\documentclass[a4paper,10pt,french]{article}


\input macrodwicky.tex
\geometry{verbose,letterpaper,tmargin=0.5cm,bmargin=0.5cm,lmargin=2cm,rmargin=2cm}

\begin{document}
\pagestyle{empty}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune
\textbf{Nom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$ \hfill \textbf{Pr\'enom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$  \hfill Classe :$\dots\dots$\\
\psframebox[linestyle=solid,shadow=true,framearc=0.5,fillcolor=vert!30]{
\begin{minipage}{17cm}
\begin{center}
\vspace{1mm}
\textsc{\textbf{ Correction de l'interrogation n$^{\circ}7$ }}
\end{center}
\vspace{-3mm}
\end{minipage}
}
\setcounter{section}{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	 Interro
\begin{center}
\textit{\textbf{On prendra soin de coller le sujet sur la copie. La note tiendra compte de la qualité de la rédaction et des justifications.}}
\end{center}



\begin{exoi}\hfill \textbf{(6 points)}\\
Un laboratoire pharmaceutique propose des tests de dépistage de diverses maladies. Son service de communication met en avant les caractéristiques suivantes : 

\setlength\parindent{9mm}
\begin{itemize}
\item la probabilité qu'une personne malade présente un test positif est $0,99$ ;
\item la probabilité qu'une personne saine présente un test positif est $0,001$. 
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip

\begin{enumerate}
\item \begin{footnotesize}
Pour une maladie qui vient d'apparaître, le laboratoire élabore un nouveau test. Une étude statistique permet d'estimer que la proportion de personnes malades parmi la population d'une métropole est d'$1$ pour $1000$. On choisit au hasard une personne dans cette population et on lui fait subir le test. 

On note $M$ l'évènement \og la personne choisie est malade\fg{} et $T$ l'évènement \og le test est positif \fg. 
\end{footnotesize}
	\begin{enumerate}
		\item {\footnotesize Traduire l'énoncé sous la forme d'un arbre pondéré. }
	\begin{center}	
		%\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}
\psset{nodesep=0mm,levelsep=20mm,treesep=10mm}
\pstree[treemode=R]{\Tdot}
{
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$M$}\taput{\small $\frac{1}{1000}$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$T$}\taput{\small $0,99$}
\Tdot~[tnpos=r]{$\overline{T}$}\tbput{\small $0,01$}
}
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$\overline{M}$}\tbput{\small $\frac{999}{1000}$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$T$}\taput{\small $0,001$}
\Tdot~[tnpos=r]{$\overline{T}$}\tbput{\small $0.999$}
}
}
\end{center}
		\item {\footnotesize Démontrer que la probabilité $p(T)$ de l'évènement $T$ est égale à $1,989 \times 10^{-3}$. }
		$$ p(T)=p(M\cap T)+p(\overline{M}\cap T)=p(M)\times P_M(T)+P(\overline{M})\times P_{\overline{M}}(T)=0,001\times 0,99+0,999\times 0,001=0,00099+0,000999=0.001989$$
		\item \begin{footnotesize}
		L'affirmation suivante est-elle vraie ou fausse ? Justifier la réponse. 

Affirmation : \og Si le test est positif, il y a moins d'une chance sur deux que la personne soit malade \fg.
		\end{footnotesize}
		
	Déterminons $P_T(M)$ :
	$$ P_T(M)=\dfrac{P(M\cap T)}{P(T)}=\dfrac{0,001\times 0,99}{0,001\times 0,99+0,999\times 0,001}=\dfrac{0,00099}{0,001989}=\dfrac{990}{1989}=\dfrac{110}{221}<\dfrac{110}{220}=\dfrac{1}{2}$$
	Effectivement si le test est positif, il y a moins d'une chance sur deux que la personne soit malade.
	\end{enumerate} 
\item \begin{footnotesize}
Le laboratoire décide de commercialiser un test dès lors que la probabilité qu'une personne testée positivement soit malade est supérieure ou égale à $0,95$. On désigne par $x$ la proportion de personnes atteintes d'une certaine maladie dans la population. 

