\documentclass[a4paper,10pt,french]{article}
\linespread{1}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Définitions de la feuille d'exercices

\newcommand{\typedoc}{$\Gamma_{11}$}          %%%%%%%%%%%%%%% 1ere ligne du titre de la feuille
\newcommand{\Ch}{Probabilit\'e}		   %%%%%%%%%%%%%%%% 2eme ligne et en haut à droite après	
\newcommand{\ch}{R\'evisions}               %%%%%%%%%%%%%%% En haut à gauche (numero chapitre)
\newcommand{\Cl}{1$^\text{\`ere}$S}
\newcommand{\Annee}{2016-2017}

\newcommand{\serie}{Scientifique}
\newcommand{\num}{0}	
\newcommand{\tps}{2h}	



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
%\usepackage[french,lined,boxed,commentsnumbered]{algorithm2e}

\input macrodwicky.tex
\geometry{verbose,letterpaper,tmargin=1.8cm,bmargin=1.8cm,lmargin=1.5cm,rmargin=1.5cm}
\renewcommand{\arraystretch}{1.2}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Début
\begin{document}


\DocDav

\vfill 

%\textbf{Vous traiterez au choix au moins un exercice parmi les six suivants. En traiter au moins deux est conseillé. Si vous ne vous sentez pas encore à l'aise avec les suites, il est inutile de tourner la page.}

\textit{\og Si vous devez jouer, réfléchissez à trois choses au départ : les règles du jeu, les enjeux, et le temps passé.
 \fg{}}



