\documentclass[a4paper,10pt,french]{article}
\linespread{1}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Définitions de la feuille d'exercices

\newcommand{\typedoc}{Correction Bac Blanc TS}          %%%%%%%%%%%%%%% 1ere ligne du titre de la feuille
\newcommand{\Ch}{Nombres complexes, Suites, Exponentielles, Probabilit\'e}		   %%%%%%%%%%%%%%%% 2eme ligne et en haut à droite après	
\newcommand{\ch}{R\'evisions}               %%%%%%%%%%%%%%% En haut à gauche (numero chapitre)
\newcommand{\Cl}{T$^\text{ale}$S}

\newcommand{\Profs}{J.M.Bilheran/J.At/M.Rey-Cadours/D.Zancanaro}
\newcommand{\Annee}{2015-2016}

\newcommand{\serie}{Scientifique}
\newcommand{\num}{0}	
\newcommand{\tps}{2h}	


\usepackage[np]{numprint}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
%\usepackage[french,lined,boxed,commentsnumbered]{algorithm2e}

\input macrodwicky.tex
\geometry{verbose,letterpaper,tmargin=1.8cm,bmargin=2cm,lmargin=1.5cm,rmargin=1.5cm}
\renewcommand{\arraystretch}{1.2}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Début
\begin{document}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	PRemière Page


\clearpage
\pagenumbering{arabic}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune
\fancypagestyle{styleLyc}{%
\fancyhf{} 
\fancyhead{\href{http://www.wicky-math.fr.nf}{wicky-math.fr.nf}}
	\fancyfoot[LE,LO]{{\scriptsize\textsl{ \Profs \\ Lycée \LyDav }}}
	\fancyfoot[C]{\scriptsize\textsl{\Cl \\ \Annee}}
\fancyfoot[LE,RO]{\bfseries\thepage / \pageref{LastPage}}
}
\pagestyle{styleLyc}
%\fancyhead{\href{http://www.wicky-math.fr.nf}{wicky-math.fr.nf}}
%\renewcommand{\chaptermark}[1]{\markboth{#1}{}} \renewcommand{\sectionmark}[1]{\markright{#1}}
%\renewcommand{\chaptermark}[1]{\markboth{#1}{}} \renewcommand{\sectionmark}[1]{\markright{#1}}
\lhead{Bac Blanc}
\rhead{Février 2016}


\Cr{Correction du bac blanc}
\newline
%\textbf{Vous traiterez au choix au moins un exercice parmi les six suivants. En traiter au moins deux est conseillé. Si vous ne vous sentez pas encore à l'aise avec les suites, il est inutile de tourner la page.}


\begin{exoi}\hfill\textbf{5 points}\\
\begin{footnotesize}
\partieBac{questionnaire à choix multiples}
\emph{Pour chaque question, une seule des quatre propositions est exacte.\\
\textbf{Le candidat indiquera sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.\\Il sera attribué un point si la réponse est exacte, zéro sinon.}}
\end{footnotesize}

\medskip

\begin{enumerate}
\item \begin{footnotesize}
Dans un stand de tir, la probabilité pour un tireur d'atteindre la cible est de \np{0,3}. On effectue $n$ tirs supposés indépendants. On désigne par $p_n$ la probabilité d'atteindre la cible au moins une fois sur ces $n$ tirs.

La valeur minimale de $n$ pour que $p_n$ soit supérieure ou égale à \np{0,9} est:
\begin{center}
\begin{tabular}{@{\textbf{a.}~~}p{2cm}@{\textbf{b.}~~}p{2cm}@{\textbf{c.}~~}p{2cm}@{\textbf{d.}~~}p{2cm}}
6 & 7 & 10 & 12
\end{tabular}
\end{center}

\end{footnotesize}


Soit $X$ le nombre de fois qu'un tireur atteint la cible pour $n$ lancers. Les tirs étant indépendants, $X$ suit une loi binomiale de paramètre $n$ et $p=0.3$ donc :
$$ p_n=P(X\geq 1)=1-P(X=0)=1-0,7^n$$
On cherche la valeur minimale de $n$ vérifiant $1-0,7^n\geq 0,9\Longleftrightarrow -0.7^n\geq -0.1\Longleftrightarrow 0.7^n\leq 0.1$. Or, il se trouve si $n<7$ alors $0.7^n>0.1$ et pour $n=7$ alors $0.7^n\leq 0.1$ donc il est nécessaire que le tireur si prenne au moins à $7$ fois pour que $p_n\geq 0.9$
\item \begin{footnotesize}
Un joueur dispose d'un dé cubique équilibré dont les faces sont numérotées de 1 à 6. À chaque lancer, il gagne s'il obtient 2, 3, 4, 5 ou 6 ; il perd s'il obtient 1.

