\documentclass[a4paper,10pt,french]{article} \linespread{1} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Définitions de la feuille d'exercices \newcommand{\typedoc}{Proposition Bac Blanc TS} %%%%%%%%%%%%%%% 1ere ligne du titre de la feuille \newcommand{\Ch}{Nombres complexes, Suites, Exponentielles, Probabilit\'e} %%%%%%%%%%%%%%%% 2eme ligne et en haut à droite après \newcommand{\ch}{R\'evisions} %%%%%%%%%%%%%%% En haut à gauche (numero chapitre) \newcommand{\Cl}{T$^\text{ale}$S} \newcommand{\Profs}{D.Zancanaro} \newcommand{\Annee}{2015-2016} \newcommand{\serie}{Scientifique} \newcommand{\num}{0} \newcommand{\tps}{2h} \usepackage[np]{numprint} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Packages %\usepackage[french,lined,boxed,commentsnumbered]{algorithm2e} \input macrodwicky.tex \geometry{verbose,letterpaper,tmargin=1.8cm,bmargin=2cm,lmargin=1.5cm,rmargin=1.5cm} \renewcommand{\arraystretch}{1.2} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Début \begin{document} \pagebreak \clearpage \pagenumbering{arabic} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Cadre jaune \fancypagestyle{styleLyc}{% \fancyhf{} \fancyhead{\href{http://www.wicky-math.fr.nf}{wicky-math.fr.nf}} \fancyfoot[LE,LO]{{\scriptsize\textsl{ \Profs \\ Lycée \LyDav }}} \fancyfoot[C]{\scriptsize\textsl{\Cl \\ \Annee}} \fancyfoot[LE,RO]{\bfseries\thepage / \pageref{LastPage}} } \pagestyle{styleLyc} %\fancyhead{\href{http://www.wicky-math.fr.nf}{wicky-math.fr.nf}} %\renewcommand{\chaptermark}[1]{\markboth{#1}{}} \renewcommand{\sectionmark}[1]{\markright{#1}} %\renewcommand{\chaptermark}[1]{\markboth{#1}{}} \renewcommand{\sectionmark}[1]{\markright{#1}} \lhead{Bac rouge} \rhead{Mai 2016} \Cr{BAC Rouge} \newline %\textbf{Vous traiterez au choix au moins un exercice parmi les six suivants. En traiter au moins deux est conseillé. Si vous ne vous sentez pas encore à l'aise avec les suites, il est inutile de tourner la page.} \begin{exoi}\hfill \textbf{3 points} L'objectif de cet exercice est de trouver une méthode pour construire à la règle et au compas un pentagone régulier. \medskip \begin{footnotesize} \parbox{0.5\linewidth}{Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormé direct \Ouv, on considère le pentagone régulier $A_0A_1A_2A_3A_4$, de centre $O$ tel que $\vect{OA_0} = \vect{u}$. On rappelle que dans le pentagone régulier $A_0A_1A_2A_3A_4$, ci-contre : \setlength\parindent{1cm} \begin{itemize} \item[$\bullet~~$] les cinq côtés sont de même longueur; \item[$\bullet~~$] les points $A_0,\:A_1,\:A_2,\:A_3$ et $A_4$ appartiennent au cercle trigonométrique ; \item[$\bullet~~$] pour tout entier $k$ appartenant à $\{0~;~1~;~2~;~3\}$ on a $\left(\vect{OA_k}~;~\vect{OA_{k+1}}\right) = \dfrac{2\pi}{5}$. \end{itemize} \setlength\parindent{0cm}}\hfill \parbox{0.49\linewidth}{\psset{unit=2.5cm} \begin{pspicture}(-1.2,-1.1)(1.2,1.1) \psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(-1.2,-1.1)(1,1) \pspolygon(1;0)(1;72)(1;144)(1;216)(1;288) \uput[d](0.5,0){$\vect{u}$}\uput[l](0,0.5){$\vect{v}$} \uput[dl](0,0){O} \uput[ur](1;0){$A_0$} \uput[ur](1;72){$A_1$} \uput[ul](1;144){$A_2$} \uput[dl](1;216){$A_3$} \uput[dr](1;288){$A_4$} \end{pspicture} } \end{footnotesize} \begin{enumerate} \item \begin{footnotesize} On considère les points $B$ d'affixe $- 1$ et $J$ d'affixe $\dfrac{\text{i}}{2}$. Le cercle $(\mathcal{C})$ de centre $J$ et de rayon $\dfrac{1}{2}$ coupe le segment $[BJ]$ en un point $K$. Calculer $BJ$, puis en déduire $BK$. \end{footnotesize} $$ BJ=|z_J-z_B|=\left|\dfrac{i}{2}-(-1)\right|=\left|1+\dfrac{i}{2}\right|=\sqrt{1^2+\left(\dfrac{1}{2}\right)^2}=\sqrt{1+\dfrac{1}{4}}=\sqrt{\dfrac{5}{4}}=\dfrac{\sqrt{5}}{2}$$ De plus $BK=BJ-KJ$, or $KJ$ est un rayon du cercle $\mathcal{C}$ par conséquent $KJ=\dfrac{1}{2}$ et donc : $$ BK=\dfrac{\sqrt{5}}{2}-\dfrac{1}{2}=\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}$$ \item \begin{enumerate} \item {\footnotesize Donner sous forme exponentielle l'affixe du point $A_2$. Justifier brièvement.