Duplication du cube

Légende :

Une légende, rapportée par Eratosthène (deuxième siècle avec J.C.), donne une explication fascinante de ce problème mathématique. La peste régnait à Délos. On consulta l'oracle qui transmit le souhait d'Apollon : ce dernier voulait qu'on lui érige un autel de volume le double de celui de l'autel cubique qui lui était déja consacré. On construisit un autel de côté double, la peste continua. L'oracle déclara qu'Apollon n'avait pas obtenu satisfaction et qu'il voulait un autel exactement double de l'ancien. Les architectes allèrent trouver Platon pour savoir comment faire. Ce dernier leur répondit que le dieu n'avait certainement pas besoin d'un autel double, mais qu'il leur faisait reproche, par l'intermédiaire de l'oracle, de négliger la géométrie. Le problème de la duplication du cube porte parfois le nom de problème de Délos.

Il est naturel de se poser la question de la duplication du cube quand on sait que la duplication du carré est simple

 

Enoncé :

Le problème est donc le suivant : Construire à la règle et au compas un cube dont le volume est le double de celui de l'ancien. Autrement dit si l'on choisit un cube de côté 1, cela revient à construire un cube de côté `.^3sqrt{2}`.

 

Solution :

La question intéressa nombre de mathématiciens, par exemple Hippias d'Élis, Archytas de Tarente, Ménechme, Eudoxe de Cnide, Eutocius d'Ascalon. Plusieurs solutions furent proposées par intersection de coniques ou par intersection de figures spatiales, par exemple Archytas proposa l'intersection entre un cône et un tore. D'Alembert écrivit en 1760 qu'aucune solution plane ne fut trouvée avec la seule utilisation de la règle et du compas.
En 1837, Pierre-Laurent Wantzel établit un théorème donnant la forme des équations des problèmes solubles à la règle et au compas. Il démontre que `.^3sqrt2` n'est pas constructible. La duplication du cube est donc impossible à réaliser à la règle et au compas. Elle devient possible avec des méthodes plus puissantes, telles que l'utilisation de la règle graduée et du compas, ou par pliage de papier.

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