Une partie est constituée de 5 lancers du dé successifs et indépendants.

La probabilité pour que le joueur perde 3 fois au cours d'une partie est:
\begin{center}
\begin{tabular}{@{\textbf{a.}~~}p{2cm}@{\textbf{b.}~~}p{2cm}@{\textbf{c.}~~}p{2cm}@{\textbf{d.}~~}p{2cm}}
$\dfrac{125}{\np{3888}}$ & $\dfrac{625}{648}$ & $\dfrac{25}{\np{7776}}$ & $\dfrac35$
\end{tabular}
\end{center} 
\end{footnotesize}

Si $X$ désigne le nombre de succès au cours des $5$ lancers, alors puisque nous répétons $5$ fois de manière indépendantes la même épreuve de Bernoulli il suit que $X$ suit une loi binomiale de paramètre $n=5$ et $p=\dfrac{5}{6}$ et donc :
$$ P(X=2)=\binom{5}{2}\times \left(\dfrac{5}{6}\right)^2\times \left(\dfrac{1}{6}\right)^3=\dfrac{10\times 25}{6^5}=\dfrac{125}{3888}$$
\item
\begin{footnotesize}
Soient $A$ et $B$ deux évènements indépendants d'une même univers $\Omega$ tels que $p(A)=\np{0,3}$ et $p(A\cup B)=\np{0,65}$. La probabilité de l'évènement $B$ est:
\begin{center}
\begin{tabular}{@{\textbf{a.}~~}p{2cm}@{\textbf{b.}~~}p{2cm}@{\textbf{c.}~~}p{2cm}@{\textbf{d.}~~}p{2cm}}
\np{0,5} & \np{0,35} & \np{0,46} & \np{0,7}
\end{tabular}
\end{center}
\end{footnotesize}

On sait que $P(A\cap B)=P(A)+P(B)-P(A\cup B)$ et $P(A\cap B)=P(A)P(B)$ puisque $A$ et $B$ sont indépendants  donc  :
$$ P(B)=P(A\cap B)-P(A)+P(A\cup B)\Longrightarrow P(B)=P(A)P(B)-0.3+0.65\Longrightarrow P(B)(1-P(A))=0.35\Longrightarrow P(B)=\dfrac{0.35}{0.70}=0,5$$
\end{enumerate}

\partieBac{Vraie ou Faux ?}

\emph{
Pour chaque question une affirmation est proposée. Indiquer si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse. Une réponse non justifiée ne sera pas prise en compte.\\
Toute trace de recherche sera valorisée.}

\bigskip

\begin{enumerate}
\item On considère l'arbre de probabilités suivant :
\begin{center}

\psset{nodesep=0mm,levelsep=20mm,treesep=10mm}
\pstree[treemode=R]{\Tdot}
{
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$A$}\taput{ $0,2$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$B$}\taput{ $0,68$}
\Tdot~[tnpos=r]{$\overline{B}$}\tbput{ $ $}
}
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$\overline{A}$}\tbput{ $ $}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$B$}\taput{ $ $}
\Tdot~[tnpos=r]{$\overline{B}$}\tbput{ $0,4$}
}
}
\end{center}\begin{footnotesize}

\textbf{Affirmation} : la probabilité de l'évènement A sachant que l'évènement B est réalisé est égale à 0,32.

\end{footnotesize}
Puisque $P_B(A)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}$ il suit que :
$$ P_B(A)=\dfrac{0.2\times 0.68 }{0.2\times 0.68 +0.8\times 0.6 }\simeq 0,22$$

\item \begin{footnotesize}
On considère une urne contenant $n$ boules rouges et trois boules noires, où $n$ désigne un entier naturel non nul. Les boules sont indiscernables au toucher.

On tire successivement et sans remise deux boules dans l'urne.

