\documentclass[4apaper,10pt,french]{article}
\linespread{1}

\newcommand{\ch}{Chapitre 2}
\newcommand{\Ch}{Les suites, en particulier les suites arithm\'etiques et g\'eom\'etriques}
\newcommand{\Cl}{1S}
\newcommand{\Annee}{2012-2013}
	

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Package

\input macrodwicky.tex

\geometry{hmargin=2cm,vmargin=2cm}

\setcounter{NumLecon}{2}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Premiere page
\begin{document}

\ddwicky{separation.eps}{Ashgar Farhadi}{Une séparation}  					% Image + titre + Auteur
{Si les gens ne croient pas que les mathématiques sont simples, c’est seulement parce qu’ils ne réalisent pas combien la vie est compliquée !}{John Louis von Neumann}		% Citation + Auteur
{Asghar Farhadi a fait ses études de théâtre, avec un diplôme du 1er cycle en arts dramatiques et une maîtrise de mise en scène théâtrale à l’Université de Téhéran et l’Université Tarbiat Modarres. Farhadi a tourné des courts métrages de 8 mm et 16 mm au Département de la société du cinéma de jeunesse d’Ispahan avant d’entamer l’écriture des pièces de théâtre et des scénarios pour la télévision iranienne, IRIB. Danse dans la poussière est son premier film réalisé, suivi par le film acclamé par les critiques, Les enfants de Belle Ville. Son troisième film, La Fête du feu obtient le Hugo d'or au Festival international du film de Chicago en 2006.
À propos d'Elly, pour lequel il reçoit l’Ours d'argent du meilleur réalisateur à Berlin en 2009, prend pour sujet le voyage d’un groupe d’Iraniens au bord de la mer Caspienne tournant à la catastrophe. En 2011, Farhadi revient à la Berlinale pour y présenter Une séparation. Le film gagne l'Ours d'or et les Prix d'interprétation féminine et masculine pour l'ensemble de la distribution. Puis il reçoit, en 2012, le Golden Globe, le César et l'Oscar du meilleur film étranger.
} 						% Présentation auteur
{0.25}		% Ratio portrait
{0.3}		% Ratio Image
{
\item Calculer les termes d'une suite générée par récurrence.
\item Construire et exploiter la représentation graphique d'une suite définie par récurrence
\item Algorithme
}

\TITRE{fibo.eps}{0.5} 						% Image 1ere page + ratio
%\begin{abstract}
 

\begin{Intro}{Au fil du temps}{
Vous allez dans ce chapitre, découvrir les suites, qui sont présentes dans bien des sciences, par exemple en biologie
des populations pour décrire le cycle de reproduction des lapins, en astronomie dans les loirs de répartition
des planètes, en physique dans la théorie des particules élémentaires, en informatique dans les algorithmes
et simulations (et via les ordinateurs, dans toutes nos activités numériques). Mais cette omniprésence n'est pas
un hasard, car tous ces domaines se servent d'équations mathématiques. Or les suites occupent une place de choix
en mathématiques depuis plus de 2000 ans.\\

Pourquoi un tel intêret, alors qu'il s'agit simplement de ranger une succession de nombres liés par un loi, comme
quand on énumère les jours du mois ? Parce que cette simplicité n'est qu'apparente : l'étrange n'est jamais loin.\\
Prenons par exemple la suite des \og puissances de un demi \fg : $1 ; \dfrac12 ; \dfrac14 ; \dfrac18 ; \dfrac1{16} ; \dots ; \dfrac1{2n} ; \dots$
et la série associée $1 + \dfrac12 + \dfrac14 + \dfrac18 + \dfrac1{16} + \dots + \dfrac1{2n} + \dots$ Si ces nombres
représentaient des tiges en bois mesurant chacune la moitié de la précédente (en commençant par 1 mètre), n'est-ce
pas étonnant que la longueur maximale qu'on puisse atteindre en les mettant bout à bout ne dépasse pas 2 mètres,
même avec une infinité de tiges ? Cela a stupéfait les savants qui l'ont découvert au $XVIII^e$ siècle.
Comment admettre que l'infini (le nombre de tiges) puisse être contenu dans le fini (2 mètres) ?
Il s'en est suivi de violentes disputes entre les pro-infini et les contre, qui n'ont fait que s'amplifier
jusqu'au $XX^e$ siècle. Bref, ce sont les suites qui ont introduit l'infini dans l'arithmétique et l'analyse ...\\

Mais si le $XVIII^e$ siècle est un tournant dans l'histoire des suites et de l'infini, leur origine remonte à Archimède
de Syracuse, le mathématicien grec du $III^e$ siècle avant JC. Archimède voulait résoudre une question qui n'avait rien
à voir avec l'infini, le problème de la quadrature du cercle, grande énigme des maths anciennes  : étant donné un cercle,
comment construire une figure de même surface mais composée de carrés ou de triangles (figures que les Grecs savaient 
bien mesurer). Tel était le but d'Archimède ... Mais à la place, il a découvert les suites et, sans le savoir,
il a mis les mathématiciens sur la voie de l'infini.\\
Comment cela s'est-il produit ? Archimède pensait que la bonne méthode pour \og quarrer \fg le cercle était 
de l'encadrer entre deux figures faites de triangles, puis de faire converger la taille de ces triangles jusqu'à
les faire coïncider (comme si l'on cherchait à emprisonner un objet entre des murs qui se rapprochent). Archimède
choisit comme figures connues et quarrables pour coïncer le cercle, les polygones réguliers, faits de triangles
disposés en pétales de fleur, en commençant par l'hexagone (six côtés, six triangles équilatéraux) : il encadre le cercle
entre l'hexagone inscrit et l'hexagone circonscrit. Ensuite, il passe au dodécagone (12 côtés), puis  il enchaîne
sur le polygone à 24 côtés, puis 48 et enfin 96. A chaque pas, les mesures se rapprochent, mais jamais elles
ne s'égalent ... Il obtient ainsi une suite illimitée de nombres 
connus dont la limite est $2\pi$ et qui fournissent très rapidement une bonne approximation de $\pi$.\\
Las, Archimède ne résoudra jamais le problème de la quadrature du cercle, et pour cause. Les mathématiciens
du $XIX^e$ siècle démontreront qu'il n'a pas de solution, d'où l'expression \og C'est la quadrature du cercle ! \fg.
Mais Archimède a bel et bien inauguré l'histoire des suites, car dans sa méthode, il montre comment calculer
la surface du polygone $n$ en fonction de celui qui précède (le $n-1^{eme}$). 
Le terme $u_n$ défini par le terme $u_{n-1}$, c'est bien là une suite, la première du genre, et qui peut être
prolongée autant que l'on veut ... jusque dans l'infini.\\

Plus tard, les suites furent formalisées par Cauchy, la maîtrise de cet outil a été grandement facilitée 
par l'adoption de la notation indicielle au $XIX^e$ siècle qui consiste à noter chaque nombre d'une suite 
par une même lettre affectée d'un indice. \newline
On doit à Péano la définition d'une suite numérique telle qu'elle est enseigné en première S.
}
\end{Intro}

\pagebreak

\section{Introduction}
\subsection{Introduction historique}
L'un des premiers travaux portant sur les suites de nombres semble provenir d’un certain Archimède (j’en entends déjà se dire d’ici : \og encore lui ! \fg, eh oui. . . ). Dans son traité La mesure du cercle, 
pour trouver une valeur approchée de $\pi$, il inscrit dans un cercle de rayon $1$ un triangle équilatéral dont il calcule le périmètre. Puis en doublant le nombres de côtés, il calcule le périmètre d'un hexagone, puis celui d'un dodécagone et ainsi de suite, indéfiniment. Il obtient ainsi une suite illimitée de nombres connus dont la limite est $2\pi$ et qui fournissent très rapidement une bonne approximation de $\pi$.\newline
Plus tard, les suites furent formalisées par Cauchy, la maîtrise de cet outil a été grandement facilitée par l'adoption de la notation indicielle au $XIX^e$ siècle qui consiste à noter chaque nombre d'une suite par une même lettre affectée d'un indice. \newline
On doit à Péano la définition d'une suite numérique telle qu'elle est enseigné en première S.

\subsection{Introduction}
Il arrive que l'on demande, lors de tests psychotechniques par exemple, de compl\'eter "logiquement" une suite de nombres, comme par exemple:
$$1  ,  2  ,  4 ,  8  ,  16  ,  \dots\dots  ,  \dots\dots  ,  \dots\dots$$
$$1  ,  4  ,  9  ,  16  ,  25  ,  \dots\dots  ,  \dots\dots  ,  \dots\dots$$
$$-3  ,  1  ,  5  ,  9  ,  \dots\dots  ,  \dots\dots  ,  \dots\dots$$
$$ \text{suite de Fibonacci}  \qquad 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13 ,  \dots\dots  ,  \dots\dots  ,  \dots\dots$$
$$ \text{suite de Stern} \qquad 0, 1, 1, 2, 1, 3, 2, 3, 1, 4, 3, 5, 2, 5, 3, 4,  ,  \dots\dots  ,  \dots\dots  ,  \dots\dots$$
En math\'ematiques, une \textbf{suite} $u$ est une \textbf{liste ordonn\'ee de nombres r\'eels}: les \'el\'ements de cette liste :
\begin{itemize}
 \item Sont appel\'es \textbf{termes}
 \item Sont rep\'er\'es par leur rang dans la liste
\end{itemize}

\begin{center}
Le $1^{er}$ terme de la suite $u$ est souvent not\'e $u_0$ (ou $u_1$),\\
Le $2^{\`eme}$ terme de la suite $u$ est souvent not\'e $u_1$ (ou $u_2$)\\ 
\dots \dots\dots\dots\dots \dots\dots\dots\dots \dots\dots\dots\dots \dots\dots \dots\dots\dots\dots\dots \\
\dots \dots\dots\dots\dots \dots\dots\dots\dots \dots\dots\dots\dots \dots\dots \dots\dots\dots\dots\dots \\
Le $n^{\`eme}$ terme de la suite $u$ est souvent not\'e $u_{n-1}$ (ou $u_{n}$)\\ 
\end{center}

Le terme pr\'ec\`edent $u_n$ est $u_{n-1}$, le suivant $u_{n+1}$.

On note $u=(u_n)_{n \in \N}$  pour signifier que le rang d'un terme de la suite $u$ est un entier naturel (sans "fin" de liste). On a donc:

\begin{center}
$\overbrace{u}^{\text{nom de la suite}}=\quad(\overbrace{u_0}^{\text{1\up{er} terme}};\overbrace{u_1}^{\text{2\up{nd} terme}};\hspace{.5cm}u_2\hspace{.5cm};\hspace{.5cm}\dots\hspace{.5cm};\hspace{.5cm}u_{n-1}\hspace{.5cm};\overbrace{u_n}^{\text{terme de rang $n$}};\hspace{.5cm}u_{n+1}\hspace{.5cm};\hspace{.5cm}\dots\hspace{.5cm})$
\end{center}

\Expl{En reprenant les exemples précédents :
\begin{itemize}
\item La première suite est la suite des puissances de $2$, on définit alors cette suite $u$ par :
$$ u_n=2^n$$
Une autre manière de définir cette suite est de remarquer que chaque terme est le double du précédent ; on peut alors définir cette suite par :
$$ \left\{ \begin{array}{l} u_0=1 \\ u_{n+1}=2\times u_n \end{array} \right.$$
\item La seconde suite est la suite des carrés des premiers entiers, ainsi :
$$ u_n=n^2$$
\item La troisième suite admet pour premier terme $-3$ et pour calculer le suivant on ajoute toujours $4$ :
$$  \left\{ \begin{array}{l} u_0=-3 \\ u_{n+1}= u_n +4 \end{array} \right.$$
On peut aussi la définir de la manière suivante :
$$ u_n=-3+4n$$
\item La suite de Fibonacci se définit par :
$$ \left\{ \begin{array}{l} u_0=0\\u_1=1\\ u_{n+2}= u_n +u_{n+1} \end{array} \right. $$
\item La suite de Stern se définit par :
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.7]{stern.eps}
\\
Construction de la suite de Stern. La suite s'obtient en lisant chaque ligne successivement de gauche à droite. Les 1 de la colonne de droite sont à identifier avec les 1 de la colonne de gauche et ne sont pas pris en compte dans la liste des éléments de la suite.
\end{center}
$$\left\{ \begin{array}{l} u_0=0\\u_1=1\\ u_{2n}= u_n \\ u_{2n+1}=u_n+u_{n+1} \end{array} \right.  $$
\end{itemize}}
\newpage

