\documentclass[a4paper,10pt,french]{article}
\linespread{1}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Définitions de la feuille d'exercices

\newcommand{\typedoc}{$\Gamma_3$}          %%%%%%%%%%%%%%% 1ere ligne du titre de la feuille
\newcommand{\Ch}{Les suites numériques}		   %%%%%%%%%%%%%%%% 2eme ligne et en haut à droite après	
\newcommand{\ch}{R\'evisions}               %%%%%%%%%%%%%%% En haut à gauche (numero chapitre)
\newcommand{\Cl}{1$^\text{\`ere}$S}
\newcommand{\Annee}{2016-2017}

\newcommand{\serie}{Scientifique}
\newcommand{\num}{0}	
\newcommand{\tps}{2h}	



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
%\usepackage[french,lined,boxed,commentsnumbered]{algorithm2e}

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\renewcommand{\arraystretch}{1.2}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Début
\begin{document}


\DocDav

\vfill 

%\textbf{Vous traiterez au choix au moins un exercice parmi les six suivants. En traiter au moins deux est conseillé. Si vous ne vous sentez pas encore à l'aise avec les suites, il est inutile de tourner la page.}

\textit{\og La physique est bien trop dure pour les physiciens.\fg{}}



$\quad$\hfill \textit{David Hilbert}

\begin{exoi} \hfill $\star$ \\
On considère la suite définie pour tout entier naturel $n$ par  :
$$\left\{ \begin{array}{l} u_0= 10\\ u_{n+1}= u_n-4 \end{array} \right. $$
\begin{enumerate}
\item Calculer les termes de $u_1$ à  $u_4$.
\item Exprimer $u_{n}$ en fonction de $n$.
\item En déduire la valeur des termes $u_8$, $u_{120}$ et $u_{160}$. 
\item Calculer la somme $S$ suivante 
$$ S=u_0+u_1+u_2+\dots u_{160}$$
\end{enumerate}
\end{exoi}

\begin{exoi} \hfill $\star\star$ \\
On considère la suite définie pour tout entier naturel $n$ par  :
$$\left\{ \begin{array}{l} u_0= 10\\ u_{n+1}=-\dfrac{1}{2} u_n+1 \end{array} \right. $$
\begin{enumerate}
\item Calculer les termes de $u_1$ à  $u_4$.
\item Exprimer $u_{n+4}$ en fonction de $u_n$.
\item En déduire la valeur des termes $u_8$, $u_{12}$ et $u_{16}$. 
\item Calculer, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}-u_n$. Que peut-on en déduire ?
\end{enumerate}
\end{exoi}


\begin{exoi}\hfill $\star\star\star$ \\


On désire carreler une table carré en alternant des bandes \og triangulaire \fg{} de carreaux noirs puis de carreaux blancs comme sur la table de taille $6\times 6$ suivante :

\begin{center}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-3.54,-2.54)(4.08,4.92)
\pspolygon[fillcolor=black,fillstyle=solid,opacity=1.0](-3,-1)(-3,-2)(-2,-2)(-2,-1)
\pspolygon[fillcolor=black,fillstyle=solid,opacity=1.0](-3,1)(0,1)(0,-2)(-1,-2)(-1,0)(-3,0)
\pspolygon[fillcolor=black,fillstyle=solid,opacity=1.0](-3,3)(2,3)(2,-2)(1,-2)(1,2)(-3,2)
\psline(-3,4)(3,4)
\psline(3,4)(3,-2)
\psline(3,-2)(-3,-2)
\psline(-3,-2)(-3,4)
\psline(-2,4)(-2,-2)
\psline(-3,-1)(3,-1)
\psline(-1,-2)(-1,4)
\psline(0,4)(0,-2)
\psline(1,-2)(1,4)
\psline(2,4)(2,-2)
\psline(-3,0)(3,0)
\psline(3,1)(-3,1)
\psline(-3,2)(3,2)
\psline(3,3)(-3,3)
\psline(-3,-1)(-3,-2)
\psline(-3,-2)(-2,-2)
\psline(-2,-2)(-2,-1)
\psline(-2,-1)(-3,-1)
\psline(-3,1)(0,1)
\psline(0,1)(0,-2)
\psline(0,-2)(-1,-2)
\psline(-1,-2)(-1,0)
\psline(-1,0)(-3,0)
\psline(-3,0)(-3,1)
\psline(-3,3)(2,3)
\psline(2,3)(2,-2)
\psline(2,-2)(1,-2)
\psline(1,-2)(1,2)
\psline(1,2)(-3,2)
\psline(-3,2)(-3,3)
\end{pspicture*}
\end{center}

On désigne par $u_n$ le nombre de carreau noir sur la $n$-ème bande (ici $u_1=1$, $u_2=5$ et $u_3=9$). La table que l'on désire carreler est en réalité de taille $100\times 100$.

\begin{enumerate}
\item Démontrer que la suite $u$ est arithmétique, préciser ses éléments caractéristiques (premier terme et raison).
\item Exprimer $u_n$ en fonction de $n$.
\item Déterminer le nombre de carreau noir qu'il est nécessaire d'acheter au toal pour carreler une table de taille $100\times 100$.
\end{enumerate}
\end{exoi}

\end{document}