\textbf{Affirmation } : il existe une valeur de $n$ telle que la probabilité d'obtenir deux boules de couleurs différentes est égale à $\dfrac{9}{22}$.
\end{footnotesize}

Modélisons la situation par un arbre de probabilité :
\begin{center}
%\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}
\psset{nodesep=0mm,levelsep=20mm,treesep=10mm}
\pstree[treemode=R]{\Tdot}
{
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$rouge$}\taput{\small $n/(n+3)$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$rouge$}\taput{\small $(n-1)/(n+2)$}
\Tdot~[tnpos=r]{$noir$}\tbput{\small $3/(n+2)$}
}
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$noir$}\tbput{\small $3/(n+3)$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$rouge$}\taput{\small $n/(n+2)$}
\Tdot~[tnpos=r]{$noir$}\tbput{\small $2/(n+2)$}
}
}



\end{center}

On cherche $n$ tel que la probabilité d'obtenir deux boules de couleurs différentes soit égale à $\dfrac{9}{22}$ c'est-à-dire :
$$ \dfrac{n}{n+3}\times \dfrac{3}{n+2}+\dfrac{3}{n+3}\times \dfrac{n-1}{n+2}=\dfrac{9}{22}\Longleftrightarrow \dfrac{6n}{(n+3)(n+2)}=\dfrac{9}{22}\Longleftrightarrow 22\times 6n=9(n+3)(n+2)\Longleftrightarrow 44n=3(n^2+5n+6) $$

et donc $44n=3n^2+15n+18 \Longleftrightarrow 3n^2-29n+18=0$.

$\Delta=(-29)^2-4\times 3\times 18=625$ et donc il existe deux solutions réelles :
$$ n_1=\dfrac{29+\sqrt{625}}{6}=9\qquad \qquad{et}\qquad n_2=\dfrac{29-\sqrt{625}}{6}=\dfrac{2}{3}$$
\end{enumerate}

Il existe bien un entier $n$, en l'occurrence $9$ tel que la probabilité d'obtenir deux boules de couleurs différentes soit égale à $\dfrac{9}{22}$
\end{exoi}



%\begin{exoi}\hfill \textbf{Nouvelle Calédonie Novembre 2015}\\ 
%On considère deux suites de nombres réels $\left(d_n\right)$ et $\left(a_n\right)$ définies par $d_0 = 300$,
%
% $a_0 =  450$ et, 
%pour tout entier naturel $n \geqslant 0$
%
%\[\renewcommand\arraystretch{1.8}\left\{\begin{array}{l c l}
%d_{n+1} &=&\dfrac{1}{2}d_n + 100\\
%a_{n+1}	&=&\dfrac{1}{2}d_n + \dfrac{1}{2}a_n + 70
%\end{array}\right.\renewcommand\arraystretch{1}\]
%
%\begin{enumerate}
%\item Calculer $d_1$ et $a_1$.
%\item On souhaite écrire un algorithme qui permet d'afficher en sortie les valeurs de $d_n$ et
%$a_n$ pour une valeur entière de $n$ saisie par l'utilisateur.
%
%L'algorithme suivant est proposé :
%
%\begin{center}
%
%\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|l X|}\hline
%\emph{Variables} :& $n$ et $k$ sont des entiers naturels\\
%&$D$ et $A$ sont des réels\\
%&\\
%\emph{Initialisation} :& $D$ prend la valeur 300\\
%&$A$ prend la valeur 450\\
%&Saisir la valeur de $n$\\
%&\\
%\emph{Traitement} :& Pour $k$ variant de 1 à $n$\\
%&\hspace{0.8cm}$D$ prend la valeur $\dfrac{D}{2} + 100$ \rule[-4mm]{0mm}{8mm}\\
%&\hspace{0.8cm}$A$ prend la valeur $\dfrac{A}{2} + \dfrac{D}{2} + 70$\\ 
%&Fin pour\\
%&\\
%
%\emph{Sortie} :& Afficher $D$\\
%&Afficher $A$\\ \hline
%\end{tabularx}
%
%\end{center}
%
%	\begin{enumerate}
%		\item Quels nombres obtient-on en sortie de l'algorithme pour $n = 1$ ? 
%		
%Ces résultats sont-ils cohérents avec ceux obtenus à la question \textbf{1.} ?
%		\item Expliquer comment corriger cet algorithme pour qu'il affiche les résultats
%souhaités.
%	\end{enumerate}
%\item
%	\begin{enumerate}
%		\item Pour tout entier naturel $n$, on pose $e_n = d_n - 200$. 
%		
%Montrer que la suite $\left(e_n\right)$ est géométrique.
%		\item En déduire l'expression de $d_n$ en fonction de $n$.
%		\item La suite $\left(d_n\right)$ est-elle convergente ? Justifier.
%	\end{enumerate}
%\item On admet que pour tout entier naturel $n$,
%	
%	\[a_n = 100n\left(\dfrac{1}{2}\right)^n  + 110\left(\dfrac{1}{2}\right)^n + 340.\]
%	
%	\begin{enumerate}
%		\item Montrer que pour tout entier $n$ supérieur ou égal à 3, on a $2n^2 \geqslant (n + 1)^2$.
%		\item Montrer par récurrence que pour tout entier $n$ supérieur ou égal à 4, 
%		
%		$2^n \geqslant  n^2$.
%		\item En déduire que pour tout entier $n$ supérieur ou égal à 4, 
%		
%		$0 \leqslant  100n\left(\dfrac{1}{2}\right)^n \leqslant  \dfrac{100}{n}$.
%		\item Étudier la convergence de la suite $\left(a_n\right)$.
%	\end{enumerate}
%\end{enumerate}
%\end{exoi}