\section{Suites numériques}

\subsection{Définition}

\begin{defi}
Une suite numérique est une suite liste ordonnée de nombre réels. \\
Soit $p\in \N$. Une suite $u$ est en fait une fonction de $\N$ dans $\R$ définie  à partir d'un certain entier $p$ . A chaque 
entier $n\geq p$, la suite $u$ associe un réel $u (n )$, que l’on note $u_n$.\\ 
$u_n$ est appelé terme d’indice $n$ ou de rang $n$ de la suite. 
$u_p$ est le premier terme, ou le terme initial de la suite. On note $(u_n )_{n\geq p}$ l’ensemble des termes de la 
suite.
\end{defi}

\Exoi{Déterminer le rang à partir duquel la suite $u$ suivante est définie :
$$ u_n=\sqrt{n-4}$$}

\subsection{Mode de génération d'une suite numérique}

On distingue principalement deux manières de définir les suites : de manière explicite ou par récurrence. \\

\begin{defi}[Formule explicite]
Soit $p\in\N$. Une suite $(u_n)_{n\geq p}$ est définie de manière explicite lorsqu'il existe une fonction $f$
définie sur $[p ; +\infty[$ telle que :
\begin{center}
$\forall n \geq p$, on a  $u_n=f(n)$
\end{center}
\end{defi}

\Expl{
On se donne $u_n=-2n+1$ pour $n \geqslant0$  \qquad (ici $u_n=f(n)$ avec $f$ d\'efinie sur $\R$ par $f(x)=-2x+1$.)\\
On a ainsi $u_0=-2 \times 0 +1 = 1$, $u_1=-2 \times 1 + 1 = -1$, $u_2 = -2\times 2 +1 = -3$, 
$u_3 = -6+1 = -5$, $u_4=-8 +1 = -7$, \dots $u_{100}=-199\dots$, etc
}

\Rq{
On peut alors calculer chaque terme de la suite par rapport à son indice.
}

\begin{defi}[Par récurrence]
Soit $f$ une fonction définie sur un ensemble $I$ telle que si $x\in I$ alors $f(x)\in I$.\\
Soit $a$ un nombre réel de $I$ et $p \in \N$.\\
On peut alors définir une suite $u$ en posant :
$\left\{ \begin{array}{l} u_p=a \\ u_{n+1}=f(u_n)\quad  \forall n \geq p \end{array} \right.$
\end{defi}

\Expl{
On se donne $\left\{ \begin{array}{l} u_0=1 \\ u_{n+1}=-2u_n+1 \end{array} \right.$
\qquad (ici $u_n=f(n)$ avec $f$ d\'efinie sur $\R$ par $f(x)=-2x+1$.)\\
On a ainsi $u_1=-2u_0+1=-2\times 1+1=-1$, $ u_2=-2u_1+1=-2\times(-1)+1=3$ , $u_3=-2u_2+1=-2\times 3+1=-5$,
etc
}

\Rqs{
\item En fait on se donne la valeur du premier terme et un procédé appelé \textbf{relation de récurrence} qui permet
de calculer un terme à partir du précédent.
\item On visualise ainsi facilement le lien logique entre les termes.
\item Dans l'exemple pr\'ec\'edent, pour calculer $u_{100}$, il faut conna\^itre $u_{99}$, et pour calculer $u_{99}$, il faut conna\^itre $u_{98}$, ainsi de suite \dots Il est alors pr\'ef\'erable d'exprimer $u_n$ en fonction de $n$ pour calculer $u_{100}$ directement.
}

\Cadre[Avec une calculatrice]{
\begin{tabular}{cc|cc}
\begin{minipage}[t]{7.5cm}
\begin{center}
\textbf{Avec une TI :}
\end{center}
Par défaut, la calculatrice est en mode fonction. Il faut passer en mode \textit{suite} en appuyant sur 
\fbox{\textbf{Mode}} puis mettre \fbox{\texttt{Suite}} en surbrillance.\\
Pour entrer l'expression de la suite $(u_n)$, on procède désormais comme pour une fonction :
on appuie sur \fbox{$f(x)$} ce qui nous permet d'entrer le premier 
indice, l'expression de la suite et éventuellement son premier terme. \\
\textit{Le $n$ s'obtient avec la touche \fbox{$x$, $t$, $\theta$, $n$} et le $u$ s'obtient
en appuyant sur \fbox{\textbf{2nde}} + \fbox{$7$} (on met l'indice entre parenthèses).}\\
On obtient le tableau de valeurs dans 
\begin{center}
\fbox{\textbf{Table}}= \fbox{\textbf{2nde}} + \fbox{\textbf{Graphe}}.
\end{center}
\end{minipage}
&&&
\begin{minipage}[t]{7.5cm}
\begin{center}
\textbf{Avec une Casio :}
\end{center}
On choisit le mode \textit{suite} en sélectionnant le menu \fbox{\textbf{\texttt{Recur}}}.\\
On choisit ensuite le type de suite (explicite ou récurrente) grâce à la touche \fbox{\textbf{F3 : \texttt{Type}}} 
puis la touche \fbox{\textbf{F1}} (explicite) ou \fbox{\textbf{F2}} (récurrente).\\
On entre ensuite l'expression de la suite et on appuie sur \fbox{\textbf{F5 : \texttt{SET}}} 
pour paramétrer le tableau, notamment donner le premier indice et/ou premier terme si nécessaire.\\
\textit{Le $n$ s'obtient avec la touche \fbox{\textbf{F1 : $n$}} et le $a_n$ s'obtient
avec la touche \fbox{\textbf{F2 : $a_n$}}}\\
On peut alors afficher les valeurs de la table grâce à \fbox{\textbf{F6 : \texttt{TABL}}}
\end{minipage}
\\
\end{tabular}
}




\Exoi{Soit la suite $(v_n)_{\N}$ par 
$\left\{ \begin{array}{l} v_0=2 \\ v_{n+1}=2v_n+3n\quad  \forall n \in\N \end{array} \right.$.
\begin{enumerate}
 \item Calculer $v_1$, $v_{2}$ et $v_{3}$.
 \item Exprimer $v_{n}$, $v_{n-1}$, $v_{2n}$ et $v_{3n-1}$ en fonction du terme approprié de la suite $(v_n)$.
\end{enumerate}
}

\Exoi{Soit la suite $(u_n)_{\N}$ définie par $u_n= (-2)^n+3$ et la suite $(v_n)_{\N}$ par 
$\left\{ \begin{array}{l} v_0=4 \\ v_{n+1}=-2v_n+9\quad  \forall n \in\N \end{array} \right.$.
\begin{enumerate}
 \item Pour chacune des suites $u$ et $v$ :
\begin{enumerate}
 \item Déterminer les valeurs des trois premiers termes.
 \item Vérifier à la calculatrice les réponses de la question précédente.
\end{enumerate}
\item Quelle conjecture peut-on émettre sur les suites $u$ et $v$ ? Démontrer cette conjecture.
\end{enumerate}
}



