\documentclass[a4paper,10pt,french]{article}
\linespread{1}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Définitions de la feuille d'exercices

\newcommand{\typedoc}{$\Gamma_5$}          %%%%%%%%%%%%%%% 1ere ligne du titre de la feuille
\newcommand{\Ch}{Les suites num\'eriques}		   %%%%%%%%%%%%%%%% 2eme ligne et en haut à droite après	
\newcommand{\ch}{R\'evisions}               %%%%%%%%%%%%%%% En haut à gauche (numero chapitre)
\newcommand{\Cl}{1$^\text{\`ere}$S}
\newcommand{\Annee}{2016-2017}

\newcommand{\serie}{Scientifique}
\newcommand{\num}{0}	
\newcommand{\tps}{2h}	



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
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\renewcommand{\arraystretch}{1.2}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Début
\begin{document}


\DocDav

\vfill 

%\textbf{Vous traiterez au choix au moins un exercice parmi les six suivants. En traiter au moins deux est conseillé. Si vous ne vous sentez pas encore à l'aise avec les suites, il est inutile de tourner la page.}

\textit{\og L'homme veut être le premier amour de la femme, alors que la femme veut être le dernier amour de l'homme..\fg{}}



$\quad$\hfill \textit{Oscar Wilde}

\begin{exoi}
On considère la suite $u$ définie pour tout entier naturel $n$ par $u_{n+1}=2u_n-1$ et $u_0=1$.
\begin{enumerate}
\item Calculer $u_1$ ; $u_2$ et $u_3$.
\item Montrer que la suite $u$ n'est ni arithmétique ni géométrique.
\item On considère la suite $v$ définie pour tout entier naturel $n$ par :
$$ v_n=u_n-1$$
\begin{enumerate}
\item Calculer $v_0$ ; $v_1$ et $v_2$. Que peut-on conjecturer quant à la nature de la suite $v$ ?
\item Démontrer que la suite $v$ est géométrique.
\item Exprimer $v_n$ en fonction de $n$.
\item En déduire une expression de $u_n$ en fonction de $n$.
\end{enumerate}
\item Calculer $u_{10}$; $u_{100}$ puis $u_{1000}$.
\item Calculer la somme $S$ suivante :
$$ S=v_0+v_1+v_2+\dots +v_{100}$$
\item Expliquer pourquoi la somme $S'=u_0+u_1+u_2+\dots+u_{100}$ vérifie la relation :
$$ S'=S-101$$
Calculer $S'$.
\end{enumerate}
\end{exoi}

\end{document}