} D'après la relation de Chasles : $\left(\overrightarrow{OA_0};\overrightarrow{OA_2}\right)=\left(\overrightarrow{OA_0};\overrightarrow{OA_1}\right)+\left(\overrightarrow{OA_1};\overrightarrow{OA_2}\right)$ et d'après l'énoncé : $$ \left(\overrightarrow{OA_0};\overrightarrow{OA_2}\right)=\dfrac{2\pi}{5}+\dfrac{2\pi}{5}=\dfrac{4\pi}{5}$$ Ainsi un argument de $z_{A_2}$ est $\dfrac{4\pi}{5}$ De plus le point $A_2$ appartient au cercle trigonométrique donc $OA_2=1$ donc $\left|z_{A_2}\right|=1$ On en déduit, en somme, que : $$ z_{A_2}=1\times e^{i\frac{4\pi}{5}}= e^{i\frac{4\pi}{5}}$$ \item {\footnotesize Démontrer que $BA_2\,^2 = 2 + 2\cos \left(\dfrac{4\pi}{5}\right)$.} Notons $C$ le projeté orthogonal de $A_2$ sur l'axe des abscisses (cf. figure ci-dessous), appliquons le théorème de Pythagore dans le triangle $BCA_2$ qui est rectangle en $A_2$ : $$ BA_2^2=BC^2+CA_2^2$$ $CA_2$ est égal à l'ordonnée de $A_2$, et puisque $ z_{A_2}=e^{i\frac{4\pi}{5}}=\cos \dfrac{4\pi}{5}+i\sin \dfrac{4\pi}{5}$, il suit que $CA_2=\sin \dfrac{4\pi}{5}$ De plus $BC=OB-OC=1-OC$, donc $BC^2=(1-OC)^2=1-2OC+OC^2$. Enfin $OC=-\cos \dfrac{4\pi}{5}$, en effet $OC$ est une longueur et l'abscisse de $A_2$ qui vaut $\cos \dfrac{4\pi}{5}$ est négative, ce pourquoi $OC=-\cos \dfrac{4\pi}{5}$, Concluons alors, en utilisant le fait que $\cos^2 x+\sin^2 x=1$ pour tout réel $x$ : $$ BA_2^2=BC^2+CA_2^2=1-2\left(-\cos \dfrac{4\pi}{5}\right)+\left(-\cos \dfrac{4\pi}{5}\right)^2=1+\cos^2 \dfrac{4\pi}{5}+\sin^2 \dfrac{4\pi}{5}+2\cos \dfrac{4\pi}{5}=1+1+2\cos\dfrac{4\pi}{5}=2+2\cos \dfrac{4\pi}{5}$$ \item \begin{footnotesize} Un logiciel de calcul formel affiche les résultats ci-dessous, que l'on pourra utiliser sans justification : \begin{center} \begin{tabularx}{0.5\linewidth}{|c|X|}\hline \multicolumn{2}{|l|}{$\blacktriangleright$ Calcul formel}\\\hline 1&cos (4*pi/5)\\ &\rule[-3mm]{0mm}{9mm}$\to \dfrac{1}{4}\left(- \sqrt{5} - 1\right)$\\ \hline 2&sqrt((3 - sqrt(5))/2)\\ &\rule[-3mm]{0mm}{9mm}$\to \dfrac{1}{2}\left(\sqrt{5} - 1\right)$\\ \hline \end{tabularx} \og sqrt \fg signifie \og racine carrée\fg \end{center} En déduire, grâce à ces résultats, que $BA_2 = BK$. \end{footnotesize} Nous savons que $BA_2^2=2+2\cos \dfrac{4\pi}{5}=2+2\times \left(\dfrac{1}{4}\left(- \sqrt{5} - 1\right)\right)=2+\dfrac{-\sqrt{5}-1}{2}=\dfrac{4-\sqrt{5}-1}{2}=\dfrac{3-\sqrt{5}}{2}$ D'après la première question $BK=\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}$, par conséquent $BK^2=\dfrac{\left(\sqrt{5}-1\right)^2}{4}=\dfrac{5-2\sqrt{5}+1}{4}=\dfrac{6-2\sqrt{5}}{4}=\dfrac{3-\sqrt{5}}{2}$. Par conséquent $BK^2=BA_2^2$ et donc $BK=BA_2$. \end{enumerate} \item \begin{footnotesize} Dans le repère \Ouv{} donné en annexe, construire à la règle et au compas un pentagone régulier. N'utiliser ni le rapporteur ni les graduations de la règle et laisser apparents les traits de construction. \end{footnotesize} \end{enumerate} \begin{center} \newrgbcolor{zzttqq}{0.6 0.2 0} \psset{xunit=4.0cm,yunit=4.