%\subsection{Représentation graphique}
%\subsubsection{Suites explicites}
%\begin{defi}
%On se place dans un repère $(O;\vec i, \vec j)$. 
%La représentation graphique d'une suite définie explicitement $(u_n)$ est l'ensemble des points de 
%coordonnées $(n;u_n)$
%\end{defi}
%
%\Expl{Soit $(u_n)$ la suite définie, pour $n\geq 1$, par $$u_n=\dfrac{1}{n} $$
%Sa représentation graphique est donc l'ensemble des points \textbf{isolés} de coordonnées $\left(1;1\right)$,
%$\left(2,\dfrac{1}{2}\right)$, $\left(3,\dfrac{1}{3}\right)$, $\left(4,\dfrac{1}{4}\right)$, 
%$\left(5,\dfrac{1}{5}\right)$, etc$\dots$}
%\begin{center}
%\psset{xunit=2cm , yunit=3cm}
%\begin{pspicture*}(-1.1,-0.35)(5.35,1.2)
%\def\xmin{-1} \def\xmax{5.25} \def\ymin{-0.25} \def\ymax{1.2}
%\newrgbcolor{couleurcadre}{0.99 0.99 0.99}
%\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=couleurcadre](-1.1,-0.35)(5.35,1.2)
%\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
%\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
%\psclip{%
%\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
%}
%\newrgbcolor{couleur1}{0.6549 0.6549 0}
%\newrgbcolor{couleur2}{0 0.3176 0.4745}
%\newrgbcolor{couleur3}{0.0941 0.647 0.0196}
%\psdot(1,1) 
%\psdot(2,0.5)
%\psdot(3,0.33)
%\psdot(4,0.25)
%\psdot(5,0.2)    
%\endpsclip
%\psaxes[labels=none,labelsep=1pt,Dx=1,Dy=1,Ox=0,Oy=0]{-}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
%\uput[dl](0,0){0}
%\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(1,0) \uput[d](0.5,0){\small $\vec i$}
%\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(0,1) \uput[l](0,0.5){\small $\vec j$}
%\end{pspicture*}
%\end{center}
%
%\Exoi{
%\begin{multicols}{2}
%Soit $f$ la fonction définie par sa courbe représentative $\mathscr C_f$ ci-contre et la suite $u$ de terme général $u_n=f(n)$.
%\begin{enumerate}
% \item Lire une valeur approchée des termes de  $u_0$ à $u_5$.
%\item Que peut-on dire du comportement des premiers termes de $u$ ?
%\end{enumerate}
%\begin{center}
%%\scalebox{0.8} % Change this value to rescale the drawing.
%{
%\begin{pspicture}(-1,-0.50)(7.02,4.0)
%\psset{xunit=1.0cm,yunit=0.7cm}
%\psgrid[subgriddiv=0,gridlabels=0,gridcolor=lightgray](0,0)(-1,-1)(7,7)
%\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0]{->}(0,0)(-1,-1)(7,7)
%\pscustom[linewidth=0.04]
%{
%\newpath
%\moveto(0,1)
%\curveto(0,1)(0.25,0.1)(0.5,1.)
%\curveto(0.6,1.7)(1,2)
%\curveto(1.1,2.1)(1.4,4.4)(1.5,4.5)
%\curveto(1.6,4.4)(1.7,4)(2,3.5)
%\curveto(2.5,2.75)(2.75,3.8)(3,4)
%\curveto(3.5,4.2)(3.7,4.3)(4,4.5)
%\curveto(4.5,4.2)(4.8,4.5)(5,5)
%\curveto(5.2,5.5)(5.5,6.5)(6,6)
%}
%\end{pspicture} 
%}
%\end{center}
%\end{multicols}
%}
%
%
%
%
%\subsubsection{Suites récurrentes}
%
%\Exoi{
%On considère la fonction $f$ définie sur $[0;+\infty[$ par $f(x)=\sqrt{x}$.\\
%La suite $(u_n)$ est définie par $u_0=3$ et pour tout $n\geq 0$ on a $u_{n+1}=f(u_n)=\sqrt{u_n}$.\\
%\partieBac{Tracer les premiers termes sur l'axe des abscisses}
%\begin{enumerate}
% \item Tracer soigneusement la courbe $\mathscr C$ représentant $f$ et la droite $\Delta$ d'équation $y=x$ sur $[0;3]$ 
%dans un repère orthonormé avec pour unité 5 cm.
%\item \begin{enumerate}
% \item Placer $u_0$ sur l'axe des abscisses. Placer $u_1=f(u_0)$ sur l'axe des ordonnées.
% \item Placer le point $A_1$ de $\Delta$ d'ordonnée $u_1$. Quelle est son abscisse ?\\
%Placer alors $u_1$ sur l'axe des abscisses.
%\item Sachant que $u_2=f(u_1)$, expliquer comment construire $u_2$ sur l'axe des abscisses. Le construire.
%\end{enumerate}
%\item Construire ainsi, pas à pas, sur l'axe des abscisses, les premiers termes de la suite jusqu'à $u_5$.
% \item Comment se poursuivrait le tracé si on pouvait agrandir le graphique ?\\
% Emettre des conjectures sur le comportement de la suite $(u_n)$.
%%Quelles conjectures peut-on faire sur le sens de variation de $(u_n)$ et sur sa limite éventuelle ?
%\end{enumerate}
%\partieBac{ Influence du premier terme}
%\begin{enumerate}
% \item Sur votre calculatrice, afficher de même les premiers termes de la suite $(v_n)$ définie par $v_0=0.1$ et 
%pour tout $n$, $v_{n+1}=f(v_n)$.\\
%\textit{Dans }\fbox{\textbf{Fenêtre}}, \textit{choisir $X$ et $Y$ entre 0 et 1.}
%\item Emettre des conjectures sur le comportement de la suite $(v_n)$.
%\end{enumerate}
%}
%
%
%Dans le cas d'une suite récurrente, on ne cherche pas en général à représenter graphiquement la suite 
%comme pour les suites explicites (mais on pourrait très bien le faire). \\
%On préfère représenter ses premiers termes sur l'axe des abscisses en s'appuyant sur la représentation 
%graphique de la fonction définissant la relation de récurrence. \\
%On obtient alors un diagramme \og en escalier \fg ou en \og en escargot \fg. 
%%On peut alors faire des conjectures sur le sens de variation, etc.
%
%\Expl{On considère la suite $(u_n)$ définie pour $n\geq 0$ par $u_{n+1}=2 \sqrt{u_n}+2$ et $u_0=1$\newline
%On considère la fonction $f$ vérifiant $u_{n+1}=f(u_n)$ définie par $f : x\longmapsto 2 \sqrt{x}+2$. 
%}
%\begin{multicols}{2}
%\begin{enumerate}
% \item On trace la courbe $\mathscr C_f$ représentative de $f$ 
% \item On place $u_0$ sur l'axe des abscisses et $u_1$, image de $u_0$ par $f$, sur l'axe des ordonnées
% \item Comme $u_2$ est l'image de $u_1$ par $f$, on veut avoir $u_1$ sur l'axe des abscisses.\\
%Pour cela, on utilise la droite $\Delta$ d'équation $y=x$, que l'on prendra soin de tracer.
%\item On reporte alors $u_1$ sur l'axe des abscisses, à l'aide de $\Delta$
%\item On place $u_2$ image de $u_1$ par $f$, puis on reporte $u_2$ sur l'axe des abscisses, etc.
%\end{enumerate} 
%\begin{center}
%\psset{xunit=0.9cm , yunit=0.9cm}
%\begin{pspicture*}(-0.5,-0.6)(8.5,8.6)
%\def\xmin{0} \def\xmax{8} \def\ymin{0} \def\ymax{8}
%\newrgbcolor{couleurcadre}{0.99 0.99 0.99}
%\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=couleurcadre](-0.5,-0.6)(8.5,8.6)
%\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
%\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
%\psclip{%
%\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
%}
%\newrgbcolor{couleur1}{0.6549 0.6549 0}
%\newrgbcolor{couleur2}{0 0.3176 0.4745}
%\newrgbcolor{couleur3}{0.0941 0.647 0.0196}
%%\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dotted]{-}(1,0)(1,4)
%\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dashed]{-}(1,0)(1,4)
%\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dotted]{-}(0,4)(4,4)
%\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dashed]{-}(1,4)(4,4)
%\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dotted]{-}(4,0)(4,6)
%\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dashed]{-}(4,4)(4,6)
%\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dashed]{-}(4,6)(6,6)
%\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dotted]{-}(0,6)(6,6)
%\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dashed]{-}(6,6)(6,6.89897)
%\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dotted]{-}(6,0)(6,6.89897)
%\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dashed]{-}(6,6.89897)(6.89897,6.89897)
%\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dashed]{-}(6.89897,6.89897)(6.89897,7.25318)
%\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dotted]{-}(0,6.89897)(6.89897,6.89897)
%\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dashed]{-}(6.89897,7.25318)(7.25318,7.25318)
%\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dotted]{-}(6.89897,0)(6.89897,7.25318)
%\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dotted]{-}(0,7.25318)(7.25318,7.25318)(7.25318,0)
%\def\F{2 x sqrt mul 2 add}
%\psplot[linecolor=gray,linewidth=0.5pt,linestyle=solid]{0}{8}{x}
%\psplot[linewidth=1.2pt,linecolor=red,linestyle=solid,plotpoints=1000]{0}{8}{\F}
%\uput[0](3,6.5){$\mathscr C_f$}
%\endpsclip
%\psaxes[labels=none,labelsep=1pt,Dx=1,Dy=1,Ox=0,Oy=0]{->}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
%\uput[dl](0,0){0}
%\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(1,0) \uput[d](0.5,0){\small $\vec i$}
%\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(0,1) \uput[l](0,0.5){\small $\vec j$}
%\uput[-90](1,0){\small $u_0$}
%\uput[180](0,4){\small $u_1$}
%\uput[-90](4,0){\small $u_1$}
%\uput[180](0,6){\small $u_2$}
%\uput[-90](6,0){\small $u_2$}
%\uput[180](0,6.89897){\small $u_3$}
%\uput[-90](6.89897,0){\small $u_3$}
%\uput[180](0,7.25318){\small $u_4$}
%\uput[-90](7.25318,0){\small $u_4$}
%\uput[ur](7.5,8){\small $\Delta$}
%\end{pspicture*}
%\end{center}
%\end{multicols}
%
%\Rq{Dans l'exemple précédent, on constate que les termes de la suite semblent augmenter et se rapprocher
% d'une valeur \og limite \fg : celle de l'abscisse du point d'intersection entre $\mathscr C_f$ et de $\Delta$. \\
%On dira que la suite est croissante et qu'elle \textit{converge} vers cette valeur $l$, appelée limite de la suite $(u_n)$.\\
%Pour la trouver, on résout l'équation $f(l)=l$ :
%$$f(l)=l \iff 2\sqrt{l}+2=l \iff 2\sqrt{l}=l-2 \iff 4l=l^2-4l+4 \quad\text{ et }\quad \left\{\begin{array}{l}
%                                                                                              l>0 \\ l-2>0
%                                                                                             \end{array}\right.
%\iff l^2 -8l+4=0\quad \text{ et } \quad l>2$$
%$\Delta = 64-4\times 1 \times 4 = 48$. \quad  Donc $l_1=\dfrac{8+4\sqrt{3}}{2}=4+2\sqrt{3}$ et $l_2=4-2\sqrt{3}<2$.
%Donc $l=4+2\sqrt{3}$. \\
%On note $\lim\limits_{n \to + \infty} u_n = 4+2\sqrt{3}$
%}
%
%\Expl{On considère la suite $(u_n)$ définie pour $n\geq 0$ par $u_{n+1}=-\dfrac{2}{3} u_n-1$ et 
%$u_0=7$\newline
%On considère la fonction $f$ vérifiant $u_{n+1}=f(u_n)$ définie par $f : x\longmapsto -\dfrac{2}{3}x-1$. \\
%On a représenté ci-dessous la représentation graphique $\mathscr C_f$ de $f$ et la droite $\Delta$ d'équation $y=x$, 
%puis on a suivi les mêmes étapes que pour l'exemple précédent.}
%\begin{center}
%\psset{xunit=0.9cm , yunit=0.9cm}
%\begin{pspicture*}(-8.5,-6.6)(8.5,4.6)
%\def\xmin{-8} \def\xmax{8} \def\ymin{-6} \def\ymax{4}
%\newrgbcolor{couleurcadre}{0.99 0.99 0.99}
%\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=couleurcadre](-8.5,-6.6)(8.5,4.6)
%\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
%\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
%\psclip{%
%\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
%}
%\newrgbcolor{couleur1}{0.6549 0.6549 0}
%\newrgbcolor{couleur2}{0 0.3176 0.4745}
%\newrgbcolor{couleur3}{0.0941 0.647 0.0196}
%\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dashed]{-}(7,0)(7,-5.66667)(-5.66667,-5.66667)
%(-5.66667,2.77777)(2.77777,2.77777)(2.77777,-2.85186)(-2.85186,-2.85186)(-2.85186,0.90123)(0.90123,0.90123)
%(0.90123,-1.60083)(-1.60083,-1.60083)(-1.60083,0.06721)(0.06721,0.06721)(0.06721,-1.04482)
%(-1.04482,-1.04482)(-1.04482,0)
%\def\F{0 2 x mul 3 div sub 1 sub}
%\psplot[linecolor=gray,linewidth=0.5pt,linestyle=solid]{-8}{8}{x}
%\psplot[linewidth=1.2pt,linecolor=red,linestyle=solid,plotpoints=1000]{-8}{8}{\F}
%\uput[0](4.2,-3.5){$\mathscr C_f$}
%\endpsclip
%\psaxes[labels=none,labelsep=1pt,Dx=1,Dy=1,Ox=0,Oy=0]{->}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
%\uput[dl](0,0){0}
%\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(1,0) \uput[d](0.5,0){\small $\vec i$}
%\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(0,1) \uput[l](0,0.5){\small $\vec j$}
%\uput[u](7,0){\small $u_0$}
%\uput[ul](0,-5.66667){\small $u_1$}
%\uput[dl](-5.66667,0){\small $u_1$}
%\uput[ul](0,2.77777){\small $u_2$}
%\uput[dr](2.77777,0){\small $u_2$}
%\uput[dr](0,-2.85186){\small $u_3$}
%\uput[dl](-2.85186,0){\small $u_3$}
%\uput[ul](0,0.90123){\small $u_4$}
%\uput[dr](0.90123,0){\small $u_4$}
%\uput[dl](0,-1.60083){\small $u_5$}
%\uput[u](-1.60083,0){\small $u_5$}
%\uput[dl](4.5,4){\small $\Delta$}
%%\uput[130](0,0.06721){\small $u_6$}
%%\uput[-30](0.06721,0){\small $u_6$}
%%\uput[130](0,-1.04482){\small $u_7$}
%%\uput[-30](-1.04482,0){\small $u_7$}
%\end{pspicture*}
%\end{center}
%
%\Rq{Contrairement à l'exemple précédent, les éléments de la suite ne semblent pas faire qu'augmenter ou diminuer. Cette
%suite n'est ni croissante, ni décroissante. Mais cette suite semblent également convergente vers l'abscisse $l$ du point d'intersection 
%de $\mathscr C_f$ et $\Delta$.\\
%Pour trouver $l$, on résout $f(l)=l \iff -\dfrac23l-1=l \iff \dfrac53l=-1 \iff l=-\dfrac35$.
%}
%
%\Exoi{
%\begin{multicols}{2}
%On a tracé ci-contre la courbe représentative d'une fonction $g$ et la droite $\Delta : y=x$.\\
%On a représenté les quatre premiers termes de la suite $t$ définie par son terme initial $t_0$ et la relation 
%$$t_{n+1}=g(t_n) \qquad \text{ 
%pour tout entier } n\geq 0$$
%Donner le terme initial $t_0$ et lire des valeurs approchées de $t_1$, $t_2$ et $t_3$.
%\begin{center}
% \newrgbcolor{ttttff}{0.2 0.2 1}
%\newrgbcolor{qqzzqq}{0 0.6 0}
%\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm}
%\begin{pspicture*}(-6,-1)(4,4)
%\psgrid[subgriddiv=0,gridlabels=0,gridcolor=lightgray](0,0)(-6,-1)(4,4)
%\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
%\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-6,-1)(4,4)
%\psplot[linewidth=1.2pt,linecolor=red]{-6}{4}{(-0--1*x)/1}
%\psplot[linewidth=1.2pt,linecolor=ttttff,plotpoints=200]{-6.0}{4.0}{sqrt(x+6)}
%\psline[linewidth=1.2pt,linestyle=dashed,dash=1pt 1pt,linecolor=qqzzqq](-5,0)(-5,1)
%\psline[linewidth=1.2pt,linecolor=qqzzqq](-5,1)(1,1)
%\psline[linewidth=1.2pt,linecolor=qqzzqq](1,1)(1,2.65)
%\psline[linewidth=1.2pt,linecolor=qqzzqq](1,2.65)(2.65,2.65)
%\psline[linewidth=1.2pt,linecolor=qqzzqq](2.65,2.65)(2.65,2.94)
%\psline[linewidth=1.2pt,linecolor=qqzzqq](2.65,2.94)(2.94,2.94)
%\psline[linewidth=1.2pt,linestyle=dashed,dash=1pt 1pt,linecolor=qqzzqq](1,0)(1,1)
%\psline[linewidth=1.2pt,linestyle=dashed,dash=1pt 1pt,linecolor=qqzzqq](2.65,2.65)(2.65,0)
%\psline[linewidth=1.2pt,linestyle=dashed,dash=1pt 1pt,linecolor=qqzzqq](2.94,2.94)(2.94,0)
%\rput[bl](2,3.5){\red{$\Delta:y=x$}}
%\rput[bl](-5.64,1.13){\ttttff{$\mathscr C_g$}}
%\end{pspicture*}
%\end{center}
%\end{multicols}
%}
%
%\Cadre[Avec une calculatrice]{
%%\begin{tabular}{cc|cc}
%%\begin{minipage}[t]{10cm}
%\begin{center}
%\textbf{Avec une TI : } 
%\end{center} 
%Se mettre en Mode \fbox{\texttt{Suite}}.
%\begin{itemize}
% \item[$\blacktriangleright$] \textbf{Pour une suite explicite} :
% \begin{itemize}
% \item Mettre en surbrillance le Mode \fbox{\texttt{NonRelié}} 
%afin que les points ne soient pas reliés entre eux.
%\item Rentrer la suite  dans \fbox{$f(x)$} en précisant l'indice de départ.
%\item Dans \fbox{\textbf{Format} : 2nde + Zoom} mettre en surbrillance  \fbox{\texttt{f(n)}}.\\
%\end{itemize}
%\item[$\blacktriangleright$] \textbf{Pour une suite récurrente} :
% \begin{itemize}
%\item Mettre en surbrillance le \textit{Mode} \fbox{\texttt{Relié}}.
%\item Rentrer la suite  dans \fbox{$f(x)$} en précisant l'indice de départ, \texttt{u(n)} en fonction des termes précédents appropriés
%et le premier terme.
%\item Aller dans \fbox{\textbf{Format} : 2nde + Zoom} et mettre en surbrillance  \fbox{\texttt{Esc}} (en escalier).\\
%\end{itemize}
%\end{itemize}
%Ensuite, appuyer sur \fbox{\textbf{Graphe}}, puis \fbox{\textbf{Trace}} et les flèches \fbox{$\rhd$} et \fbox{$\lhd$}
%pour voir les termes de la suite.\\
%Afin d'ajuster la fenêtre automatiquement, appuyer sur \fbox{\textbf{Zoom}} et choisir \fbox{\texttt{ZMinMax}}.\\
%%\end{minipage}
%%&&&
%%\begin{minipage}[t]{5cm}
%\begin{center}
%\textbf{Avec une Casio :}
%\end{center}
%Se mettre en \textit{Mode} \textit{suite}.\\
%Enregistrer la suite dans le bon \textit{Type}. \\
%Appuyer ensuite sur la touche  \fbox{\textbf{F4 : \texttt{WEB}}} 
%ou encore \fbox{\textbf{F6 : \texttt{TABL}}} + \fbox{\textbf{F6 : \texttt{G-PLT}}}.\\
%
%Afin d'ajuster la fenêtre automatiquement, appuyer sur \fbox{\textbf{F2 : \texttt{Zoom}}} et choisir \fbox{\texttt{AUTO}}.
%%\end{minipage}
%%\\
%%\end{tabular}
%}
%
%\Exoi{\begin{enumerate}
%       \item Soit la suite $u$ définie sur $\N$ par $\left\{\begin{array}{l}
%                                                u_0=-1 \\ u_{n+1}=\sqrt{2u_n+6}
%                                               \end{array}\right.$\\
%Afficher sur votre calculatrice une représentation graphique de la suite $u$.
% \item Même question pour la suite $v$ définie sur $\N$ par $v_{n}=\sqrt{2n+6}$.
%      \end{enumerate}
%}
%
%
%