$\quad$\hfill \textit{proverbe chinois}



\begin{exoi}


Le but du problème est de connaître les probabilités de trouver deux personnes ayant une date d'anniversaire identique parmi un groupe de $n$ personnes.\newline 
On note l'événement 
\begin{center}
$A_i$ : \og Les $i$ personnes ont des dates d'anniversaire différentes\fg\newline\\
\end{center}
\textbf{Partie A :} Le principe des tiroirs
\begin{enumerate}
\item[0.] Supposons que $n>365$ déterminer la probabilité de l'événement $A_n$\newline
\end{enumerate}
\textbf{Partie B :} Où l'on calcule $P(A_n)$, pour $n$ un entier compris entre $1$ et $365$
\begin{enumerate}
\item Calculer $P(A_1)$
\item Calculer $P(A_2)$ 
\item Dans cette question on suppose que $n=3$.
\begin{enumerate}
\item Compléter l'arbre ci-dessus :
\begin{center}
\begin{tikzpicture} 
[level 1/.style={level distance=2cm, 
sibling distance=3cm}, 
level 2/.style={level distance=2.5cm, 
sibling distance=1.5cm}] 
\node {} [grow'=right] 
child {node {\textcolor{black}{$A_2$}} 
child {node {\textcolor{black}{$A_3$}} 
%node[right=1cm] {\og obtenir $2$ rouges \fg $\frac{3}{8}\cdot\frac{2}{7} = \frac{6}{56}$} 
edge from parent node[above] {$\dots$} 
} 
child {node {\textcolor{black}{$\bar{A_3}$}} 
%node[right=1cm] {\og obtenir $1$ rouge puis une verte \fg $\frac{3}{8}\cdot\frac{5}{7} = \frac{15}{56}$} 
edge from parent node[below] {$\dots$} 
} 
edge from parent node[above] {$\dots$} 
} 
child {node {\textcolor{black}{$\bar{A_2}$}} 
child {node {\textcolor{black}{$A_3$}} 
%node[right=1cm] {\og obtenir $2$ rouges \fg $\frac{3}{8}\cdot\frac{2}{7} = \frac{6}{56}$} 
edge from parent node[above] {$\dots$} 
} 
child {node {\textcolor{black}{$\bar{A_3}$}} 
%node[right=1cm] {\og obtenir $1$ rouge puis une verte \fg $\frac{3}{8}\cdot\frac{5}{7} = \frac{15}{56}$} 
edge from parent node[below] {$\dots$} 
} 
edge from parent node[below] {$\dots$} 
} 
; 
\end{tikzpicture} 
\end{center}
\item Expliquer pourquoi il est en fait inutile de considérer les branches issues du noeud $\bar{A_2}$ pour répondre au problème posé.
\item En déduire la probabilité $P(A_3)$
\end{enumerate}
\item En prenant comme modèle la question précédente, calculer $P(A_4)$ 
\item Conjecturer $P(A_5)$ ; $P(A_6)$ et $P(A_{10})$
\item Conjecturer $P(A_n)$ où $n\in [\![1;365]\!]$
\end{enumerate}
\vspace{3mm}
\textbf{Partie C :} Conclusion
\begin{enumerate}
\item[7.] En appliquant la formule conjecturée dans la question précédente, compléter le tableau au dos du sujet.
\begin{table}[h]
\center
\begin{center}
\begin{tabular}{|>{\centering}p{3cm}|>{\centering}p{3cm}|}
\hline
\rule[-3ex]{0pt}{5ex} $n=1$ & $P(A_1)=\dots$  \tabularnewline\hline
\rule[-3ex]{0pt}{5ex} $n=2$ &  \tabularnewline\hline
\rule[-3ex]{0pt}{5ex} $n=3$ &  \tabularnewline\hline
\rule[-3ex]{0pt}{5ex} $n=4$ &  \tabularnewline\hline
\rule[-3ex]{0pt}{5ex} $n=5$ &  \tabularnewline\hline
\rule[-3ex]{0pt}{5ex} $n=6$ &  \tabularnewline\hline
\rule[-3ex]{0pt}{5ex} $n=7$ &  \tabularnewline\hline
\rule[-3ex]{0pt}{5ex} $n=8$ &  \tabularnewline\hline
\rule[-3ex]{0pt}{5ex} $n=9$ &  \tabularnewline\hline
\rule[-3ex]{0pt}{5ex} $n=10$ &  \tabularnewline\hline
\rule[-3ex]{0pt}{5ex} $n=11$ &  \tabularnewline\hline
\rule[-3ex]{0pt}{5ex} $n=12$ &  \tabularnewline\hline
\rule[-3ex]{0pt}{5ex} $n=13$ &  \tabularnewline\hline
\rule[-3ex]{0pt}{5ex} $n=14$ &  \tabularnewline\hline
\rule[-3ex]{0pt}{5ex} $n=15$ &  \tabularnewline\hline
\rule[-3ex]{0pt}{5ex} $n=16$ &  \tabularnewline\hline
\rule[-3ex]{0pt}{5ex} $n=17$ &  \tabularnewline\hline
\rule[-3ex]{0pt}{5ex} $n=18$ &  \tabularnewline\hline
\rule[-3ex]{0pt}{5ex} $n=19$ &  \tabularnewline\hline
\rule[-3ex]{0pt}{5ex} $n=20$ &  \tabularnewline\hline
\rule[-3ex]{0pt}{5ex} $n=21$ &  \tabularnewline\hline
\rule[-3ex]{0pt}{5ex} $n=22$ &  \tabularnewline\hline
\rule[-3ex]{0pt}{5ex} $n=23$ &  \tabularnewline\hline
\rule[-3ex]{0pt}{5ex} $n=24$ &  \tabularnewline\hline
\rule[-3ex]{0pt}{5ex} $n=25$ &  \tabularnewline\hline
\rule[-3ex]{0pt}{5ex} $n=26$ &  \tabularnewline\hline
\rule[-3ex]{0pt}{5ex} $n=27$ &  \tabularnewline\hline
\rule[-3ex]{0pt}{5ex} $n=28$ &  \tabularnewline\hline
\rule[-3ex]{0pt}{5ex} $n=29$ &  \tabularnewline\hline
\rule[-3ex]{0pt}{5ex} $n=30$ &  \tabularnewline\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{table} 
\item[8.] Combien faut-il réunir de personnes pour avoir au moins une chance sur deux d'avoir deux invités qui ont la même date d'anniversaire ?
\item[9.] Dans une classe de $30$ élèves quelle est la probabilité d'avoir deux élèves ayant la même date d'anniversaire ?
\end{enumerate}
\end{exoi}

\end{document}