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25} \begin{pspicture*}(-1.71,-1.12)(1.1,1.2) \psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=0.2,Dy=0.2,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-1.71,-1.12)(1.1,1.2) \pspolygon[linecolor=zzttqq,fillcolor=zzttqq,fillstyle=solid,opacity=0.1](-0.81,0.59)(-0.81,-0.59)(0.31,-0.95)(1,0)(0.31,0.95) \pscircle(0,0){4} \pscircle[linestyle=dashed,dash=1pt 1pt](0,0.5){2} \psline(-1,0)(0,0.5) \pscircle[linestyle=dashed,dash=1pt 1pt](-1,0){2.48} \psline[linecolor=zzttqq](-0.81,0.59)(-0.81,-0.59) \psline[linecolor=zzttqq](-0.81,-0.59)(0.31,-0.95) \psline[linecolor=zzttqq](0.31,-0.95)(1,0) \psline[linecolor=zzttqq](1,0)(0.31,0.95) \psline[linecolor=zzttqq](0.31,0.95)(-0.81,0.59) \begin{scriptsize} \psdots[dotstyle=*](0,0) \rput[bl](0.02,0.03){$O$} \psdots[dotstyle=*](1,0) \rput[bl](1.02,-0.08){$A_0$} \psdots[dotstyle=*](-1,0) \rput[bl](-0.98,0.03){$B$} \psdots[dotstyle=*](0,0.5) \rput[bl](0.02,0.53){$J$} \psdots[dotstyle=*](-0.45,0.28) \rput[bl](-0.43,0.3){$K$} \psdots[dotstyle=*](-0.81,0.59) \rput[bl](-0.88,0.65){$A_2$} \psdots[dotstyle=*](-0.81,0) \rput[bl](-0.88,-0.07){$C$} \psdots[dotstyle=*](-0.81,-0.59) \rput[bl](-0.87,-0.66){$A_3$} \psdots[dotstyle=*](0.31,-0.95) \rput[bl](0.34,-1.02){$A_4$} \psdots[dotstyle=*](1,0) \rput[bl](1.35,-0.18){$C$} \psdots[dotstyle=*](0.31,0.95) \rput[bl](0.33,0.98){$A_1$} \end{scriptsize} \end{pspicture*} \end{center} \end{exoi} \pagebreak \begin{exoi}\hfill \textbf{5 points} \begin{footnotesize} Dans un repère orthonormé de l'espace, on considère les points \[\text{A}(5~;~-5~;~2), \text{B} (-1~;~1~;~0), \text{C}(0~;~1~;~2)\quad \text{et D}(6~;~6~;~-1).\] \end{footnotesize} \begin{enumerate} \item {\footnotesize Déterminer la nature du triangle BCD et calculer son aire. } $\overrightarrow{BC}(1;0;2)$, $\overrightarrow{BD}(7;5;-1)$ puis $\overrightarrow{CD}(6;5;-3)$. On a : $$ \overrightarrow{BC}\cdot \overrightarrow{CD}=1\times 6+0\times 5+2\times(-3)=6-6=0$$ Par conséquent $(BC)\perp (CD)$, donc le triangle $BCD$ est rectangle en $C$. Vérifions si celui-ci est isocèle en $C$ : $$ BC=\sqrt{1+0+4}=\sqrt{5}\qquad \text{et}\qquad CD=\sqrt{36+25+9}=\sqrt{70}$$ $BC\neq CD$ donc le triangle $BCD$ n'est pas isocèle en $C$. On en déduit que l'aire du triangle $BCD$ vaut : $$ \dfrac{BC\times CD}{2}=\dfrac{\sqrt{5}\times \sqrt{70}}{2}=\dfrac{\sqrt{5\times 5\times 2\times 7}}{2}=\dfrac{5\sqrt{14}}{2}$$ \item \begin{enumerate} \item {\footnotesize Montrer que le vecteur $\overrightarrow{n}\begin{pmatrix}- 2\\3\\1\end{pmatrix}$ est un vecteur normal au plan (BCD). } Pour démontrer que $\overrightarrow{n}\begin{pmatrix}- 2\\3\\1\end{pmatrix}$ est un vecteur normal au plan (BCD) il faut démontrer que $\vec{n}$ est normal à deux vecteurs non colinéaires qui dirige le plan $(BCD)$. Vérifions le : $$ \vec{n}\cdot \overrightarrow{BC}=-2\times 1+3\times 0+1\times 2=-2+2=0$$ Par conséquent $\vec{n}\perp \overrightarrow{BC}$, vérifions que $\vec{n}$ et $\overrightarrow{CD}$ sont orthogonaux aussi : $$ \vec{n}\cdot \overrightarrow{CD}=-2\times 6 +3\times 5 +1\times (-3)=-12+15-3=0 $$ Par conséquent $\vec{n}\perp \overrightarrow{CD}$. $\vec{n}$ est orthogonal avec deux vecteurs directeurs non colinéaires de $(BCD)$, on en déduit que $\vec{n}$ est normal au plan $(BCD)$. \item {\footnotesize Déterminer une équation cartésienne du plan (BCD).} $$ M(x;y;z)\in (BCD)\Longleftrightarrow \overrightarrow{BM}\perp \overrightarrow{n}\Longleftrightarrow \overrightarrow{BM}\cdot \overrightarrow{n}=0 $$ L'équation du plan $(BCD)$ est donc : $$ -2(x-(-1))+3(y-1)+(z-0)=0\Longleftrightarrow -2(x+1)+3y-3+z=0\Longleftrightarrow -2x+3y+z=5$$ \end{enumerate} \item {\footnotesize Déterminer une représentation paramétrique de la droite $\mathcal{D}$ orthogonale au plan (BCD) et passant par le point A. } Puisque $\mathcal{D}$ est orthogonale au plan $(BCD)$ alors tout vecteur normal au plan $(BCD)$ est un vecteur directeur de la droite $\mathcal{D}$, en particulier $\vec{n}$ dirige $\mathcal{D}$. Nous obtenons alors : $$ M(x;y;z)\in \mathcal{D}\Longleftrightarrow \exists t\in \R, \overrightarrow{AM}=t\vec{n}$$ Une représentation paramétrique de $\mathcal{D}$ est alors : $$\left\{\begin{array}{c c} x-5=&-2t \\ y+5=&3t\\ z-2=&t \end{array} t\in \R\right.