%\section{Sens de variation d'une suite numérique}
%
%\subsection{Définition}
%
%\Exoi{Soient les suites $(u_n)$, $(v_n)$, $(w_n)$  et $(t_n)$ définies sur $\N$ par :
%$$u_n=2n+3 \qquad \qquad v_n=5 \times 0.8^n \qquad \qquad w_n=5 \times (-0.8)^n \qquad \text{ et } \qquad 
%\left\{\begin{array}{l}
%t_0=4 \\ t_{n+1}= t_n-3
% \end{array}\right.
%$$
%Comparer pour tout $n\in\N$ les termes suivants :
%\begin{enumerate}
%\begin{multicols}{4}
%  \item $u_{n+1}$ et $u_n$.
% \item $v_{n+1}$ et $v_n$.
% \item $w_{n+1}$ et $w_n$.  
%\item $t_{n+1}$ et $t_n$.
%\end{multicols}
%\end{enumerate}
%}
%
%\begin{defi}Soit $(u_n)$ une suite de nombre réels. On dit que la suite $(u_n)$ est 
%\begin{itemize}
%\item \textbf{croissante} (à partir du rang $p$) si et seulement $u_n\leq u_{n+1}$, $\forall n\geq p$.
%\item \textbf{décroissante} (à partir du rang $p$) si et seulement $u_n\geq u_{n+1}$, $\forall n\geq p$.
%\item \textbf{monotone} (à partir du rang $p$) si et seulement elle est croissante ou décroissante 
%(à partir du rang $p$)
%\item \textbf{stationnaire} (à partir du rang $p$) si et seulement si $u_n=u_{n+1}$ pour tout entier 
%$n\geq p$ (si la suite est définie à partir du rang $p$ alors on dit que la suite est \textbf{constante})
%\end{itemize} 
%\end{defi}
%
%\Rq{
%%\item 
%On définit la stricte croissance ou décroissance à l'aide des inégalités strictes suivantes : 
%$$u_n<u_{n+1} \text{ ou } u_n>u_{n+1}$$
%%\item Les intervalles d'entiers sont souvent notés à l'aide de crochets doubles. Par exemple 
%%$\text{\textlbrackdbl  2,5  \textrbrackdbl}=\{2;3;4;5\}$.
%%Si bien qu'on pourra écrire, par exemple, qu'une suite est croissante sur \textlbrackdbl  $0,+\infty[$  
%}
%\subsection{Méthode : Comment étudier le sens de variation d'une suite ?}
%
%\Cadre[Méthodes pour étudier les variations d'une suite]{
%\begin{itemize}
%\item[$\blacktriangleright$] On \'etudie g\'en\'eralement le signe de $u_{n+1}-u_n$ selon les valeurs de $n$.
%\item[$\blacktriangleright$] Si tous les termes de la suite $u$ sont \textbf{strictement positifs}, 
%on peut comparer le quotient $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}$ avec 1.\\
%\textit{Ceci se révèle souvent pratique dans le cas où il y a des exposants $n$ dans l'expression de la suite.}
%\end{itemize}}
%
%
%
%\Expls{
%\begin{enumerate}
%\item Soit la suite $(u_n)_{n\in\N}$ est d\'efinie par $u_n=n^2+2$, alors on a
%$$u_{n+1}=(n+1)^2+2=n^2+2n+3$$
%Ainsi pour tout $n$ on a $u_{n+1}-u_n=2n+1 > 0$ pour tout $n>0$.\\
%Donc $u_{n+1} > u_n$ pour tout $n$ : la suite est donc strictement croissante sur $\N$.
%\item Soit $(v_n)_{n\in\N}$ d\'efinie par $v_n=2\times5^n$. \\
%On a $v_n>0$ pour tout entier naturel $n$ et $$v_{n+1}=2\times 5^{n+1}$$
%Ainsi pour tout $n$ on a $$\dfrac{v_{n+1}}{v_n}=\cfrac{5^{n+1}}{5^{n} }=5 >1$$
%Donc $v_{n+1}>v_n$ pour tout $n$ : la suite est donc strictement croissante sur \textlbrackdbl  $0,+\infty[$   
%\item Etudier de deux manières différentes le sens de variation de la suite $(w_n)_{n\geq 3}$ définie par $$ w_n=\dfrac{3n-1}{n+2}$$ 
% %\item On considère la suite $u$ définie par $u_n=2n+\sin n$\newline
%%Étudions, pour tout entier $n$, le signe de la différence de deux termes consécutifs : 
%%$$ u_{n+1}-u_n=2(n+1)+\sin (n+1)-2n-\sin n=2+\sin (n+1) - \sin n$$
%%Or, $\forall x\in \R$ on a : $-1\leq \sin x \leq 1$, par conséquent :
%%$$ 2+\sin (n+1)-\sin n>0\Longleftrightarrow u_{n+1}>u_n$$
%%La suite $u$ est donc strictement croissante.
%\end{enumerate}
%}
%
%\begin{theo}On considère la suite $(u_n)_{n\geq p}$ définie \textbf{explicitement} par $u_n=f(n)$, avec $f$ définie sur 
%l'intervalle $[p;+\infty[$.\newline
%Si la fonction $f$ est monotone (resp. strictement monotone) sur $[p;+\infty[$ alors la suite $(u_n)$ est monotone
% (resp. strictement monotone) et possède le même sens de variation que la fonction $f$
% \end{theo}
%
%\Rqs{
%\item On a déjà vu graphiquement que ce théorème était faux pour les suites définies par récurrence.
%\item La réciproque de ce théorème est fausse i.e que l'on peut trouver une suite croissante, 
%par exemple, définie par une fonction non croissante, comme sur le dessin ci-dessous :
%\begin{center}
%\begin{pspicture}(-1,-0.50)(7,4.50)
%\psset{xunit=1.0cm,yunit=0.6cm}
%\psgrid[subgriddiv=0,gridlabels=0,gridcolor=lightgray](0,0)(-1,-1)(7,7)
%\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0]{->}(0,0)(-1,-1)(7,7)
%\pscustom[linewidth=0.04]
%{
%\newpath
%\moveto(0,1)
%\curveto(0,1)(0.25,0.1)(0.5,1.)
%\curveto(0.6,1.7)(1,2)
%\curveto(1.1,2.1)(1.4,4.4)(1.5,4.5)
%\curveto(1.6,4.4)(1.7,4)(2,3.5)
%\curveto(2.5,2.75)(2.75,3.8)(3,4)
%\curveto(3.5,4.2)(3.7,4.3)(4,4.5)
%\curveto(4.5,4.2)(4.8,4.5)(5,5)
%\curveto(5.2,5.5)(5.5,6.5)(6,6)
%}
%\end{pspicture} 
%\end{center}
%}
%
%\Dem{On a $p \leq n <n+1$ donc si $f$ est strictement croissante sur $[p;+\infty[$, on a par définition :
%$$f(n)<f(n+1)\Longleftrightarrow u_n<u_{n+1}$$
%Par conséquent, $(u_n)$ est strictement croissante.\\
%De la même manière, si $f$ est strictement décroissante sur $[p;+\infty[$, on a 
%$$f(n)>f(n+1)\Longleftrightarrow u_n>u_{n+1}$$
%Par conséquent, $(u_n)$ est strictement décroissante.
%}
%
%\Expls{Etudier avec cette troisième méthode le sens de variation des suites $(u_n)_{n\in\N}$ et $(w_n)_{n\geq 3}$ définies 
%dans l'exemple précédent.
%\begin{itemize}
% \item Soit $f : x \longmapsto x^2+2$ ; définie sur $[0 ; + \infty[$.\\
%$f$ est une fonction trinôme et sait qu'elle est strictement croissante sur $[0 ; + \infty[$.\\
%Donc $(u_n)$ est aussi strictement croissante sur $\N$.
%\item Soit $g:x\longmapsto \dfrac{3x-1}{x+2}$ ; définie sur $[3 ; +\infty[$.\\
%On a $g(x)=\dfrac{3x}{x+2}-\dfrac1{x+2}=3\dfrac1{1+\dfrac{2}{x}}+\left(-\dfrac1{x+2}\right)$.\\
%Or on a 
%\begin{center}
% \begin{tikzpicture}
%\tkzTabInit[espcl=2]{$x$/0.5, Variations de $1+\dfrac2x$/1.5, Variations de $\dfrac1{1+\frac2x}$/1.5,
%Variations de $3\dfrac1{1+\frac2x}$/1.5}{$3$,$+\infty$}
%\tkzTabVar{+ /, -/ }
%%\tkzTabIma{}{4}{3}{$0$}
%\tkzTabVar{- / , +/ }
%\tkzTabVar{- / , +/ }
%\end{tikzpicture}
%et 
% \begin{tikzpicture}
%\tkzTabInit[espcl=2]{$x$/0.5, Variations de $x+2$/1.5, Variations de $\dfrac1{x+2}$/1.5, 
%Variations de $-\dfrac1{x+2}$/1.5}{$3$,$+\infty$}
%\tkzTabVar{- /, +/ }
%%\tkzTabIma{}{4}{3}{$0$}
%\tkzTabVar{+ / , -/ }
%\tkzTabVar{- /, +/ }
%\end{tikzpicture}
%\end{center}
%Or la somme de fonctions croissantes est croissante. Donc $g$ est croissante sur $[3 ; + \infty[$.
%On en conclut que $(w_n)_{n\geq 3}$ est aussi strictement croissante pour $n\geq 3$.
%\end{itemize}
%}
%
%
%\section{Notion de limite d'une suite numérique}
%
%\subsection{Etude d'un exemple}
%
%\Exoi{Soient les suites $(u_n)$, $(v_n)$ et $(w_n)$ définies sur $\N$ par :
%$$u_n=\dfrac1n \qquad \qquad v_n=n^2-3 \qquad \qquad w_n=(-1)^n$$
%\begin{enumerate}
% \item Etudier le sens de variation de chacune de ces suites.
% \item %Calculer pour chacune des suites les termes de rang $100$, $1000$, $10^6$ et $10^{6}+1$.\\
%Conjecturer graphiquement le \og comportement à l'infini \fg de ces suites.
%\item \begin{enumerate}
%       \item Déterminer un entier $p$ tel que pour tout entier $n\geq p$, on ait $0 \leq u_n \leq 10^{-6}$.
%\item Peut-on faire de même en remplaçant $10^{-6}$ par n'importe quel réel $\varepsilon >0$ ?
%      \end{enumerate}
%\item \begin{enumerate}
%       \item Déterminer un entier $p'$ tel que pour tout entier $n\geq p'$, on ait $v_n \geq 10^{10}$.
%\item Peut-on faire de même en remplaçant $10^{10}$ par n'importe quel réel $M$ ?
%      \end{enumerate}
%\end{enumerate}
%}
%\subsection{Suite convergente, suite divergente}
%
%
%
%
%\begin{defi}
%On dit qu'une suite \textbf{admet une limite réelle $\ell$} (ou \textbf{converge vers le réel $\ell$}) lorsque tous les termes de
%la suite $(u_n)$ sont aussi proches de $\ell$ que l'on veut à partir d'un certain rang.
%\\
%Autrement dit une suite converge vers le réel $\ell$ si tout intervalle du type $]\ell -\varepsilon; \ell +\varepsilon[$ (avec $\varepsilon>0$) contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang $N$.
