\documentclass[a4paper,10pt,french]{article}


\input macrodwicky.tex
\geometry{verbose,letterpaper,tmargin=0.5cm,bmargin=0.5cm,lmargin=2cm,rmargin=2cm}

\begin{document}
\pagestyle{empty}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune
\textbf{Nom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$ \hfill \textbf{Pr\'enom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$  \hfill Classe :$\dots\dots$\\
\psframebox[linestyle=solid,shadow=true,framearc=0.5,fillcolor=vert!30]{
\begin{minipage}{17cm}
\begin{center}
\vspace{1mm}
\textsc{\textbf{ Correction de l'interrogation n$^{\circ}9$ }\hfill \textbf{Sujet A}}
\end{center}
\vspace{-3mm}
\end{minipage}
}
\setcounter{section}{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	 Interro
\begin{center}
\textit{\textbf{On prendra soin de coller le sujet sur la copie. La note tiendra compte de la qualité de la rédaction et des justifications.}}
\end{center}



\begin{exoi}\hfill \textbf{(racine cubique de l'unité)}\\
\partieBac{Racines du polyn\^ome $P$}
\begin{footnotesize}
On considère le polyn\^ome $P$ qui a tout nombre complexe $z$ associe le nombre complexe :
$$ P(z)=z^3-1$$
\end{footnotesize}
\begin{enumerate}
\item {\footnotesize Vérifier que $z=1$ est racine de $P$.}

$1^3-1=1-1=0$ donc $1$ est racine de $P$.
\item \begin{footnotesize}
Vérifier que pour tout nombre complexe $z$ on a :
$$ P(z)=(z-1)(z^2+z+1)$$
\end{footnotesize}
Pour tout $z\in\C$ on a $(z-1)(z^2+z+1)=z^3+z^2+z-z^2-z-1=z^3-1=P(z)$.
\item {\footnotesize Résoudre l'équation $z^2+z+1=0$.}

$\Delta=b^2-4ac=1-4=-3$ donc cette équation admet deux solutions complexes conjugués :
$$ z_1=\dfrac{-1+i\sqrt{3}}{2}\qquad\text{et}\qquad z_2=\dfrac{-1-i\sqrt{3}}{2}$$
\item {\footnotesize En déduire l'ensemble des racines du polyn\^ome $P$ dans $\C$.}

 $$P(z)=0\Longleftrightarrow (z-1)(z^2+z+1)=0\Longleftrightarrow z-1=0\qquad \text{et}\qquad z^2+z+1=0$$
 
 Et donc d'après les premières questions $P$ admet trois racines qui sont :
 $$ 1\qquad ;\qquad -\dfrac{1}{2}+i\dfrac{\sqrt{3}}{2}\qquad \text{et}\qquad -\dfrac{1}{2}-i\dfrac{\sqrt{3}}{2}$$
\end{enumerate}
\partieBac{Module et argument des racines}
{\footnotesize On munit le plan complexe d'un repère orthonormal $(O;\vec{u},\vec{v})$. Soit $A$, $B$ et $C$ les points du plan d'affixes respectives $$z_A=1\qquad z_B=-\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}i\qquad \text{et}\qquad z_C=-\dfrac{1}{2}-\dfrac{\sqrt{3}}{2}i $$}
\begin{enumerate}
\item {\footnotesize Déterminer le module et un argument de $z_A$.}

$|z_A|=|1|=1$ et $arg(z_A)=0+2k\pi$ où $k\in\Z$ puisque $1\in \R^+$.
\item {\footnotesize Déterminer le module et un argument de $z_B$.}

$z_B=-\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}i=\cos \dfrac{2\pi}{3}+i\sin \dfrac{2\pi}{3}$ donc $|z_B|=1$ et $arg(z_B)=\dfrac{2\pi}{3}+2k\pi$ où $k\in\Z$
\item {\footnotesize Déterminer le module et un argument de $z_C$.}

$z_C-\dfrac{1}{2}-\dfrac{\sqrt{3}}{2}i=\cos \dfrac{-2\pi}{3}+i\sin \dfrac{-2\pi}{3}$ donc $|z_C|=1$ et $arg(z_B)=\dfrac{-2\pi}{3}+2k\pi$ où $k\in\Z$
\item {\footnotesize Justifier que les points $A$, $B$ et $C$ appartiennent à un même cercle dont on précisera le centre et le rayon.}