\pagebreak
\begin{exoi}\hfill \textbf{5 points}\\
\begin{footnotesize}
 Soit $f$ la fonction dérivable, définie sur l'intervalle $]0~;~ +\infty[$ par 

\[f(x) = \text{e}^x + \dfrac{1}{x}.\]
 \end{footnotesize} 
 
\begin{enumerate}
\item \textbf{Étude d'une fonction auxiliaire} 
	\begin{enumerate}
		\item \begin{footnotesize}
		Soit la fonction $g$ dérivable, définie sur $[0~;~ +\infty[$ par 
		
\[g(x) = x^2\text{e}^x - 1.\]
		 
Étudier le sens de variation de la fonction $g$ et dresser le tableau de variation complet de la fonction $g$ sur l'intervalle $[0;+\infty[$.
		\end{footnotesize} 
		
		$g$ est une fonction dérivable sur $\R$ et pour tout réel $x$ on a :
		$$ g'(x)=(x^2)'e^x+x^2(e^x)'=2xe^x+x^2e^x=e^x(2x+x^2)$$
		
		De plus $e^x>0$ pour tout réel $x$ donc $g'(x)$ est du signe de $2x+x^2$.
		
		Lorsque $x\geq 0$, on a $2x+x^2\geq 0$ donc $g'(x)\geq 0$ pour $x\in \R^+$.
		
		Enfin $g(0)=0-1=-1$ et du fait que $\lim\limits_{x\to +\infty} x^2=\lim\limits_{x\to +\infty} e^x=+\infty$  on a :
		$$ \lim\limits_{x\to +\infty} g(x)=+\infty$$
		
		%\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}
\input tabvar
$$\tabvar{%
\tx{x}&\tx{0}&&&&\tx{+\infty}\cr
\tx{g'(x)}&&&\tx{+}&&\cr
\tx{g(x)}&\txb{-1}&&\fm&&\txh{+\infty}\cr
}$$


		\item \begin{footnotesize}
		Démontrer qu'il existe un unique réel $a$ appartenant à $[0~;~ +\infty[$ tel que $g(a) = 0$.
		 
Démontrer que $a$ appartient à l'intervalle [0,703~;~0,704[. 
		\end{footnotesize}
		
		$g$ est une fonction continue sur $[0~;~ +\infty[$ (pour preuve elle y est dérivable) et est strictement croissante sur $[0~;~ +\infty[$. De plus $O$ appartient à l'intervalle image $[-1;+\infty[$ donc d'après le théorème des valeurs intermédiaires l'équation $g(x)=0$ admet une unique solution.
		
		Puisque $g(0,703)<0$ et $g(0,704)>0$ alors $0,703<a<0,704$.
		\item {\footnotesize Déterminer le signe de $g(x)$ sur $[0~;~ +\infty[$.}
		
		$g$ étant strictement croissante sur $[0~;~ +\infty[$ et $g(a)=0$ on obtient immédiatement :
		
		%\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}
\input tabvar
$$\tabvar{%
\tx{x}&\tx{0}&&\tx{a}&&\tx{+\infty}\cr
\tx{g(x)}&&\tx{-}&\tx{0}&\tx{+}&\cr
}$$


	\end{enumerate} 
\item \textbf{Étude de la fonction } \boldmath $f$ \unboldmath 
	\begin{enumerate}
		\item {\footnotesize Déterminer les limites de la fonction $f$ en $0$ et en $+ \infty$. }
		