%On note $\lim\limits_{n \to + \infty} u_n = \ell$.
%\end{defi}
%
%\Rq{Autrement dit, quelque soit le nombre $\varepsilon$ choisi (aussi petit que l'on veut), 
%il existe un rang $N$  (dépendant de $\varepsilon$) à partir duquel 
%tous les termes de la suite $(u_n)$ sont contenus dans l'intervalle $]\ell-\varepsilon ; \ell+ \varepsilon[ $).
%}
%\Expl{
%Graphiquement, cela se traduit ainsi : 
%\begin{center}
%%\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}
%\psset{xunit=0.7cm , yunit=10cm}
%\begin{pspicture*}(0,0.95)(25.1,1.8)
%\def\xmin{-1} \def\xmax{25} \def\ymin{1} \def\ymax{1.8}
%\newrgbcolor{couleurcadre}{0.99 0.99 0.99}
%\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
%\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
%\psclip{%
%\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
%}
%\newrgbcolor{couleur1}{0.6549 0.6549 0}
%\newrgbcolor{couleur2}{0 0.3176 0.4745}
%\newrgbcolor{couleur3}{0.0941 0.647 0.0196}
%\def\F{1.5}
%\psplot[linecolor=blue,linestyle=solid,plotpoints=1000]{0}{25}{\F}
%\def\G{1.55}
%\psplot[linecolor=black,linestyle=solid,plotpoints=1000]{0}{25}{\G}
%\def\H{1.45}
%\psplot[linecolor=black,linestyle=solid,plotpoints=1000]{0}{25}{\H}
%\pscustom[fillstyle=hlines,hatchwidth=0.3pt,hatchsep=12pt,hatchcolor=gray,linestyle=solid]
%{
%\psplot{0}{25}{\G}
%\psplot{25}{0}{\H}
%}
%\psdot(1,1)
%\psdot(2,1.75)
%\psdot(3,1.33)
%\psdot(4,1.625)
%\psdot(5,1.4)
%\psdot(6,1.58)
%\psdot(7,1.42)
%\psdot(8,1.56)
%\psdot(9,1.44)
%\psdot(10,1.55)
%\psdot(11,1.45)
%\psdot(12,1.54)
%\psdot(13,1.46)
%\psdot(14,1.53)
%\psdot(15,1.47)
%\psdot(16,1.53125)
%\psdot(17,1.471)
%\psdot(18,1.527)
%\psdot(19,1.473)
%\psdot(20,1.525)
%\psdot(21,1.476)
%\psdot(22,1.522)
%\psdot(23,1.478)
%\psdot(24,1.52)
%\psdot(25,1.48)
%\psdot(26,1.519)
%\uput[ur](-0.7,1.48){$\ell$}
%\psline[linestyle=dashed,linecolor=black](10,0)(10,1.53)
%\psline[linecolor=black]{<->}(1,1.45)(1,1.5)
%\psline[linecolor=black]{<->}(1,1.5)(1,1.55)
%\uput[ul](1,1.5){$\varepsilon$}
%\uput[ul](1,1.45){$\varepsilon$}
%\uput[ur](10,1.3){$10$ est le rang à partir duquel tous les termes}
%\uput[ur](10,1.2){de la suite sont dans la bande hachurée dépaisseur choisie}
% \uput[ur](5,1.7){Illustration avec la suite définie pour tout $n\geq 1$ par $u_n=\dfrac{3n+(-1)^n}{2n}$ }
%\endpsclip
%\psaxes[labels=all,labelsep=1pt, Dx=1,Dy=0.2,Ox=0,Oy=1]{->}(0,1)(\xmax,\ymax)
%\end{pspicture*}
%\end{center}
%}
%\begin{itemize}
%\item Le graphique permet de conjecturer que la suite $(u_n)$ converge vers $\ell= \dfrac{3}{2}$
%\item Ici on a choisi $\varepsilon = 0.05$ et on a trouvé que pour $N=10$, tous les termes de la suite $(u_n)$ 
%étaient dans l'intervalle $]1.45; 1.55[$ pour $n\geq 10$.
%\item Si on avait choisi $\varepsilon = 0.1$, on aurait trouvé que pour $N=5$, tous les termes de la suite $(u_n)$
%étaient dans l'intervalle $]1.4; 1.6[$ pour $n\geq 5$.
%\item Si on avait choisi $\varepsilon = 0.04$, on aurait trouvé que pour $N=13$, tous les termes de la suite $(u_n)$
%étaient dans l'intervalle $]1.46; 1.54[$ pour $n\geq 13$.\\
%\end{itemize}
%
%
%\begin{defi}
%On dit qu'une suite est \textbf{divergente} si elle n'est pas convergente.\\
%C'est le cas des suites qui n'admettent pas de limite, et des suites qui sont 
%aussi grandes que l'on veut, dans les positifs ou négatifs, à partir d'un certain rang.\\
%Dans ce dernier cas, on dit que la suite diverge vers $+ \infty$ ou $-\infty$ et on note $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n = +\infty$ ou 
%$\lim\limits_{n \to +\infty} u_n = -\infty$.
%\end{defi}
%
%\Expls{
%Conjecturer graphiquement les limites éventuelles des suites $(u_n)$, $(v_n)$, $(w_n)$ et $(t_n)$ définies sur $\N$ par :
%$$u_n=4n^2+5n-1 \qquad \qquad v_n=-\dfrac{1}{n+2}+1  \qquad \qquad w_n=-2n^2+2 \qquad \text{ et } \qquad 
%t_n=\cos(n)+1$$
%%Déterminer par le calcul le rang à partir duquel : $u_n \geq 10^{6}$.
%}
%
%
%\subsection{Application : limites et  algorithmes}
%
%\subsubsection{Une suite qui diverge vers $-\infty$}
%
%\Exoi{On considère la suite $u$ définie pour tout entier naturel $n$ par :
% $$\left\{ \begin{array}{l} u_0=1 \\ u_{n+1}=2u_n-2\end{array} \right.$$
% \begin{enumerate}
%\item A l'aide des droites $\mathscr D :y=x$ et $\mathscr D' :y=2x-2$ donnée ci-dessous, placer sur l'axe des abscisses les termes de $u_0$ à $u_3$.
%\item Conjecturer la limite de la suite $u$.
%\item Calculer les $4$ premiers termes de la suite $u$.
%\item \begin{center}
%\Algo{8cm}{
%\Entree{ 
%$u$  est un nombre réel.\\
%$p$ est un nombre entier naturel.\\
%$A$ est un nombre réel strictement positif.
%}
%{
%$u:=1$ et $p:=0$ \\
%Entrer $A$ \\
%    \While{ $u>-A$ }
%{$u:=2u-2$ et $ p:=p+1$}
%Afficher $p$.
%}
%}
%\end{center}
%\begin{enumerate}
%\item Qu'affiche cet algorithme si l'utilisateur entre $A=30$ ? 
%\item Qu'affiche cet algorithme si l'utilisateur entre $A=100$ ? s'il entre $A=10000$ ? 
%\end{enumerate}
%\end{enumerate}
%}
%
%\begin{center}
%%\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}
%\psset{xunit=1cm , yunit=1cm}
%\begin{pspicture*}(-1.1,-1.1)(11.1,11.1)
%\def\xmin{-1} \def\xmax{11} \def\ymin{-1} \def\ymax{11}
%%\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=gray](-1.1,-1.1)(11.1,11.1)
%\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
%\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
%\psclip{%
%\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
%}
%\newrgbcolor{couleur1}{0.6549 0.6549 0}
%\newrgbcolor{couleur2}{0 0.3176 0.4745}
%\newrgbcolor{couleur3}{0.0941 0.647 0.0196}
%\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(3,0)(3,4)
%%\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=red,linestyle=dotted]{-}(3,0)(3,4)
%\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(3,4)(0,4)
%%\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=red,linestyle=dotted]{-}(3,4)(0,4)
%\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(0,4)(4,4)
%%\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=red,linestyle=dotted]{-}(0,4)(4,4)
%\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(4,4)(4,0)
%%\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=red,linestyle=dotted]{-}(4,4)(4,0)
%\def\F{2 x mul 2 sub}
%\psplot[linecolor=gray,linewidth=0.5pt,linestyle=solid]{-1}{11}{x}
%\psplot[linewidth=1.2pt,linecolor=blue,linestyle=solid,plotpoints=1000]{-1}{11}{\F}
%
%\endpsclip
%\psaxes[labels=none,labelsep=1pt,Dx=1,Dy=1,Ox=0,Oy=0]{-}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
%\uput[dl](0,0){ O}
%\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(1,0) \uput[d](0.5,0){ $\vec{\imath}$}
%\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(0,1) \uput[l](0,0.5){ $\vec{\jmath}$}
%\end{pspicture*}
%
%\end{center}
%\subsubsection{Une suite qui converge vers un réel $\ell$}
%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Le cours
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 0. Position du pb
%\Exoi{On considère la suite $u$ définie pour tout entier naturel $n$ par :
% $$u_n=2-\dfrac{1}{n+1}$$
% \begin{enumerate}
% \item Calculer les premiers termes de la suite, conjecturer son sens de variation et sa limite $\ell$.
% \item Montrer que $$ u_{n+1}-u_n=\dfrac{1}{n+1}$$
% \item En déduire que la suite est strictement croissante.
%\item On considère l'algorithme suivant :
% \begin{center}
%\Algo{8cm}{
%\Entree{ 
%$u$  est un nombre réel.\\
%$p$ est un nombre entier naturel.\\
%$\varepsilon$ est un nombre réel strictement positif.
%}
%{
%$u:=1$ et $p:=0$ \\
%Entrer $\varepsilon$ \\
%    \While{ $u\notin \left]2-\varepsilon;2+\varepsilon\right[$ }
%{$p:=p+1$ et $ u:=2-\dfrac{1}{p+1}$}
%Afficher $p$.
%}
%}
%\end{center}
%\begin{enumerate}
%\item Qu'affiche cet algorithme si l'utilisateur entre $\varepsilon=0,3$ ? 
%\item Qu'affiche cet algorithme si l'utilisateur entre $\varepsilon=0,1$ ? s'il entre $\varepsilon=0,01$ ? 
%\item Soit $\varepsilon >0$. Déterminer le rang $p$ à partir duquel $$u_p\in \left]2-\varepsilon;2+\varepsilon\right[$$
%\item Conclure que :
%$$ \lim\limits_{n\to +\infty} u_n=2$$
%\end{enumerate}
%\end{enumerate}
%}