\Longleftrightarrow\left\{\begin{array}{c c} x=&-2t+5 \\ y=&3t-5\\ z=&t+2 \end{array} t\in \R\right. $$ \item {\footnotesize Déterminer les coordonnées du point H, intersection de la droite $\mathcal{D}$ et du plan (BCD). } Les coordonnées du point $H$ satisfont la représentation paramétrique de la droite $\mathcal{D}$ puisque $H\in \mathcal{D}$, par conséquent il existe un réel $t$ tel que : $$\left\{\begin{array}{c c} x_H=&-2t+5 \\ y_H=&3t-5\\ z_H=&t+2 \end{array}\right.$$ De plus du fait que $H\in (BCD)$ ses coordonnées satisfont l'équation du plan $(BCD)$ et donc $$-2x_H+3y_H+z_H=5$$ Nous en déduisons par substitution que : $$ -2(-2t+5)+3(3t-5)+t+2=5 \Longleftrightarrow 4t-10+9t-15+t=3\Longleftrightarrow 14t=28 \Longleftrightarrow t=2$$ Et donc $x_H=-2\times 2+5=1$, $y_H=3\times 2-5=1$, $z_H=2+2=4$, autrement dit : $$ H(1;1;4)$$ \item \begin{footnotesize} Déterminer le volume du tétraèdre ABCD. \emph{On rappelle que le volume d'un tétraèdre est donné par la formule $\mathcal{V} = \dfrac{1}{3}\mathcal{B} \times h$, où $\mathcal{B}$ est l'aire d'une base du tétraèdre et $h$ la hauteur correspondante.} \end{footnotesize} Nous savons, en particulier car l'énoncé le rappelle, que le volume d'un tétraèdre est donné par la formule $\mathcal{V} = \dfrac{1}{3}\mathcal{B} \times h$, où $\mathcal{B}$ Si nous prenons pour base $BCD$, alors la hauteur issue de $A$ relative à cette base est la droite $(AH)$, nous obtenons alors (en utilisant le résultat de la question 1.) : $$ \mathcal{V}=\dfrac{1}{3}\times 5\dfrac{\sqrt{14}}{2}\times AH=\dfrac{5\sqrt{14}}{6}AH$$ Or, $AH=\sqrt{(5-1)^2+(-5-1)^2+(2-4)^2}=\sqrt{16+36+4}=\sqrt{56}=\sqrt{4\times 14}=2\sqrt{14}$ Le volume du tétraèdre $ABCD$ vaut alors : $$ \mathcal{V}=\dfrac{5\sqrt{14}}{6}\times 2\sqrt{14}=\dfrac{5\times 14}{3}=\dfrac{70}{3}$$ \item {\footnotesize On admet que AB = $\sqrt{76}$ et AC $= \sqrt{61}$.} \begin{footnotesize} Déterminer une valeur approchée au dixième de degré près de l'angle $\widehat{\text{BAC}}$. \end{footnotesize} $\overrightarrow{AB}(-6;6;-2)$ et $\overrightarrow{AC}(-5;6;0)$ Nous obtenons $AB=\sqrt{36+36+4}=\sqrt{76}$ comme admis dans l'énoncé et $AC=\sqrt{25+36}=\sqrt{61}$ comme admis dans l'énoncé. De plus : $$ \overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=30+36=66$$ D'autre part : $$ \overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=AB\times AC\times \cos\left(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC}\right)\Longleftrightarrow \cos (\widehat{BAC})=\dfrac{66}{\sqrt{76}\times \sqrt{61}}$$ La calculatrice permet alors de conclure. \end{enumerate} \end{exoi} \pagebreak \begin{exoi}\hfill \textbf{3 points} \begin{footnotesize} Soit $f$ la fonction définie sur ]0~;~14] par \[f(x) = 2 - \ln\left(\dfrac{x}{2}\right).\] La courbe représentative $\mathcal{C}_f$ de la fonction $f$ est donnée dans le repère orthogonal d'origine O ci-dessous : \end{footnotesize} \begin{center} \psset{xunit=0.5cm,yunit=0.75cm} \begin{pspicture}(-1,-0.5)(15,6.5) \psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=2,Dy=2]{->}(0,0)(-1,-0.5)(15,6.5) \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.02}{14}{2 x 2 div ln sub} \uput[u](13,0.2){\blue $\mathcal{C}_f$} \psline[linewidth=0.4pt](1.7,0)(1.7,2.163)(0,2.163) \uput[d](1.7,0){$P$}\uput[ur](1.7,2.163){$M$}\uput[l](0,2.163){$Q$} \end{pspicture} \end{center} \begin{footnotesize} À tout point $M$ appartenant à $\mathcal{C}_f$ on associe le point $P$ projeté orthogonal de $M$ sur l'axe des abscisses, et le point $Q$ projeté orthogonal de $M$ sur l'axe des ordonnées. \end{footnotesize} \medskip \setlength\parindent{1cm} \begin{itemize} \item[$\bullet~~$] \begin{footnotesize} L'aire du rectangle O$PMQ$ est-elle constante quelle que soit la position du point $M$ sur $\mathcal{C}_f$ ? \end{footnotesize} \item[$\bullet~~$] {\footnotesize L'aire du rectangle O$PMQ$ peut-elle être maximale ?