		On sait que $\lim\limits_{x\to+\infty} e^x=+\infty$ et $\lim\limits_{x\to+\infty} \dfrac{1}{x}=0$ donc par somme :
		$$\lim\limits_{x\to+\infty} f(x)=+\infty$$
		
		On sait que $\lim\limits_{x\to 0^+} e^x=1$ et $\lim\limits_{x\to 0^+} \dfrac{1}{x}=+\infty$ donc par somme :
		$$\lim\limits_{x\to 0^+} f(x)=+\infty$$
		\item {\footnotesize On note $f'$ la fonction dérivée de $f$ sur l'intervalle $]0~;~ +\infty[$.}
		 
{\footnotesize Démontrer que pour tout réel strictement positif $x,\: f'(x) =  \dfrac{g(x)}{x^2}$.} 

Pour tout réel strictement positif, on a :
$$ f'(x)=e^x-\dfrac{1}{x^2}=\dfrac{x^2e^x}{x^2}-\dfrac{1}{x^2}=\dfrac{g(x)}{x^2}$$
		\item {\footnotesize En déduire le sens de variation de la fonction $f$ et dresser son tableau de variation sur l'intervalle $]0~;~ +\infty[$. }
		
		Sur $]0~;~ +\infty[$, $x^2>0$ donc $f'$ a le même signe que $g$ et d'après la question $1)c$ on obtient :
		
		
		%\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}
\input tabvar
$$\tabvar{%
\tx{x}&\tx{0}&&\tx{a}&&\tx{+\infty}\cr
\tx{g(x)}&&\tx{-}&\tx{0}&\tx{+}&\cr
\tx{f'(x)}&&\tx{-}&\tx{0}&\tx{+}&\cr
\tx{f(x)}&\txh{+\infty}&\fd&\txb{f(a)}&\fm&\txh{+\infty}\cr
}$$


		\item \begin{footnotesize}
		Démontrer que la fonction $f$ admet pour minimum le nombre réel 
		
$m = \dfrac{1}{a^2} + \dfrac{1}{a}$. 
		\end{footnotesize}
		
		$f$ étant décroissante sur $[0;a]$ et croissante sur $[a;+\infty[$, $f$ admet un minimum en $a$ qui vaut :
		$$ f(a)=e^a+\dfrac{1}{a}$$
		Or, $a$ est le réel tel que $g(a)=0 \Longleftrightarrow a^2e^a-1=0\Longleftrightarrow e^a=\dfrac{1}{a^2}$
		
		d'où : $f(a)=\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{a}$.
		
		
		\item {\footnotesize  Justifier que $3,43 < m < 3,45$.}
		
		On sait que $0,703<a<0,704 \Longleftrightarrow \dfrac{1}{0,704}<\dfrac{1}{a}<\dfrac{1}{0,703}$
		
		De plus $0,703<a<0,704\Longleftrightarrow 0,703^2<a^2<0,704^2\Longleftrightarrow \dfrac{1}{0,704^2}<\dfrac{1}{a^2}<\dfrac{1}{0,703^2}$ 
		
		et donc par somme :
		$$3,43<\dfrac{1}{0,704^2}+\dfrac{1}{0,704}<\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{a^2}<\dfrac{1}{0,703}+\dfrac{1}{0,703^2}<3,45$$
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}
\end{exoi}

\begin{exoi}\hfill \textbf{5 points}\\

\begin{footnotesize}
Le plan est muni du repère orthonormé direct \Ouv.

On donne le nombre complexe $\text{j} = - \dfrac{1}{2} + \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.

Le but de cet exercice est d'étudier quelques propriétés du nombre j et de mettre en évidence un
lien de ce nombre avec les triangles équilatéraux.
\end{footnotesize}

\bigskip

\textbf{Partie A : propriétés du nombre j}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item \begin{footnotesize}
		Résoudre dans l'ensemble $\C$ des nombres complexes l'équation 
		
		\[z^2 + z + 1 = 0.\]
		\end{footnotesize}
		
		$$ \Delta=b^2-4ac=1-4=-3<0$$
		
		Il existe deux racines complexes conjuguées :
		$$ z_1=\dfrac{-1+i\sqrt{3}}{2}\qquad \text{et}\qquad \overline{z_1}=\dfrac{-1-i\sqrt{3}}{2}$$
		