\pagebreak
\section{Suite Arithmétique}

\subsection{Découverte des suites arithmétiques au travers d'un exemple}

\Exoi{Dans le pays des merveilles d'Alice, le lapin blanc, depuis le temps, a fait des enfants (enfin des adolescents plutôt...). Du plus vieux au plus jeune : le lapin bleu, le lapin rouge, le lapin vert et le lapin noir. A l'adolescence chacun des 4 lapins a réclamé de l'argent de poche. Noter que les lapins du pays des merveilles sont adolescents de $0$ à $4$ ans, ils deviennent enfants par la suite et n'ont jamais été adultes.\\
Le lapin blanc a décidé de donner au lapin bleu dès sa naissance et jusqu'au jour de ses 4 ans des carottes de la manière suivante :
\begin{itemize}
\item $3$ carottes la première semaine ;
\item Chaque semaine deux carottes de plus que la semaine précédente.
\end{itemize} 
\textit{On admet qu'au pays des merveilles chaque année est constituée d'exactement $52$ semaines et chaque mois de $4$ semaines. Remarquons que les lapins du pays des merveilles ont un treizième mois...}
\\
On note $u_0=3$ et $u_n$ le nombre de carottes reçues par le lapin bleu le jour où il fête ses $n$ semaines.
\begin{enumerate}
\item Exprimer $u_{n+1}$ en fonction de $u_n$ ; calculer $u_1$ ; $u_2$ et $u_3$. Combien de carottes le lapin bleu a-t-il reçu le premier mois ?
\item Proposer une formule donnant $u_n$ en fonction de $n$. Vérifier cette formule en recalculant $u_1$ ; $u_2$ et $u_3$.
\item Calculer le nombre de carottes reçues par le lapin bleu le jour de ses $1$ an, de ses $2$ ans, de ses $3$ ans et enfin le jour de ses $4$ ans.
\item Pour leur seule consommation personnelle les lapins du pays des merveilles ont besoin de $300$ carottes par semaine. 
\begin{enumerate}
\item A partir de quel âge le lapin bleu peut-il se nourrir à satiété ? 
\item Déterminer le nombre total de carottes que le lapin blanc a donné au lapin bleu au cours de son adolescence. On devra donc calculer :
$$ S=u_0+u_1+\dots+u_{207}=\sum_{i=0}^{i=207}u_i$$
\item Dès qu'il reçoit plus de $300$ carottes, le lapin bleu (fort économe) met toutes les autres de côté. \\
Déterminer le nombre de carottes économiser par le lapin bleu.
\item Grand amateur de montre, le lapin bleu décide de troquer ses carottes contre des montres au cours suivant, $1$ montre contre $540$ carottes.
Déterminer le nombre de montres que le lapin bleu a pu acquérir grâce aux carottes économisées.
\end{enumerate}
\end{enumerate} 
}
\pagebreak
\subsection{Définition}

\begin{defi}
Une suite arithmétique est une suite de nombres dans laquelle chaque terme permet de déduire le suivant en lui ajoutant la même constante appelée raison.\\
Si on note $u$ une suite arithmétique de raison $r$ définie pour tout entier $n$ on a donc, pour tout entier naturel $n$ :
$$ u_{n+1}=u_n+r$$
\end{defi}

\Expl{La suite des entiers naturels pairs est une suite arithmétique de premier terme 0 et de raison 2}

\Rq{Si $u$ est suite arithmétique de raison $r$ alors pour tout $n$ on a :
$$ u_{n+1}=u_n+r\Longleftrightarrow u_{n+1}-u_n=r$$
Si la raison $r>0$ alors la suite arithmétique est strictement croissante, au contraire si $r<0$ la suite arithmétique est strictement décroissante. Dans le cas où $r=0$ il s'agit d'une suite constante.
}

\Exoi{Les suites suivantes sont-elles arithmétiques ? Dans le cas d'une réponse positive préciser leur raison et leur sens de variation.
\begin{multicols}{3}
\begin{enumerate}
\item $u_n=3n-2$
\item $u_n=n^2-3$
\item $u_n=-4n+1$
\end{enumerate}
\end{multicols}
}

\subsection{Expression explicite en fonction de $n$}
On considère une suite arithmétique $u$ de raison $r$ et de premier terme $u_0$, on a alors :
\begin{eqnarray*}
& & u_1=u_0+r\\
& \Longrightarrow & u_2=u_1+r=u_0+2r\\
& \Longrightarrow & u_3=u_2+r=u_0+3r\\
& \Longrightarrow & u_4=u_3+r =u_0+3r+r=u_0+4r\\
& \Longrightarrow & \dots\dots\dots\\
&\Longrightarrow & u_n=u_{n-1}+r=u_0+(n-1)r+r=u_0+nr
\end{eqnarray*}

\begin{prop}
Soit $(u_n)$ une suite arithmétique de raison $r$, alors $$u_n=u_0+nr$$
\end{prop}

\Exoi{$(u_n)$ est la suite arithmétique de premier terme $u_0=3$ et de raison $2$. \newline
Calculer $u_{2013}$}

\begin{theo}Soit $(u_n)$ une suite arithmétique de premier terme $u_0$ et de raison $r$, alors pour tous $p$ et $n$ de $\N$  :
$$ u_n=u_p+(n-p)r$$
\end{theo}

\Dem{D'après la propriété précédente on a pour tous $p$ et $n$ de $\N$ :
$$ u_p=u_0+pr \qquad \text{ et }\qquad u_n=u_0+nr$$
Par conséquent $$ u_n-u_p=u_0+nr-u_0-pr=(n-p)r\Longleftrightarrow u_n=u_p+(n-p)r$$}

\Exoi{Considérons une suite arithmétique $(v_n)$ telle que $v_{27}=6$ et $v_{39}=10$\newline
Calculer $v_7$ et $v_{74}$
}

\begin{theo}
On considère une suite $(u_n)$ définie par $u_n=an+b$ où $a$ et $b$ sont deux réels. \newline
$(u_n)$ est une suite arithmétique de raison $a$ 
\end{theo}

\Dem{Soit $n\in\N$, on a alors :
$$ u_{n+1}-u_n=a(n+1)+b-an-b=a$$}
\subsection{Somme de termes successifs}

\Rq{Soit $(u_n)$ une suite. La somme $u_1+u_2$ comporte deux termes, de même la somme $u_1+u_2+u_3$ en comporte $3$. De manière générale la somme $u_1+u_2+\dots u_p$ comporte $p$ termes. \newline
Combien en comporte la somme :$u_{14}+u_{15}+\dots +u_{25}$ ? On peut remarquer que cette somme s'écrit encore :
$$ u_{1+13}+u_{2+13}+\dots +u_{13+12} $$
Par conséquent elle comporte $12$ termes, i.e $25-14+1$ termes.}  

\begin{prop}La somme $u_p+u_{p+1}+\dots+u_q$ comporte donc $q-p+1$ termes ($p$ et $q$ sont des nombres entiers tels que : $p<q$)
\end{prop}

\begin{prop}[Somme des $n$ premiers entiers]$$ 1+2+\dots+n-1+n=\dfrac{n(n+1)}{2}$$\end{prop}

\Dem{Notons $S=1+2+\dots+n-1+n$, on a $2S=1+2+\dots+n+1+2+\dots+n=(1+n)+(2+n-1)+(3+n-2)+\dots +(n-2+3)+(n-1+2)+(n+1)=n(n+1)$ donc $S=\dfrac{n(n+1)}{2}$}

\Expl{La somme des $100$ premiers entiers est donc :
$$ \dfrac{100\times 101}{2}=\dfrac{10100}{2}=5050$$}


\begin{theo}On considère une suite arithmétique $u$ et $S$ la somme des termes successifs (à partir de celui de rang $p$ jusqu'à celui de rang $n$) que l'on note :
$$ S=u_p+u_{p+1}+\dots+u_n=\sum_{i=p}^{i=n}u_i$$
On a alors :
$$S=\dfrac{(n-p+1)(u_p+u_d)}{2} $$
\end{theo}

\Dem{On a : $$ S=u_p+u_{p+1}+u_{p+2}\dots+u_{n-2}+u_{n-1}+u_n$$
En notant $r$ la raison on obtient :
$$ S=u_p+(u_p+r)+(u_p+2r)+\dots + (u_n-2r)+(u_n-r)+u_n$$
En inversant l'ordre des termes de cette somme, $S$ s'écrit aussi :
$$ S=u_n+(u_n-r)+(u_n-2r)+\dots+(u_p+2r)+(u_p+r)+u_p$$
Effectuons alors la somme, membre à membre terme à terme, des deux égalités précédentes :
$$ 2S=(u_p+u_n)+(u_p+r+u_n-r)+(u_p+2r+u_n-2r)+\dots+(u_n-2r+u_p+2r)+(u_n-r+u_p+r)+(u_n+u_p)$$
Cette somme comporte $n-p+1$ termes tous égaux à $u_p+u_n$, par conséquent :
$$ 2S=(n-p+1)(u_p+u_n)\Longleftrightarrow S=\dfrac{(n-p+1)(u_p+u_n)}{2} $$}

