\documentclass[a4paper,10pt,french]{article}
\linespread{1}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Définitions de la feuille d'exercices

\newcommand{\typedoc}{$\Gamma_8$}          %%%%%%%%%%%%%%% 1ere ligne du titre de la feuille
\newcommand{\Ch}{Trigonom\'etrie}		   %%%%%%%%%%%%%%%% 2eme ligne et en haut à droite après	
\newcommand{\ch}{R\'evisions}               %%%%%%%%%%%%%%% En haut à gauche (numero chapitre)
\newcommand{\Cl}{1$^\text{\`ere}$S}
\newcommand{\Annee}{2016-2017}

\newcommand{\serie}{Scientifique}
\newcommand{\num}{0}	
\newcommand{\tps}{2h}	



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
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\renewcommand{\arraystretch}{1.2}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Début
\begin{document}


\DocDav

\vfill 

%\textbf{Vous traiterez au choix au moins un exercice parmi les six suivants. En traiter au moins deux est conseillé. Si vous ne vous sentez pas encore à l'aise avec les suites, il est inutile de tourner la page.}

\textit{\og La véritable éducation consiste à pousser les gens à penser par eux-mêmes. \fg{}}



$\quad$\hfill \textit{Noam Chomsky}




\begin{exoi}
On considère un triangle équilatéral \textbf{direct} $ABC$, ie tel que 
$(\overrightarrow{AB} ; \overrightarrow{AC})=+\dfrac{\pi}3 \quad [2\pi]$.
De plus, on sait que :
\begin{itemize}
 \item $ACD$ est un triangle rectangle isocèle en $C$ \textbf{direct},
\item $BCE$ est un triangle rectangle isocèle en $B$ \textbf{indirect}.
\end{itemize}
\begin{enumerate}
 \item Compléter et coder la figure ci-dessous.
 \item Donner, en justifiant, une mesure en radians des angles :
 $\qquad(\overrightarrow{AC} ; \overrightarrow{AB}) \qquad ; \qquad (\overrightarrow{BC} ; \overrightarrow{AB})
 \qquad \text{et} \qquad (\overrightarrow{CD} ; \overrightarrow{CE})$.
\end{enumerate}
 \begin{center}
  \newrgbcolor{zzttqq}{0.6 0.2 0}
\newrgbcolor{qqwuqq}{0 0.39 0}
\psset{xunit=1.5cm,yunit=1.5cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-1.8,-2.5)(6.5,5.)
\pspolygon[linecolor=zzttqq,fillcolor=zzttqq,fillstyle=solid,opacity=0.1](1,0)(4,1)(1.63,3.1)
%\pspolygon[linecolor=qqwuqq,fillcolor=qqwuqq,fillstyle=solid,opacity=0.1](1.36,3.15)(1.31,2.88)(1.58,2.83)(1.63,3.1)
%\pspolygon[linecolor=qqwuqq,fillcolor=qqwuqq,fillstyle=solid,opacity=0.1](4.18,1.21)(3.98,1.39)(3.79,1.18)(4,1)
%\psline[linecolor=zzttqq](1,0)(4,1)
%\psline[linecolor=zzttqq](4,1)(1.63,3.1)
%\psline[linecolor=zzttqq](1.63,3.1)(1,0)
%\psline(-1.46,3.73)(1,0)
%\psline(6.1,3.37)(1.63,3.1)
%\psline(-1.46,3.73)(1.63,3.1)
%\psline(4,1)(6.1,3.37)
\begin{scriptsize}
\rput[bl](0.84,-0.24){\blue{$A$}}
\rput[bl](4.02,0.78){\blue{$B$}}
\rput[bl](1.69,3.18){\darkgray{$C$}}
%\rput[bl](-1.42,3.82){\darkgray{$D$}}
%\rput[bl](6.15,3.44){\darkgray{$E$}}
\end{scriptsize}
\end{pspicture*}
 \end{center}
\end{exoi}