		\item {\footnotesize Vérifier que le nombre complexe j est une solution de cette équation.}
		
		$j=z_1$, nous venons donc effectivement de démontrer que $j$ est solution de l'équation $z^2+z+1=0$ c'est à dire que $j^2+j+1=0$.
	\end{enumerate}
\item {\footnotesize Déterminer le module et un argument du nombre complexe j, puis donner sa forme trigonométrique.}

$j=-\dfrac{1}{2}+i\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\cos \dfrac{2\pi}{3}+i\sin\dfrac{2\pi}{3}$,

par conséquent le module de $j$ vaut $1$, un argument de $j$ vaut $\dfrac{2\pi}{3}$ et sa forme trigonométrique est écrite juste au-dessus.
\item {\footnotesize Démontrer les égalités suivantes:}
	\begin{enumerate}
		\item {\footnotesize j$^3 = 1$ ;}
		
		On sait que $|j|=1$ donc $|j^3|=|j|^3=1^3=1$. 
		
		On sait que $arg(j)=\dfrac{2\pi}{3}$ à $2\pi$ près donc $arg(j^3)=3arg(j)=3\times \dfrac{2\pi}{3}=2\pi$ à $2\pi$ près.
		
		Par conséquent $j^3=1$.
		\item {\footnotesize j$^2 = - 1 - \text{j}$.}
		
		Nous savons que $j$ est solution de l'équation $z^2+z+1=0$ donc $j^2+j+1=0\Longleftrightarrow j^2=-1-j$.
	\end{enumerate}
\item \begin{footnotesize}
On note P, Q, R les images respectives des nombres complexes 1,\:j et j$^2$ dans le plan.
	
Quelle est la nature du triangle PQR ? Justifier la réponse.
\end{footnotesize}

Notons que $j^2=-1-j=-1+\dfrac{1}{2}-i\dfrac{\sqrt{3}}{2}=-\dfrac{1}{2}-i\dfrac{\sqrt{3}}{2}$

$PQ=|z_Q-z_P|=|j-1|=\left|- \dfrac{1}{2} + \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2}-1\right|=\left|- \dfrac{3}{2} + \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right|=\sqrt{\left(-\dfrac{3}{2}\right)^2+\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^2}=\sqrt{3}$

$PR=|z_R-z_P|=|j^2-1|=\left|- \dfrac{1}{2} - \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2}-1\right|=\left|-\dfrac{3}{2} -\text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right|=\sqrt{\left(-\dfrac{3}{2}\right)^2+\left(\dfrac{-\sqrt{3}}{2}\right)^2}=\sqrt{3}$

$QR=|z_R-z_Q|=|j^2-j|=\left|- \dfrac{1}{2} - \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\dfrac{1}{2}- \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right|=\left|-i\sqrt{3}\right|=\sqrt{3}$

$PQ=PR=QR=\sqrt{3}$ donc le triangle $PQR$ est équilatéral.

\end{enumerate}	
	
\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

\begin{footnotesize}
Soit $a$, $b$, $c$ trois nombres complexes vérifiant l'égalité $a+ \text{j}b + \text{j}^2 c = 0$.

On note A, B, C les images respectives des nombres $a$, $b$, $c$ dans le plan.
\end{footnotesize}

\medskip

\begin{enumerate}
\item {\footnotesize En utilisant la question A - 3. b., démontrer l'égalité : $ a - c = \text{j}(c - b)$.}


$$a+ \text{j}b + \text{j}^2 c = 0\Longleftrightarrow a+bj+(-1-j)c=0 \Longleftrightarrow a+bj-c-cj=0\Longleftrightarrow a-c=cj-bj\Longleftrightarrow a-c=j(c-b)$$
\item  {\footnotesize En déduire que AC = BC .}

 Puisque $ a - c = \text{j}(c - b)$, on a $$| a - c| = |\text{j}(c - b)|\Longleftrightarrow CA=|j|\times |c-b|=1\times BC\Longleftrightarrow CA=BC$$
\item  {\footnotesize Démontrer l'égalité : $a - b = \text{j}^2 (b - c)$.}

On a $$a+ \text{j}b + \text{j}^2 c = 0\Longleftrightarrow aj+bj^2+cj^3=0 \Longleftrightarrow aj+b(-1-j)+c=0\Longleftrightarrow aj-b-bj+c=0 \Longleftrightarrow j(a-b)=b-c$$