\Exoi{
\begin{enumerate}
\item Calculer la somme des $50$ premiers entiers impairs.
\item Calculer la somme des $50$ premiers entiers pairs en partant de $12$
\end{enumerate}}
\pagebreak
\Exoi{En reprenant le contexte de l'exercice introductif. La lapin blanc décide pour son second, le lapin rouge de donner dès sa naissance et jusqu'au jour de ses 4 ans des carottes de la manière suivante :
\begin{itemize}
\item $417$ carottes la première semaine ;
\item Chaque semaine deux carottes de moins que la semaine précédente.
\end{itemize} 
On note $v$ la suite telle que $v_n$ vaut le nombre de carottes reçues par le lapin rouge le jour de sa $n-$ième semaine. Notons que $v_1=417$ et que $v_0$ n'existe pas.
\begin{enumerate}
\item Justifier que $v_n$ est une suite arithmétique ; préciser sa raison et son sens de variation.
\item Exprimer $v_n$ en fonction de $n$.
\item Calculer le nombre de carottes reçues par le lapin bleu le jour de ses $1$ an, de ses $2$ ans, de ses $3$ ans et enfin le jour de ses $4$ ans.
\begin{enumerate}
\item Jusqu'à quel âge le lapin bleu peut-il se nourrir à satiété ? 
\item Déterminer le nombre total de carottes que le lapin blanc a donné au lapin rouge au cours de son adolescence. On devra donc calculer :
$$ S=v_1+v_2+\dots+v_{208}=\sum_{i=1}^{i=208}v_i$$
\item Dès qu'il reçoit plus de $300$ carottes, le lapin rouge (fort économe comme son frère) met toutes les autres de côté. \\
Déterminer le nombre de carottes économiser par le lapin rouge.
\item Grand amateur de montre, le lapin rouge décide de troquer ses carottes contre des montres mais l'inflation existe au pays des merveilles. Il faut $10\%$ de carottes supplémentaires pour obtenir une montre qu'au temps du lapin bleu. 
Le lapin rouge est-il perdant par rapport à son frère ?
\end{enumerate}
\item Le lapin blanc constatant l'injustice subit par le lapin rouge décide d'utiliser une autre méthode pour les \og carottes de poches \fg{} du lapin suivant, le lapin vert. Il le rémunère de sa naissance et jusqu'au jour de ses 4 ans de la manière suivante :
\begin{itemize}
\item $1$ carotte la première semaine ;
\item Chaque semaine trois carottes de plus que la semaine précédente ;
\item $100$ carottes les $6$ derniers mois.
\end{itemize} 
On note $w$ la suite telle que $w_0=1$ et $w_n$ désigne le nombre de carottes reçues par le lapin rouge le jour où il fête ses $n$ semaines.
\begin{enumerate}
\item La suite $w$ est-elle arithmétique ?
\item Plus précisément déterminer le rang jusqu'au quel $w$ se comporte comme une suite arithmétique.
\item Identique à ses frères le lapin rouge économise dès qu'il reçoit plus de $300$ carottes par semaine. Mais durant les $6$ derniers mois il mange un peu de ses économies de manière à manger $300$ carottes exactement par semaine. Sachant que le cours de la carotte a encore augmenté de $50\%$ déterminer le nombre de montre que le lapin rouge possèdera au moment de devenir enfant.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
}
\pagebreak
\section{Suite Géométrique}

\subsection{Découverte des suites géométriques au travers d'un exemple}

\Exoi{Vient le tour du derrnier né du lapin blanc, le lapin noir. Détestant les habitudes le lapin blanc modifie une nouvelle fois le système des \og carottes de poches \fg{} et le lapin noir se voit proposer le système suivant :
\begin{itemize}
\item $3$ carottes la première semaine ;
\item Chaque semaine $3,5\%$ de carottes en plus de la semaine précédente (le lapin blanc donnera s'il le faut des morceaux de carottes...)
\end{itemize} 
On note $t$ la suite telle que $t_n$ vaut le nombre de carottes reçues par le lapin rouge le jour de sa $n-$ième semaine. Notons que $t_1=3$ et que $t_0$ n'existe pas.
\begin{enumerate}
\item Calculer $t_1$ ; $t_2$ et $t_3$ puis exprimer $t_{n+1}$ en fonction de $t_n$. Combien de carottes le lapin noir a-t-il reçu le premier mois ?
\item Proposer une formule donnant $t_n$ en fonction de $n$. Vérifier cette formule en recalculant $t_1$ ; $t_2$ et $t_3$.
\item Calculer le nombre de carottes reçues par le lapin noir le jour de ses $1$ an, de ses $2$ ans, de ses $3$ ans et enfin le jour de ses $4$ ans.
\item Pour leur seule consommation personnelle les lapins du pays des merveilles ont besoin de $300$ carottes par semaine. 
\begin{enumerate}
\item A partir de quel âge le lapin noir peut-il se nourrir à satiété ? 
\item Déterminer le nombre total de carottes que le lapin blanc a donné au lapin noir au cours de son adolescence. On devra donc calculer :
$$ S=t_1+t_2+\dots+t_{208}=\sum_{i=1}^{i=208}t_i$$
\item Dès qu'il reçoit plus de $300$ carottes, le lapin noir (comme les autres) met toutes les autres de côté. \\
Déterminer le nombre de carottes économiser par le lapin noir.
\item Par rapport au lapin précédent, le cours de la carotte a encore augmenté de $10\%$.
Déterminer le nombre de montres que le lapin noir a pu acquérir grâce aux carottes économisées.
\end{enumerate}
\end{enumerate} 
}

\subsection{Définition}
\begin{defi}Une suite  \underline{g\'eom\'etrique} est une suite de nombres dans laquelle chaque terme permet de déduire le suivant par multiplication par un coefficient constant appelé raison. Ainsi, une suite géométrique $u$ de raison $q$ et de premier terme $a$ a la forme suivant :
$$ a\quad aq\qquad aq^2\qquad aq^3\qquad aq^4$$
La définition peut s'écrire sous la forme d'une relation de récurrence, c'est-à-dire que pour chaque entier naturel $n$ :
$$ u_{n+1}=q\times u_n$$
\end{defi}

\Expl{La suite des puissances de $2$ est une suite géométrique de raison $2$ : $u_{n+1}=2\times u_n$\\
Donner les premiers termes de la suite géométrique de premier terme $2$ et de raison $0,5$.}


\Exoi{\begin{enumerate}
\item Montrer que la suite $(u_n)$ définie par $u_n=\dfrac{2}{3^n}$ est géométrique
\item La suite $(v_n)$ est définie par $v_0=6$ et $v_{n+1}=3v_n+4$ pour tout $n\in\N$.\newline
On note $$w_n=v_n+2$$
Montrer que $(w_n)$ est une suite géométrique 
\end{enumerate}}

\Exoi{Montrer que la suite $(u_n)$ définie, pour tout $n\in\N$ par $u_n=2\times (-1)^n$ est géométrique. On précisera sa raison.}

\subsection{Expression explicite en fonction de $n$}

\begin{theo}On considère une suite $(u_n)$ définie par $u_n=aq^n$ où $a$ et $q$ sont deux réels non nuls. \newline
$(u_n)$ est une suite géométrique de raison $q$\end{theo}

\Dem{Pour tout $n\in\N$ on a $u_{n+1}=aq^{n+1}=aq^n\times q=q u_n $. Par conséquent la suite est géométrique de raison $q$}

\begin{theo}Soit $(u_n)$ une suite géométrique de raison $q\neq 0$ et de premier terme $u_0$ alors $$u_n=u_0 \times q^n$$\end{theo}

\Dem{On peut raisonner de proche en proche. On a :
\begin{eqnarray*}
&& u_1=u_0q\\
&& u_2=u_1q=u_0q^2\\
&& u_3=u_2q=u_0q^3\\
&& \dots \\
&& u_{n-1}=u_{n-2}q=u_0q^{n-2}\\
&& u_n=u_{n-1}q=u_0q^{n-1}\\
\end{eqnarray*}
}

\Expl{Soit $(u_n)$ la suite géométrique de premier terme $u_0=2$ et de raison $3$. On a alors :
$$ u_n=2 \times 3^n$$
On peut, par exemple calculer directement $u_5=2\times 3^5=2\times 243=486$}




\begin{theo}$(u_n)$ est une suite géométrique de raison $q\neq 0$ alors quels que soient les entiers naturels $n$ et $p$ on a :
$$u_n=q^{n-p}\times u_p$$ \end{theo}

\Dem{D'après le théorème précédent, on a :
$$ u_n=u_0q^n \qquad \text{ et }\qquad u_p=u_0q^p$$
donc, puisque $q\neq 0$, $u_0= \dfrac{u_p}{q^p}$ ; d'où $u_n=\dfrac{u_p}{q^p}q^n=u_p\times q^{n-p}$ }

\Exoi{$(u_n)$ et $(v_n)$ sont deux suites géométriques. Déterminer $u_5$, $u_8$, $v_7$ et $v_{15}$ sachant que :
\begin{enumerate}
\item $u_0=6$ et $q=-\dfrac{1}{3}$
\item $v_5=1$ et $v_{10}=32$
\end{enumerate}}


\subsection{Somme de termes successifs}

On s'interesse à la somme des $n$ premiers termes de la suite géométrique de premier terme $1$ et de raison $q$, avec $q\neq 1$
\begin{prop}[Cas particulier $u_n=q^n$, avec $q\neq 1$]$$ 1+q+q^2+\dots+q^{n-2}+q^{n-1}=\dfrac{1-q^n}{1-q}$$\end{prop}

\Dem{Notons $S=1+q+q^2+\dots+q^{n-2}+q^{n-1}$, on a $qS=q+q^2+\dots+q^{n-2}+q^{n-1}+q^n$\newline
Par conséquent  $$(1-q)S=S-qS=1-q^n\Longleftrightarrow S=\dfrac{1-q^n}{1-q}$$}


\Expl{La somme des $10$ premiers termes de cette suite géométrique lorsque $q=2$ est donc :
$$ \dfrac{1-2^{10}}{1-2}=1023$$}

\begin{theo}La somme des termes consécutifs, du terme de rang $p$ au terme de rang $n$, d'une suite géométrique de raison $q$ ($q\neq 1$) est égale à : 
$$ u_p+u_{p+1}+\dots+u_n=u_p \dfrac{1-q^{n-p+1}}{1-q}$$ 
\end{theo}

\Dem{On calcule donc $S$, la somme des $n-p+1$ termes consécutifs, de premier terme $u_p$, d'une suite géométrique de raison $q$ où $q\neq 1$
$$ S=u_p+u_{p+1}+\dots+u_n=u_p+u_p\times q+u_p\times q^2+\dots +u_p\times q^{n-p+1-1}=u_p(1+q+q^2+\dots+q^{n-p+1-1})=u_p \dfrac{1-q^{n-p}}{1-q}$$
}

\Rq{Le cas $q=1$ est trivial, en notant le premier terme de la somme $a$ :
$$a+aq+aq^2+\dots +aq^{n-1}=a+a+\dots+a=na$$}

\Exoi{
 Soit $(u_n)$ la suite géométrique de premier terme $u_0=\dfrac{1}{2}$ et de raison $q=\dfrac{3}{2}$. Calculer $S=u_4+u_5+\dots+u_{14}$}


\subsection{Convergence}
\begin{theo}Soit $(u_n)$ une suite définie par : $u_n=q^n$ alors :
\begin{itemize}
\item Si $q \in ]-1;1[$ la suite $(u_n)$ est convergente vers $0$
\item Si $q=1$ alors la suite $(u_n)$ est constante et donc convergente vers $1$, si $q=-1$ la suite diverge (elle vaut tantôt $1$ tantôt $-1$).
\item Si $q>1$ alors la suite $(u_n)$ est divergente (vers $+\infty$), enfin si $q<-1$ la suite diverge (un terme sur deux est négatif, l'autre est positif).
\end{itemize}
\end{theo}

Pour cette démonstration, nous n'étudierons que le cas où $q>0$, nous allons utiliser le résultat suivant \footnote{un résultat servant une démonstration est usuellement appelé Lemme}

\begin{lem}[Inégalité de Bernoulli]Pour tout réel $x$ positif et pour tout entier $n$, on a :$$(1+x)^n\geq 1+nx$$\end{lem}