$|z_A|=|z_B|=|z_C|=1\Longleftrightarrow OA=OB=OC=1$ et donc $A$, $B$ et $C$ appartiennent au cercle de centre $O$ et de rayon $1$.
\item {\footnotesize Représenter en laissant apparent les traits de construction les points $A$, $B$ et $C$ dans le repère $(O;\vec{u},\vec{v})$.}

\begin{center}
\psset{xunit=2.0cm,yunit=2.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-2.18,-2.16)(3.01,1.82)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=0.5,Dy=0.5,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-2.18,-2.16)(3.01,1.82)
\pscircle(0,0){2}
\psline(-0.5,-2.16)(-0.5,1.82)
\begin{scriptsize}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](1,0)
\rput[bl](1.04,0.05){\blue{$A$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=darkgray](-0.5,0.87)
\rput[bl](-0.46,0.92){\darkgray{$B$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=darkgray](-0.5,-0.87)
\rput[bl](-0.46,-0.81){\darkgray{$C$}}
\end{scriptsize}
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{enumerate}
\end{exoi}



\vfill
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune
\textbf{Nom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$ \hfill \textbf{Pr\'enom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$  \hfill Classe :$\dots\dots$\\
\psframebox[linestyle=solid,shadow=true,framearc=0.5,fillcolor=vert!30]{
\begin{minipage}{17cm}
\begin{center}
\vspace{1mm}
\textsc{\textbf{Correction de l'interrogation n$^{\circ}9$ }\hfill \textbf{Sujet B}}
\end{center}
\vspace{-3mm}
\end{minipage}
}
\setcounter{exer}{0}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	 Interro
\begin{center}
\textit{\textbf{On prendra soin de coller le sujet sur la copie. La note tiendra compte de la qualité de la rédaction et des justifications.}}
\end{center}





