étudié et pourtant équivalent serait de tracer un segment de même longueur que le périmètre qu'un cercle donné. En effet sa résolution aurait permis au grec de mieux comprendre le nombre π. 

 

Solution :

Grégoire de Saint-Vincent était passionné par le problème : estimant — à tort — l'avoir résolu, il exposa ses solutions dans un ouvrage de 1 000 pages. C'est en 1837 que Pierre-Laurent Wantzel démontre un théorème qui permet d'exhiber la forme des équations dont sont solutions les nombres constructibles à la règle et au compas. Puis en 1844, Joseph Liouville met en évidence l'existence des nombres transcendants. Mais il faudra attendre jusqu'en 1882 pour que le mathématicien allemand Ferdinand von Lindemann démontre la transcendance de π pour appliquer le théorème de Wantzel au problème de la quadrature du cercle et ainsi démontrer qu'elle est impossible à réaliser. L'Académie des sciences, qui avait déjà pressenti ce résultat un siècle auparavant, n'acceptait plus de « preuve » de cette quadrature depuis 1775. La quadrature du cercle nécessite la construction à la règle et au compas de la racine carrée de π, `sqrt{\π}`, ce qui est impossible en raison de la transcendance de π : les nombres constructibles sont les rationnels et les racines de certains polynômes de degré `2n` à coefficients entiers, ce sont des nombres algébriques ce qui n'est pas le cas de π. Ce problème reste aujourd'hui encore populaire et de nombreux « quadrateurs » amateurs continuent à envoyer leurs « démonstrations » — forcément erronées — aux académies scientifiques.

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