} {\footnotesize Si oui, préciser les coordonnées du point $M$ correspondant.} \end{itemize} \setlength\parindent{0cm} \begin{footnotesize} Justifier les réponses. \end{footnotesize} Si $x_M=2$ alors l'aire du rectangle $OPMQ$ vaut $2\times f(2)=2\times \left(2-\ln(1)\right)=2\times 2=4$ Si $x_M=2e$ alors l'aire du rectangle $OPMQ$ vaut $2ef(2e)=2e\times (2-\ln e)=2e\times 1=2e$ Puisque $2e\neq 4$ alors l'aire du rectangle $OPMQ$ n'est pas constante et dépend de la position du point $M$ sur $\mathcal{C_f}$ ce qui réponds à la première question. Soit $x$ l'abscisse du point $M$, alors l'aire du rectangle $OPMQ$, que nous notons $\mathscr A(x)$ vaut : $$ \mathscr A(x)=x\times f(x)=x\left(2-\ln\left(\dfrac{x}{2}\right)\right)=2x-x\ln \dfrac{x}{2}$$ Etudions cette fonction, qui admet pour dérivé la fonction définie pour tout $x\in R^{+*}$ par : $$ \mathscr A'(x)=2-\left((x)'\ln\dfrac{x}{2}+x\dfrac{(0.5x)'}{0,5x}\right)=2-\ln\dfrac{x}{2}-\dfrac{0,5x}{0,5x}=1-\ln\dfrac{x}{2}$$ De plus $$1-\ln \dfrac{x}{2}\leq 0 \Longleftrightarrow 1\leq \ln \dfrac{x}{2}\Longleftrightarrow e\leq \dfrac{x}{2} \Longleftrightarrow 2e\leq x$$ ce qui permet de dresser le tableau de variation de la fonction $\mathscr A$. %\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math} \input tabvar $$\tabvar{% \tx{x}&\tx{0}&&\tx{2e}&&\tx{+\infty}\cr \tx{\mathscr A'(x)}&&\tx{+}&\tx{0}&\tx{-}&\cr \tx{\mathscr A(x)}&&\fm&\txh{2e}&\fd&\cr }$$ L'aire du rectangle $OPMQ$ est donc maximale lorsque $x_M=2e$ et le point $M$ correspondant à pour coordonnées $M(2e;1)$ puisque $f(2e)=1$ ce qui achève de répondre à l'exercice. \end{exoi} \begin{exoi}\hfill \textbf{4 points} \begin{footnotesize} Le test de dépistage d'une maladie possède les caractéristiques suivantes : \begin{itemize} \item la probabilité qu'un individu malade ait un test positif est $0,99$ ; \item la probabilité qu'un individu sain ait un test négatif est $0,99$. \end{itemize} On note $p$ la proportion de malade dans la population puis on note : \begin{itemize} \item $T$ l'événement : \og le test est positif \fg{} \item $M$ l'événement : \og l'individu est malade \fg{} \end{itemize} On croise au hasard un individu ayant effectué le dépistage. \end{footnotesize} \begin{enumerate} \item {\footnotesize Modéliser la situation par un arbre de probabilité.} \begin{center} %\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math} \psset{nodesep=0mm,levelsep=20mm,treesep=10mm} \pstree[treemode=R]{\Tdot} { \pstree {\Tdot~[tnpos=a]{$M$}\taput{\small $p$}} { \Tdot~[tnpos=r]{$T$}\taput{\small $0.99$} \Tdot~[tnpos=r]{$\overline{T}$}\tbput{\small $0.01$} } \pstree {\Tdot~[tnpos=a]{$\overline{M}$}\tbput{\small $1-p$}} { \Tdot~[tnpos=r]{$T$}\taput{\small $0.01$} \Tdot~[tnpos=r]{$\overline{T}$}\tbput{\small $0.99$} } } \end{center} \item {\footnotesize Calculer la probabilité qu'un individu ait un test positif.} Cette probabilité vaut : $$ P(T)=P(M\cap T)+P(\overline{M}\cap T)=0,99p+(1-p)0,01=0,99p+0,01-0,01p=0,98p+0,01$$ \item \begin{enumerate} \item {\footnotesize Exprimer en fonction de $p$ la probabilité qu'un individu, dont le test est positif, soit malade.} Cette probabilité vaut : $$ P_T(M)=\dfrac{P(M\cap T)}{P(T)}=\dfrac{0,99p}{0,98p+0,01}=\dfrac{99p}{98p+1}$$ \item {\footnotesize Quelle doit être la proportion $p$ de malades pour que la probabilité précédente (i.e. la probabilité qu'un individu, dont le test est positif, soit malade) soit supérieure à $0,90$ ?