\Exoi{\hfill \textbf{(10 points)}\\
\partieBac{Racines du polyn\^ome $P$}
\begin{footnotesize}
On considère le polyn\^ome $P$ qui a tout nombre complexe $z$ associe le nombre complexe :
$$ P(z)=z^4+1$$
\end{footnotesize}\begin{enumerate}
\item \begin{footnotesize}
Démontrer que pour tout nombre complexe $z$ on a :
$$ z^4+1=(z^2+\sqrt{2}z+1)(z^2-\sqrt{2}z+1)$$
\end{footnotesize}
\\
Pour tout nombre complexe $z$ on a :
$$ (z^2+\sqrt{2}z+1)(z^2-\sqrt{2}z+1)=z^4-\sqrt{2}z^3+z^2+\sqrt{2}z^3-2z^2+\sqrt{2}z+z^2-\sqrt{2}z+1=
z^4+1$$
%$$ (z-e^{i\frac{\pi}{4}})(z-e^{-i\frac{\pi}{4}})=z^2-z\left(e^{i\frac{\pi}{4}}+e^{-i\frac{\pi}{4}}\right)+1$$
%$$(z^2+\sqrt{2}z+1)(z^2-\sqrt{2}z+1)=z^4-\sqrt{2}z^3+z^2+\sqrt{2}z^3-2z^2+\sqrt{2}z+z^2-\sqrt{2}z+1$$
\item {\footnotesize Résoudre l'équation $z^2+\sqrt{2}z+1=0$ }
\\
$\Delta=2-4=-2$ donc cette équation admet deux solutions complexes conjugués :
$$ z_1=\dfrac{-\sqrt{2}}{2}+i\dfrac{\sqrt{2}}{2}\qquad \text{et}\qquad \dfrac{-\sqrt{2}}{2}-i\dfrac{\sqrt{2}}{2}$$
\item {\footnotesize Résoudre l'équation $z^2-\sqrt{2}z+1=0$}
\\
$\Delta=2-4=-2$ donc cette équation admet deux solutions complexes conjugués :
$$ z_1=\dfrac{\sqrt{2}}{2}+i\dfrac{\sqrt{2}}{2}\qquad \text{et}\qquad \dfrac{\sqrt{2}}{2}-i\dfrac{\sqrt{2}}{2}$$
\item {\footnotesize En déduire l'ensemble des racines du polyn\^ome $P$ dans $\C$.}
\\
$z$ est racine de $P$ si et seulement si $P(z)=0\Longleftrightarrow (z^2+\sqrt{2}z+1)(z^2-\sqrt{2}z+1)=0\Longleftrightarrow z^2+\sqrt{2}z+1=0\qquad\text{et}\qquad z^2-\sqrt{2}z+1=0$
\\
Et donc d'après les deux questions précédentes, l'ensemble des racines de $P$ sont :
$$ z_1=\dfrac{-\sqrt{2}}{2}+i\dfrac{\sqrt{2}}{2}\qquad \text{;}\qquad \dfrac{-\sqrt{2}}{2}-i\dfrac{\sqrt{2}}{2}\qquad \text{;}\qquad \dfrac{\sqrt{2}}{2}+i\dfrac{\sqrt{2}}{2}\qquad \text{et}\qquad \dfrac{\sqrt{2}}{2}-i\dfrac{\sqrt{2}}{2} $$
\end{enumerate}
\partieBac{Module et argument des racines}
{\footnotesize On munit le plan complexe d'un repère orthonormal $(O;\vec{u},\vec{v})$. Soit $A$, $B$, $C$ et $D$ les points du plan d'affixes respectives $$z_A=\dfrac{\sqrt{2}}{2}+\dfrac{\sqrt{2}}{2}i\qquad z_B=\dfrac{\sqrt{2}}{2}-\dfrac{\sqrt{2}}{2}i \qquad z_C=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}+\dfrac{\sqrt{2}}{2}i \qquad \text{et}\qquad z_D=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}-\dfrac{\sqrt{2}}{2}i $$}
\begin{enumerate}
\item {\footnotesize Déterminer le module et un argument de $z_A$.}
$$z_A=\dfrac{\sqrt{2}}{2}+\dfrac{\sqrt{2}}{2}i=\cos \dfrac{\pi}{4}+i\sin\dfrac{\pi}{4} $$
Ainsi $|z_A|=1$ et $arg(z_A)=\dfrac{\pi}{4}+2k\pi$ avec $k\in\Z$.
\item {\footnotesize Déterminer le module et un argument de $z_B$.}
$$z_B=\dfrac{\sqrt{2}}{2}-\dfrac{\sqrt{2}}{2}i=\cos \dfrac{-\pi}{4}+i\sin\dfrac{-\pi}{4} $$
Ainsi $|z_B|=1$ et $arg(z_B)=-\dfrac{\pi}{4}+2k\pi$ avec $k\in\Z$.
\item{\footnotesize  Déterminer le module et un argument de $z_C$.}
$$z_C=\dfrac{-\sqrt{2}}{2}+\dfrac{\sqrt{2}}{2}i=\cos \dfrac{3\pi}{4}+i\sin\dfrac{3\pi}{4} $$
Ainsi $|z_C|=1$ et $arg(z_C)=\dfrac{3\pi}{4}+2k\pi$ avec $k\in\Z$.
\item {\footnotesize Déterminer le module et un argument de $z_D$.}
$$z_D=\dfrac{-\sqrt{2}}{2}-\dfrac{\sqrt{2}}{2}i=\cos \dfrac{-3\pi}{4}+i\sin\dfrac{-3\pi}{4} $$
Ainsi $|z_D|=1$ et $arg(z_D)=\dfrac{-3\pi}{4}+2k\pi$ avec $k\in\Z$.
\item {\footnotesize Justifier que les points $A$, $B$, $C$ et $D$ appartiennent à un même cercle dont on précisera le centre et le rayon.}
\\
$|z_A|=|z_B|=|z_C|=|z_D|=1\Longleftrightarrow OA=OB=OC=OD=1$ et donc les points $A$, $B$, $C$ et $D$ appartiennent au cercle de centre $O$ et de rayon $1$.
\item {\footnotesize Représenter en laissant apparent les traits de construction les points $A$, $B$, $C$ et $D$ dans le repère $(O;\vec{u},\vec{v})$.}
\begin{center}
\psset{xunit=2.0cm,yunit=2.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-2.18,-2.16)(3.01,1.82)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=0.5,Dy=0.5,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-2.18,-2.16)(3.01,1.82)
\pscircle(0,0){2}
\psplot{-2.18}{3.01}{(-0--1*x)/1}
\psplot{-2.18}{3.01}{(-0-1*x)/1}
\begin{scriptsize}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=darkgray](0.71,0.71)
\rput[bl](0.8,0.67){\darkgray{$A$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=darkgray](0.71,-0.71)
\rput[bl](0.81,-0.81){\darkgray{$B$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=darkgray](-0.71,0.71)
\rput[bl](-0.9,0.64){\darkgray{$C$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=darkgray](-0.71,-0.71)
\rput[bl](-0.91,-0.76){\darkgray{$D$}}
\end{scriptsize}
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{enumerate}
}


\end{document}