Puis en multipliant par $j^2$ on obtient (puisque $j^3=1$) :
$$ a-b=j^2(b-c)$$
\item  {\footnotesize En déduire que le triangle ABC est équilatéral.}

On a observé que $j^2=\overline{j}$ donc $|j^2|=|\overline{j}|=|j|=1$ donc :


Puisque $ a-b=j^2(b-c)$, on a 

$$| a - b| = |j^2(b-c)| \Longleftrightarrow BA=|j^2|\times |b-c|\Longleftrightarrow BA=CB$$

$BC=BA$ et $BC=AC$ donc le triangle $ABC$ est équilatéral dès que $a+bj+cj^2=0$.
\end{enumerate}

\end{exoi}

\pagebreak
\begin{exoi}\hfill \textbf{5 points}\\
\begin{footnotesize}

Dans un pays de population constante égale à 120 millions, les habitants vivent soit en zone rurale, soit en ville. Les mouvements de population peuvent être modélisés de la façon suivante :

\setlength\parindent{8mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$]en 2010, la population compte $90$~millions de ruraux et $30$~millions de citadins ;
\item[$\bullet~~$]chaque année, 10\,\% des ruraux émigrent à la ville ;
\item[$\bullet~~$]chaque année, 5\,\% des citadins émigrent en zone rurale.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

Pour tout entier naturel $n$, on note :

\setlength\parindent{8mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$]$u_n$ la population en zone rurale, en l'année $2010 + n$, exprimée en millions d'habitants ;
\item[$\bullet~~$]$v_n$ la population en ville, en l'année $2010 + n$, exprimée en millions d'habitants.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

On a donc $u_0 = 90$ et $v_0 = 30$.

\end{footnotesize}
\partieBac{}

\begin{enumerate}
\item{\footnotesize  Traduire le fait que la population totale est constante par une relation liant $u_n$ et $v_n$.}
Pour tout entier naturel $n$ on a :
$$u_n+v_n=120$$
\item{\footnotesize  On utilise un tableur pour visualiser l'évolution des suites $\left(u_n\right)$ et $\left(v_n\right)$.}

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.95\linewidth}{|c|m{4cm}|*{1}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
A &B&C\\ \hline
$n$		&Population en zone rurale &Population en ville\\ \hline
0	&90 		&30\\ \hline
1	&82,5 		&37,5\\ \hline
2	&76,125 	&43,875\\ \hline
3	&70,706 	&49,294\\ \hline
4	&66,100 	&53,900\\ \hline
5	&62,185 	&57.815\\ \hline
6	&58,857 	&61,143\\ \hline
7	&56,029 	&63,971\\ \hline
8&53,625 	&66,375\\ \hline
9&51,581 	&68,419\\ \hline
10&49,844 	&70,156\\ \hline
11&48,367 	&71,633\\ \hline
%12&47,112 	&72,888\\ \hline
%13&46,045 	&73,955\\ \hline
%14&45,138 	&74,862\\ \hline
%15&44,368 	&75,632\\ \hline
%16&43,713 	&76,287\\ \hline
%17&43,156 	&76,844\\ \hline
$\dots$ & $\dots$ & $\dots$ \\ \hline
59 &40,003 &79,997\\ \hline
60 &40,003 &79,997\\ \hline
61 &40,002 &79,998\\ \hline
%&18&42,682 	&77,318\\ \hline
%21&19&42,280 	&77,720\\ \hline
%22&20&41,938 	&78,062\\ \hline 
\end{tabularx}
\end{center}

 \begin{footnotesize}
 Quelles conjectures peut-on faire concernant l'évolution à long terme de cette
population ?
 \end{footnotesize}
 
 La première semble converger vers $40$, l'autre vers $80$.
\end{enumerate}



\partieBac{}


\begin{footnotesize}

On admet dans cette partie que, pour tout entier naturel $n,\quad  u_{n+1} = 0,85u_n + 6$.

\end{footnotesize}
\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item {\footnotesize Démontrer par récurrence que la suite $\left(u_n\right)$ est décroissante.}
		
		Notons $\mathscr P(n) : u_n>u_{n+1}$
		
		\textbf{\textit{Initialisation}} : pour $n=0$, $u_0=90$ et $u_1=0,85\times 90+6=82.50<u_0$
		
		Puisque $u_1<u_0$, $\mathscr P$ est vraie pour $n=0$.
		