\begin{exoi}On se place dans un repère  $(O ; \vec i ; \vec j)$.  \textbf{ \textit{On prendra $\,3$ cm comme unité graphique.}} 
 \begin{enumerate}
  %\item Convertir $\dfrac{2\pi}{5}$ en degrés.
  \item A l'aide de la calculatrice, déterminer à $10^{-2}$ près les coordonnées du point $A$ associé 
  à $\dfrac{2\pi}{5}$.
   \item Grâce à la question 1, placer approximativement le point $A$ sur le cercle trigonométrique.
  \item Placer ensuite les points $B$, $C$ et $D$ associés respectivement aux réels $\dfrac{3\pi}{5}$, $\dfrac{7\pi}{5}$ et $\dfrac{8\pi}{5}$.
%  \item En déduire les coordonnées de $B$ à $10^{-2}$ près.
  \item Résoudre l'équation $\cos(x)=\cos\left(\dfrac{3\pi}{5}\right)$ dans :
  \begin{multicols}{2}
\begin{itemize}
 \item[\textbullet] $[0 ; 2\pi [$
 \item[\textbullet] $]-\pi ; \pi] $
\end{itemize}
\end{multicols}
 \end{enumerate}

\end{exoi}

\pagebreak

\begin{exoi}\textit{de la trigonométrie avec $\dfrac{\pi}{8}$}

On considère un repère orthonormal $(O;I,J)$. $8$ cm représente $1$ unité graphique. \\
On note $\mathscr C$ le cercle trigonométrique de centre $O$ passant par $I$, soit $B$ le point de $\mathscr C$ tel que :
$$ \left(\overrightarrow{OI};\overrightarrow{OB}\right)=\dfrac{\pi}{4}$$
\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item Construire la figure en laissant les traits de construction apparent.
\item Placer le point $A\in\mathscr C$ tel que  $\left(\overrightarrow{OI};\overrightarrow{OA}\right)=\dfrac{\pi}{8}$
\item Placer les points $C$, $D$, $E$, $F$ et $G$ de $\mathscr C$ tels que :
$$\left(\overrightarrow{OI};\overrightarrow{OC}\right)=-\dfrac{\pi}{8}\qquad  \left(\overrightarrow{OI};\overrightarrow{OD}\right)=\dfrac{7\pi}{8}\qquad  \left(\overrightarrow{OI};\overrightarrow{OE}\right)=-\dfrac{7\pi}{8}\qquad  \left(\overrightarrow{OI};\overrightarrow{OF}\right)=\dfrac{3\pi}{8}\qquad \text{et}\qquad  \left(\overrightarrow{OI};\overrightarrow{OG}\right)=\dfrac{5\pi}{8}$$
\item Construire le polygone régulier à $16$ côtés dont $I$, $A$ et $B$ ... sont des sommets.
\end{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item Donner les coordonnées de $B$.
\item On appelle $H$ le point de coordonnées $(x_B;0)$. Placer $H$.
\item En vous plaçant dans le triangle rectangle $HIB$, calculer $IB$. \\
On donnera la valeur exacte de $IB$ dans l'unité du repère, 
puis la valeur de $IB$ en $cm$, arrondie au dixième.
\end{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item On note $K$ le point d'intersection entre la droite $(OA)$ et la droite $(IB)$. \\
Quelle est la nature du triangle $OKI$ ? Justifier.
\item En utilisant la trigonométrie de collège, montrer que $IK=\sin \dfrac{\pi}{8}$. 
\end{enumerate}
\item Déduire des question précédentes, la valeur exacte de $\sin \dfrac{\pi}{8}$.
\item En déduire la valeur exacte de $\cos \dfrac{\pi}{8}$.
\item Donner alors les coordonnées des points $C$, $D$, $E$, $F$ et $G$.
\end{enumerate}
\end{exoi}

\end{document}