\Dem[du lemme]{Notons $\mathscr P(n)$ la propriété $(1+x)^n\geq 1+nx$ est vraie\newline
$\mathscr P(0)$ et $\mathscr P(1)$ sont évidentes\newline
Montrons que $\mathscr P(n)\Longrightarrow \mathscr P(n+1)$.\newline
On suppose donc que $(1+x)^n\geq 1+nx$ et on souhaite montrer que : $(1+x)^{n+1}\geq 1+(n+1)x$\newline
On a alors, pour tout $x\geq0$ :
\begin{eqnarray*}
&& (1+x)^n\geq 1+nx \\
&\Longleftrightarrow & (1+x)^{n+1}\geq (1+nx)(1+x) \qquad \text{en multipliant membre à membre par }(1+x)>0\\
&\Longleftrightarrow & (1+x)^{n+1}\geq 1+nx+x+nx^2\\
& \Longleftrightarrow & (1+x)^{n+1}\geq 1+(n+1)x+nx^2 \\
& \Longleftrightarrow & (1+x)^{n+1}\geq 1+(n+1)x \qquad \text{puisque }nx^2\geq 0\\
\end{eqnarray*}
Résumons : On a donc $\mathscr P(0)$ mais aussi, $\forall n\in \N$, $\mathscr P(n)\Longrightarrow \mathscr P(n+1)$, par conséquent on a : pour tout réel $x$ positif et pour tout entier $n$, on a :$$(1+x)^n\geq 1+nx$$}

\Rq{Le type de raisonnement que l'on vient d'effectuer s'appelle le \underline{raisonnement par récurrence}, il sera étudié amplement en terminale.}

\Dem[du théorème]{
\begin{itemize}
\item $q>1$\newline
Posons $x=q-1$, on a alors $x>0$, et d'après l'inégalité de Bernoulli :
$$ q^n=(1+x)^n \geq 1+nx$$
Or, $\lim\limits_{n\to +\infty} 1+nx=+\infty$, par comparaison on en déduit : $$ \lim\limits_{n \to +\infty} q^n=+\infty$$
La suite $(u_n)$ diverge donc vers $+\infty$
\item $q\in [0;1[$\newline
Si $q=0$ le résultat est évident, sinon posons $q'=\dfrac{1}{q}$, dans ce cas $q' \in ]1;+\infty[$\newline
D'après le résultat précédent : $$ \lim\limits_{n \to +\infty} q'^n=+\infty$$
Par passage à l'inverse nous obtenons donc : $$ \lim\limits_{n \to +\infty} q^n=0$$
La suite $(u_n)$ converge donc vers $0$
\item $q=1$, le résultat est alors évident.
\end{itemize}}

\Exoi{$(u_n)$ est la suite géométrique de premier terme $u_0=3$ et de raison $ \dfrac{1}{2}$. On note $s_n$ la somme $u_0+u_1+u_2+\dots+u_n$
\begin{enumerate}
\item Exprimer $s_n$ en fonction de $n$
\item Calculer $\lim\limits_{n\to +\infty}s_n$
\end{enumerate} }

\pagebreak
\subsection{Application}


    
\Exoi{Un étudiant loue une chambre pour $3$ ans. On lui propose deux types de bails. \\
\underline{1$^\text{er}$ contrat} : Un loyer de $200\euro$ pour le premier mois puis une augmentation de $5\euro$ par mois jusqu'à la fin du bail.
\\
\underline{2$^\text{ème}$ contrat} : Un loyer de $200\euro$ pour le premier mois puis une augmentation de $2\%$ par mois jusqu'à la fin du bail\footnote{Un bail est un contrat de location}.
\begin{enumerate}
\item Calculer, pour chacun des deux contrats, le loyer du deuxième mois puis le loyer du troisième mois.
\item Calculer, pour chacun des deux contrats, le loyer du dernier mois, i.e le loyer du $36^\text{ème}$ mois.
\item Quel est le contrat globalement le plus avantageux pour un bail de $3$ ans ? (\textit{Justifier par des calculs})
\end{enumerate}
}     

\Exoi{On considère la suite géométrique définie de la façon suivante :
$$ u_1=1\qquad \text{et}\qquad u_{n+1}=2u_n\qquad \forall n\geq 1$$
\begin{enumerate}
\item Calculer $u_2$ ; $u_3$ ; $u_4$.
\item Exprimer $u_n$ en fonction de $n$ ; en déduire $u_{64}$.
\item \textbf{La légende du jeu d'échec} :\textit{ Le roi demanda à l'inventeur du jeu d'échec de choisir lui-même sa récompense. Celui-ci répondit : \og place 1 grain de blé sur la première case de l'échiquier, deux grains sur la deuxième case, quatre sur la troisième case, et ainsi de suite jusqu'à la $64^\text{ième}$ case. Le roi sourit de la modestie de la demande.}
\\
Calculer une valeur approchée du nombre total de grains de blé que le roi devra placer sur l'échiquier.
\end{enumerate}
}

\Exoi{Les rayons cosmiques produisent continuellement dans l'atmosphère du carbone $14$, qui est un élément radioactif. Durant leur vie, les tissus animaux et végétaux contiennent la même proportion de carbone $14$ que l'atmosphère. Cette proportion de carbone $14$ décroît après la mort du tissu de $1,24\%$ en $100$ ans.
\begin{enumerate}
\item Déterminer les pourcentages de la proportion initiale de carbone $14$ contenu dans le tissu au bout de $1000$ ans, de $2000$ ans et de $10000$ ans.
\item Exprimer le pourcentage de la proportion initiale de carbone $14$ contenu dans le tissu au bout de $k\times 10^3$ années.
\item Un fossile ne contient plus que $10\%$ de ce qu'il devrait contenir en carbone $14$. Estimer  son âge.
\end{enumerate}
}

\Exoi{Premières étapes de la construction du triangle de Sierpinski :
\begin{center}
\includegraphics[scale=1]{Sierpinski.eps}
\end{center}
\begin{enumerate}
\item On note $u$ la suite qui donne le nombre de triangle noir à l'étape $n$. Quelle est la nature de $u$ ; préciser ses éléments caractéristiques.
\item On note $v$ la suite qui donne la longueur d'un côté du triangle noir à l'étape $n$.  Quelle est la nature de $v$ ; préciser ses éléments caractéristiques.
\item On note $w$ la suite qui donne l'aire d'un triangle noir à l'étape $n$.  Quelle est la nature de $w$ ; préciser ses éléments caractéristiques.
\item On note $t$ la suite qui donne l'aire du domaine couvert par les triangles noirs à l'étape $n$.  Quelle est la nature de $t$ ; préciser ses éléments caractéristiques.
\end{enumerate}
}

\pagebreak
\section{Suite Arithmético-géométrique}


\Exoi{Comme vous le savez tous, le Schblurb commun à aillette mouchetée est l’animal emblématique de la Syldavie. Aussi 
paisible que les habitants de ce bucolique pays, le Schblurb se nourrit exclusivement des baies du bleurtschzrn, arbre 
qui pousse en abondance dans les verts sous-bois syldaves. 
\\
On suppose que la population $u$ lors de l'année $n$ de  Schblrurbs suit la loi suivante :
$$ u_{n+1}=au_n+b$$
 L’effectif des Schblurbs, 
exprimé en millions d’individus, est approché pour l’année $n$ par un nombre réel $u_n$. Par 
exemple, si pour l’année zéro il y a $300 000$ Schblurbs, on prendra $u_0= 0,3$.\\
Le but de l’exercice est d’étudier le comportement de la suite $u$ pour différentes valeurs de la population initiale $u_0$ 
et des paramètres $a$ et $b$.\\
On cherche à estimer la population de Schblurbs dans l'avenir lointain, par deux techniques différentes dont l'une utilise la suite auxiliaire suivante :\\
la suite $v$ est définie, pour $n\in\N$, par :
$$ v_n=u_n-\dfrac{b}{1-a}$$
\begin{enumerate}
\item \textbf{Cas 1} : $u_0=0,7$ ; $a=-0,2$ et $b=0,4$.
\begin{enumerate}
\item Calculer la population de Schblurbs présent aux années $1$ ; $2$ et $3$.
\item \begin{enumerate}
\item Préciser la fonction $f$ telle que $u_{n+1}=f(u_n)$.
\item A l'aide de la représentation graphique de la fonction $f$ et de la droite d'équation $y=x$ représenter les $5$ premiers termes de la suite $u$.
\item Que pouvez-vous conjecturer sur la limite de la suite $u$.
\item Déterminer cette limite par le calcul.
\end{enumerate}
\item Vérifier que, pour tout entier $n$, on a :
$$ v_{n}=u_n-\dfrac{1}{3}$$
\item Montrer que $v$ est une suite géométrique ; on précisera sa raison.
\item Exprimer $v_n$ en fonction de $n$.
\item En déduire que $$ u_n=\dfrac{11}{30}\times \left(-\dfrac{1}{5}\right)^n+\dfrac{1}{3}$$
\item En déduire la limite $\ell$ de la suite $u$.
\end{enumerate}
\item \textbf{Cas 2} : $u_0=0,7$ ; $a=1,5$ et $b=-0,2$.
\begin{enumerate}
\item Calculer la population de Schblurbs présent aux années $1$ ; $2$ et $3$.
\item \begin{enumerate}
\item Préciser la fonction $f$ telle que $u_{n+1}=f(u_n)$.
\item A l'aide de la représentation graphique de la fonction $f$ et de la droite d'équation $y=x$ représenter les $5$ premiers termes de la suite $u$.
\item Que pouvez-vous conjecturer sur la limite de la suite $u$.
\end{enumerate}
\item Vérifier que, pour tout entier $n$, on a :
$$ v_{n}=u_n-\dfrac{2}{5}$$
\item Montrer que $v$ est une suite géométrique ; on précisera sa raison.
\item Exprimer $v_n$ en fonction de $n$.
\item En déduire que $$ u_n=\dfrac{3}{10}\times \left(\dfrac{3}{2}\right)^n+\dfrac{2}{5}$$
\item En déduire la limite $\ell$ de la suite $u$.
\end{enumerate}
\item \textbf{Cas 3} : $u_0=0,3$ ; $a=1,5$ et $b=-0,2$.
\begin{enumerate}
\item Calculer la population de Schblurbs présent aux années $1$ ; $2$ et $3$.
\item \begin{enumerate}
\item Préciser la fonction $f$ telle que $u_{n+1}=f(u_n)$.
\item A l'aide de la représentation graphique de la fonction $f$ et de la droite d'équation $y=x$ représenter les $5$ premiers termes de la suite $u$.
\item Que pouvez-vous conjecturer sur la limite de la suite $u$.
\end{enumerate}
\item Vérifier que, pour tout entier $n$, on a :
$$ v_{n}=u_n-\dfrac{2}{5}$$
\item Montrer que $v$ est une suite géométrique ; on précisera sa raison.
\item Exprimer $v_n$ en fonction de $n$.
\item En déduire que $$ u_n=-\dfrac{1}{10}\times \left(\dfrac{3}{2}\right)^n+\dfrac{2}{5}$$
\item En déduire la limite $\ell$ de la suite $u$. Conclure.
\end{enumerate}
\item \textbf{Cas 4} : $u_0=0,3$ ; $a=-0,5$ et $b=7$.
\begin{enumerate}
\item Calculer la population de Schblurbs présent aux années $1$ ; $2$ et $3$.
\item \begin{enumerate}
\item Préciser la fonction $f$ telle que $u_{n+1}=f(u_n)$.
\item A l'aide de la représentation graphique de la fonction $f$ et de la droite d'équation $y=x$ représenter les $5$ premiers termes de la suite $u$.
\item Que pouvez-vous conjecturer sur la limite de la suite $u$.
\item Déterminer cette limite par le calcul.
\end{enumerate}
\item Vérifier que, pour tout entier $n$, on a :
$$ v_{n}=u_n-\dfrac{14}{3}$$
\item Montrer que $v$ est une suite géométrique ; on précisera sa raison.
\item Exprimer $v_n$ en fonction de $n$.
\item En déduire que $$ u_n=-\dfrac{131}{30}\times \left(-\dfrac{1}{2}\right)^n+\dfrac{14}{3}$$
\item En déduire la limite $\ell$ de la suite $u$. Conclure.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
}
\epigraphe{La physique est bien trop dure pour les phycisiens} 
{David Hilbert} 
{mathématicien} 
\end{document}