} On cherche $p$ tel que $$P_T(M)\geq 0,90 \Longleftrightarrow \dfrac{99p}{98p+1}\geq 0,90 \Longleftrightarrow 99p\geq 0,90(98p+1) \Longleftrightarrow 99p\geq 88,2p+0,90 \Longleftrightarrow 10,8p\geq 0,9 \Longleftrightarrow p\geq \dfrac{0,9}{10,8}=\dfrac{9}{108}=\dfrac{1}{12}$$ Dès qu'il y a plus d'un malade sur douze dans la population la probabilité qu'un individu soit malade sachant que son test est positif est supérieur à $0,90$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item {\footnotesize Déterminer, en fonction de $p$, la probabilité qu'un individu, dont le test est négatif, soit malade.} $$ P_{\overline{T}}(M)=\dfrac{P(M\cap \overline{T})}{P(\overline{T})}=\dfrac{0.01p}{0.01p+0.99\times (1-p)}=\dfrac{0.01p}{0.99-0.98p}=\dfrac{p}{99-98p}$$ \item {\footnotesize Quelle doit être la proportion $p$ de malades pour que la probabilité précédente soit inférieure à $0,1$ ?} $$ \dfrac{p}{99-98p}\leq 0,1 \Longleftrightarrow p\leq (99-98p)\times 0,1 \Longleftrightarrow p\leq 9.9-9.8p\Longleftrightarrow p+9.8p\leq 9.9 \Longleftrightarrow 10.8p\leq 9.9\Longleftrightarrow p\leq \dfrac{99}{108}=\dfrac{11}{12} $$ Dès qu'il y a moins de $11$ malades sur douze dans la population la probabilité qu'un individu soit malade sachant que son test est négatif est inférieure à $0,1$. \end{enumerate} \item {\footnotesize Le test de dépistage d'une maladie est acceptable si et seulement si la probabilité qu'un individu, dont le test est positif, soit malade est supérieure à $0,90$ et la probabilité qu'un individu, dont le test est négatif, soit malade est inférieure à $0,1$. Dans ce cas pour quelle proportion $p$ de malades le test est-il acceptable ?} Le test de dépistage est acceptable si et seulement si $\dfrac{1}{12}\leq p\leq \dfrac{11}{12}$ d'après les questions précédentes. \end{enumerate} \end{exoi} \pagebreak \begin{exoi}\hfill \textbf{5 points} \begin{footnotesize} On souhaite stériliser une boîte de conserve. Pour cela, on la prend à la température ambiante $T_0 = 25$\,\degres C et on la place dans un four à température constante $T_F = 100$\,\degres C. La stérilisation débute dès lors que la température de la boîte est supérieure à 85\,\degres C. \smallskip \end{footnotesize} \emph{Les deux parties de cet exercice sont indépendantes} \partieBac{ Modélisation discrète} \begin{footnotesize} Pour $n$ entier naturel, on note $T_n$ la température en degré Celsius de la boîte au bout de $n$ minutes. On a donc $T_0 = 25$. Pour $n$ non nul, la valeur $T_n$ est calculée puis affichée par l'algorithme suivant : \end{footnotesize} \begin{center} \begin{tabularx}{0.7\linewidth}{|l|X|}\hline Initialisation : &$T$ prend la valeur 25\\ \hline Traitement : & Demander la valeur de $n$\\ &Pour $i$ allant de 1 à $n$ faire\\ &\hspace{0,5cm}$T$ prend la valeur $0,85 \times T + 15$\\ &Fin Pour\\ \hline Sortie : &Afficher T\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \begin{enumerate} \item \begin{footnotesize} Déterminer la température de la boîte de conserve au bout de 3 minutes. Arrondir à l'unité. \end{footnotesize} $$T_1=0,85T_0+15=0,85\times 25+15=21.25+15=36,25$$ $$ T_2=0,85T_1+15=0,85\times 36,25+15=45,8125$$ $$ T_3=0,85\times T_2+15=0,85\times 45,8125+15=53.940625$$ Au bout de $3$ minutes la température de la boîte de conserve est d'environ $54$ degré. \item {\footnotesize Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, on a $T_n = 100 - 75 \times 0,85^n$.} Notons $\mathscr P(n) : T_n=100-75\times 0,85^n$ et démontrons cette propriété par récurrence. \begin{itemize} \item \textbf{\textit{Initialisation}} : pour $n=0$ il se trouve que $100-75\times 0,85^0=100-75\times 1=25=T_0$, ainsi la propriété $\mathscr P$ est vraie pour $n=0$. \item \textbf{\textit{Hérédité}} : Montrons que si $T_n=100-75\times 0,85^n$ alors $T_{n+1}=100-75\times 0,85^{n+1}$ D'après l'algorithme $T_{n+1}=0,85T_n+15$, puisque nous supposons que $T_n=100-75\times 0,85^n$, il suit que : $$ T_{n+1}=0,85\left(100-75\times 0,85^n\right)+15=85-75\times 0,85^{n+1}+15=100-75\times 0,85^{n+1} $$ La propriété $\mathscr P$ est héréditaire, en plus d’être initialisée, nous en déduisons donc par récurrence que pour tout entier naturel $n$ on a : $$T_n=100-75\times 0,85^n $$ \end{itemize} \item {\footnotesize Au bout de combien de minutes la stérilisation débute-elle ?