		\textbf{\textit{Hérédité}} : Montrons que si $u_{n}>u_{n+1}$ alors $u_{n+1}>u_{n+2}$.
		
		$$ u_{n}>u_{n+1} \Longleftrightarrow 0.85u_n>0.85u_{n+1}\Longleftrightarrow 0.85u_n+6>0.85u_{n+1}+6\Longleftrightarrow u_{n+1}>u_{n+2}$$
		
		$\mathscr P$ est héréditaire, étant aussi initialisée à partir de $n=0$, nous avons démontré que la suite $(u_n)$ est décroissante.
		\item \begin{footnotesize}
		On admet que $u_n$ est positif pour tout entier naturel $n$.
		
Que peut-on en déduire quant à la suite $\left(u_n\right)$ ?
		\end{footnotesize}
		
		$(u_n)$ est donc minorée par $0$, comme toute suite décroissante et minorée $(u_n)$ converge vers un nombre réel (peut-être $40$.)
	\end{enumerate}
\item {\footnotesize On considère la suite $\left(w_n\right)$, définie par : $w_n = u_n - 40$, pour tout $n \geqslant 0$.}
	\begin{enumerate}
		\item {\footnotesize Démontrer que $\left(w_n\right)$ est une suite géométrique de raison $0,85$.}
		
		Pour tout entier naturel $n$ on a :
		$$ w_{n+1}=u_{n+1}-40=0,85u_n+6-40=0,85u_n-34=0,85(u_n-40)0,85w_n$$
		
		Donc $\left(w_n\right)$ est une suite géométrique de raison $0,85$.
		\item {\footnotesize En déduire l'expression de $w_n$ puis de $u_n$ en fonction de $n$.}
		
		Puisque $(w_n)$ est une suite géométrique de raison $0,85$ et de premier terme $w_0=u_0-40=90-40=50$ on a :
		$$ w_n=50\times 0,85^n$$
		Puisque $w_n=u_n-40$ il suit que :
		$$ u_n=w_n+40=0.85^n+40$$
		\item {\footnotesize Déterminer l'expression de $v_n$ en fonction de $n$.}
		
		Puisque $v_n+u_n=120$ il suit que :
		$$ v_n=120-u_n=120-(0.85^n+40)=80-0.85^n$$
	\end{enumerate}
\item {\footnotesize Valider ou invalider les conjectures effectuées à la question \textbf{3.} de la \textbf{partie A}.}

$-1<0,85<1$ donc $\lim\limits_{n\to+\infty} 0,85^n=0$ il suit que :
$$\lim\limits_{n\to+\infty}u_n=\lim\limits_{n\to+\infty} 0.85^n+40=40\quad {et}\quad  \lim\limits_{n\to+\infty}v_n=\lim\limits_{n\to+\infty}120-u_n=120-40=80$$
confirmant nos conjectures.
\item On considère l'algorithme suivant :
	
\begin{center}
\begin{tabularx}{0.75\linewidth}{|l X|}\hline
Entrée :		&$n$ et $u$ sont des nombres\\
Initialisation :&$n$ prend la valeur $0$\\
				&$u$ prend la valeur $90$\\
Traitement :	&Tant que $u \geqslant 120 - u$ faire\\
				&\hspace{0.75cm}$n$ prend la valeur $n + 1$\\
				&\hspace{0.75cm}$u$ prend la valeur $0,85 \times u + 6$\\
				&Fin Tant que\\
Sortie :		&Afficher $n$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

	\begin{enumerate}
		\item {\footnotesize Que fait cet algorithme ?}
		
		$u_n\geqslant 120-u_n \Longleftrightarrow u_n\geqslant v_n$.
		
		L'algorithme permet d'afficher le plus petit entier naturel $n$ tel que $u_n<v_n$.
		\item {\footnotesize Quelle valeur affiche-t-il ?}
		
		
		Il affichera $6$ (voir dans le tableau accompagnant le sujet).
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exoi}

\newcommand{\Fin}{node[xshift=-1.5ex,rotate=10]{F}
                  node[rotate=170]{i}
                  node[xshift=1.5ex,rotate=45]{n}}

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=8,transform shape] 
   \draw (0,0) \Fin;
   \draw (-1em,-1ex) -- (1em,-1ex);
   \path[scope fading=south] (-1em,-0.25em) rectangle (1em,-3.75ex);
   \draw[yscale=-1] (0,2ex) \Fin;
\end{tikzpicture}
\end{center}


\end{document}