} La stérilisation débute dès que $T_n\geq 85$ ce qui équivaut à : $$100-75\times 0,85^n \geq 85 \Longleftrightarrow 15\geq 75\times 0,85^n\Longleftrightarrow \dfrac{15}{75} \geq 0,85^n \Longleftrightarrow0,85^n\leq \dfrac{1}{5} \Longleftrightarrow \ln\left(0,85^n\right)\leq \ln \dfrac{1}{5} \Longleftrightarrow n\ln 0,85 \leq \ln 0,2 \Longleftrightarrow n\geq \dfrac{\ln(0,2)}{\ln 0,85}\simeq 9,9 $$ La stérilisation début au bout d'environ $10$ minutes. \end{enumerate} \partieBac{ Modélisation continue} \begin{footnotesize} Dans cette partie, $t$ désigne un réel positif. On suppose désormais qu'à l'instant $t$ (exprimé en minutes), la température de la boîte est donnée par $f(t)$ (exprimée en degré Celsius) avec : \[f(t) = 100 - 75\text{e}^{- \frac{\ln 5}{10}t}.\] \end{footnotesize} \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item {\footnotesize Étudier le sens de variations de $f$ sur $[0~;~+ \infty[$.} La fonction $f$ est dérivable sur $[0~;~+ \infty[$ et : $$ f'(t)=-75\times \left(- \frac{\ln 5}{10}\right)\text{e}^{- \frac{\ln 5}{10}t}=7,5\ln 5\text{e}^{- \frac{\ln 5}{10}t}$$ Puisque $e^x>0$ pour tout réel $x$, il suit que pour $t\geq 0$ on a $\text{e}^{- \frac{\ln 5}{10}t}>0$. Et puisque $7,5\ln 5>0$ on a pour tout $t\geq 0$ : $$ f'(t)>0$$ La fonction $f$ est donc strictement croissante sur $[0~;~+ \infty[$. \item {\footnotesize Justifier que si $t \geqslant 10$ alors $f(t) \geqslant 85$.} Puisque la fonction $f$ est strictement croissante sur $[0~;~+ \infty[$, alors : $t \geqslant 10\Longrightarrow f(t)\geqslant f(10)=85$. \end{enumerate} \item \begin{footnotesize} Soit $\theta$ un réel supérieur ou égal à 10. On note $\mathcal{A}(\theta)$ le domaine délimité par les droites d'équation $t = 10,\: t = \theta,\:$ $y = 85$ et la courbe représentative $\mathcal{C}_f$ de $f$. On considère que la stérilisation est finie au bout d'un temps $\theta$, si l'aire, exprimée en unité d'aire du domaine $\mathcal{A}(\theta)$ est supérieure à $80$. \end{footnotesize} \begin{enumerate} \item \begin{footnotesize} Justifier, à l'aide du graphique donné en annexe , que l'on a $\mathcal{A}(25) > 80$. \end{footnotesize} \begin{center} \psset{xunit=0.35cm,yunit=0.08cm} \begin{pspicture}(-0.5,-5)(32,110) \psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=5,Dy=10]{->}(0,0)(-0.5,-5)(32,110) \psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=5,Dy=10](0,0)(0,0)(32,110) \def\f{100 2.71828 5 ln 10 div x mul neg exp 75 mul sub} \pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray] { \def\inf{10} \def\sup{25} \psplot{\inf}{\sup}{\f} \psplot{\sup}{\inf}{85} \closepath } \multido{\n=0+5}{7}{\psline[linestyle=dotted,linewidth=1.pt](\n,0)(\n,100)} \multido{\n=0+5}{21}{\psline[linestyle=dotted,linewidth=1.pt](0,\n)(32,\n)} \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{32}{\f} \uput*[u](28,0){temps (en minutes)} \uput*[r](0,105){température (en degré Celsius)} \uput[u](2,46){\blue $\mathcal{C}_f$} \psline[linestyle=dashed,linewidth=1.5pt](0,85)(32,85) \uput*[d](27.5,85){$y = 85$} \end{pspicture} \end{center} $A(25)$ est représentée en gris sur le graphique ci-dessus. Chaque rectangle correspond à $5\times 5$ unités d'aire. En comptant les rectangles inclus dans la partie grisée, on en compte 3 entiers plus un demi, ce qui fait $3,5\times 25 = 87,5$ unités d'aire. Donc $\mathcal A(25) > 80$. \item {\footnotesize Justifier que, pour $\theta \geqslant 10$, on a $\mathcal{A}(\theta) = 15(\theta - 10) - 75 \displaystyle\int_{10}^{\theta} \text{e}^{- \frac{\ln 5}{10}t}\:\text{d}t$.} $A(\theta) = \ds \int_{10}^{\theta}\left ( f(t) - 85\right ) dt = \ds \int_{10}^{\theta}\left [ \left( 100 - 75\times \e^{-\frac{\ln 5}{10}t}\right) - 85\right]dt = \ds \int_{10}^{\theta}\left( 15 - 75\times \e^{-\frac{\ln 5}{10}t} \right)dt\\ \phantom{A(\theta)}= \ds \int_{10}^{\theta} 15 dt - \ds \int_{10}^{\theta} 75\times \e^{-\frac{\ln 5}{10}t} dt = 15 \left [ t \rule{0pt}{12pt}\right ]_{10}^{\theta} - 75 \ds \int_{10}^{\theta} \e^{-\frac{\ln 5}{10}t} dt = 15 (\theta - 10) - 75 \ds \int_{10}^{\theta} \e^{-\frac{\ln 5}{10}t} dt $ \item {\footnotesize La stérilisation est-elle finie au bout de 20 minutes ?} $\mathcal A(20) = 15(20-10) - 75 \ds \int_{10}^{20} \e^{-\frac{\ln 5}{10}t} dt = 150 - 75 \left [ - \dfrac{10}{\ln 5}\e^{-\frac{\ln 5}{10}t} \right ]_{10}^{20} = 150 + \dfrac{750}{\ln 5} \left [ \e^{-2 \ln 5} - \e^{-\ln 5} \right ]\\[5pt] \phantom{\mathcal A(20)} = 150 + \dfrac{750}{\ln 5} \left [ \left (\e^{- \ln 5}\right )^2 - \e^{-\ln 5} \right ] = 150 + \dfrac{750}{\ln 5} \left[ \left(\dfrac{1}{5}\right)^2 - \dfrac{1}{5} \right] = 150 + \dfrac{750}{\ln 5} \left [ \dfrac{1}{25} - \dfrac{1}{5} \right ]\\[5pt] \phantom{\mathcal A(20)} = 150 + \dfrac{750}{\ln 5}\times \dfrac{-4}{25} = 150 - \dfrac{120}{\ln 5} \approx 75,44 <80 $ \smallskip Donc la stérilisation n'est pas finie au bout de 20 minutes. \end{enumerate} \end{enumerate} \end{exoi} \pagebreak \begin{center} \textbf{Nom} : $\dots\dots\dots\dots\dots\dots$\hfill \textbf{Prénom} : $\dots\dots\dots\dots\dots\dots$\hfill \textbf{Classe} : $\dots\dots\dots$ \vspace*{1cm} \hrule \vspace*{1cm} \begin{LARGE} Annexe (complexe) : Construction du pentagone régulier à la règle non graduée et au compas \end{LARGE}\end{center} \begin{center} \psset{unit=3.5cm} \begin{pspicture}(-1.25,-1.25)(1.25,1.25) \psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(-1.25,-1.25)(1.25,1.25) \uput[d](0.5,0){$\vec{u}$} \uput[l](0,0.5){$\vec{v}$} \uput[dl](0,0){O} \end{pspicture} \end{center} \hrule \vspace*{1cm} %\begin{center} %\begin{LARGE} %Annexe (espace) : Section du cube. % %\end{LARGE}\end{center} % %\begin{center} %\psset{unit=0.75cm} %\begin{pspicture}(8,7.8) %\psframe(0.5,0.5)(5,5)%BCGF %\psline(5,0.5)(7.2,2.7)(7.2,7.2)(2.7,7.2)(0.5,5)%CDHEF %\psline(7.2,7.2)(5,5) %\psline[linestyle=dashed](0.5,0.5)(2.7,2.7)(2.7,7.2)%BAE %\psline[linestyle=dashed](2.7,2.7)(7.2,2.7)%AD %\uput[l](2.7,2.7){A} \uput[d](0.5,0.5){B} \uput[d](5,0.5){C} %\uput[r](7.2,2.7){D} \uput[u](2.7,7.2){E} \uput[l](0.5,5){F} %\uput[r](5,5){G} \uput[u](7.2,7.2){H} \uput[l](0.5,2.75){I} %\uput[d](2.75,0.5){J} \uput[dr](6.1,1.6){K} %\psdots(0.5,2.75)(2.75,0.5)(6.1,1.6) %\end{pspicture} % %\end{center} % %\pagebreak % % % % %\textbf{Nom} : $\dots\dots\dots\dots\dots\dots$\hfill \textbf{Prénom} : $\dots\dots\dots\dots\dots\dots$\hfill \textbf{Classe} : $\dots\dots\dots$ %\vspace*{1cm} % %\hrule %\vspace*{1cm} \begin{center} \begin{LARGE} Annexe (fonctions) : Une aire. \end{LARGE}\end{center} \begin{center} \psset{xunit=0.35cm,yunit=0.05cm} \begin{pspicture}(-0.5,-5)(32,110) \multido{\n=0+5}{7}{\psline[linestyle=dashed,linewidth=0.3pt](\n,0)(\n,110)} \multido{\n=0+5}{21}{\psline[linestyle=dashed,linewidth=0.3pt](0,\n)(32,\n)} \psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=5,Dy=10]{->}(0,0)(-0.5,-5)(32,110) \psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=5,Dy=10](0,0)(0,0)(32,110) \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{32}{100 2.71828 5 ln 10 div x mul neg exp 75 mul sub} \uput[u](29,0){temps (en minutes)} \uput[r](0,105){température (en degré Celsius)} \uput[u](2,46){\blue $\mathcal{C}_f$} \psline[linestyle=dashed,linewidth=1.5pt](0,85)(32,85) \uput[d](27.5,85){$y = 85$} \end{pspicture} \end{center} \end{document}