À partir de quelle valeur de $x$ le laboratoire commercialise-t-il le test correspondant ?
\end{footnotesize} 

	\begin{center}	
		%\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}
\psset{nodesep=0mm,levelsep=20mm,treesep=10mm}
\pstree[treemode=R]{\Tdot}
{
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$M$}\taput{\small $x$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$T$}\taput{\small $0,99$}
\Tdot~[tnpos=r]{$\overline{T}$}\tbput{\small $0,01$}
}
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$\overline{M}$}\tbput{\small $1-x$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$T$}\taput{\small $0,001$}
\Tdot~[tnpos=r]{$\overline{T}$}\tbput{\small $0.999$}
}
}
\end{center}
On cherche à résoudre :
$$ P_T(M)\geq 0,95 \Longleftrightarrow \dfrac{P(M\cap T)}{P(T)}\geq 0,95\Longleftrightarrow \dfrac{0,99x}{0,99x+0,001(1-x)}\geq 0,95 \Longleftrightarrow \dfrac{0,99x}{0,989x+0,001}\geq 0,95 $$

Et puisque $0,989x+0,001$ lorsque $x>0$ on obtient :
$$ 0 ,99x\geq 0,95(0,989x+0,001) \Longleftrightarrow 0,99x-0.93955x\geq 0,00095 \Longleftrightarrow 0.05045x\geq 0,00095 \Longleftrightarrow x\geq \dfrac{0,00095}{0,05045}=\dfrac{95}{5045}$$
Ainsi dès lors qu'il y a plus de $95$ malades pour $5045$ personnes le laboratoire pourra commercialiser le test.
\end{enumerate} 
\end{exoi}
\vfill
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune
\textbf{Nom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$ \hfill \textbf{Pr\'enom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$  \hfill Classe :$\dots\dots$\\
\psframebox[linestyle=solid,shadow=true,framearc=0.5,fillcolor=vert!30]{
\begin{minipage}{17cm}
\begin{center}
\vspace{1mm}
\textsc{\textbf{ Correction de l'interrogation n$^{\circ}7$ }}
\end{center}
\vspace{-3mm}
\end{minipage}
}
\setcounter{Exi}{0}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	 Interro
\begin{center}
\textit{\textbf{On prendra soin de coller le sujet sur la copie. La note tiendra compte de la qualité de la rédaction et des justifications.}}
\end{center}





\Exoi{\hfill \textbf{(6 points)}\\
\begin{footnotesize}
Un élève doit se rendre à son lycée chaque matin pour $8$h$00$. Pour cela, il utilise, selon les jours, deux moyens de transport : le vélo ou le bus.
\\
L'élève part tous les jours à $7h40$ de son domicile et doit arriver à $8h00$ à son lycée. Il prend le vélo $7$ jours sur $10$ et le bus le reste du temps.
\\
Les jours où il prend le vélo, il arrive à l'heure dans $99,4\%$ des cas et lorsqu'il prend le bus, il arrive à l'heure dans $95\%$ des cas.
\\
On choisit une date au hasard en période scolaire et on note $V$ l'événement \og l'élève se rend au lycée à vélo \fg{}, $B$ l'événement \og l'élève se rend au lycée en bus \fg{} et $R$ l'événement \og l'élève arrive en retard au lycée \fg{}.
\end{footnotesize}
\begin{enumerate}
\item {\footnotesize Traduire la situation par un arbre de probabilités.}
\begin{center}
%\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}
\psset{nodesep=0mm,levelsep=20mm,treesep=10mm}
\pstree[treemode=R]{\Tdot}
{
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$B$}\taput{\small $\frac{3}{10}$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$R$}\taput{\small $0,05$}
\Tdot~[tnpos=r]{$\overline{R}$}\tbput{\small $0,95$}
}
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$\overline{B}$}\tbput{\small $\frac{3}{10}$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$R$}\taput{\small $0,006$}
\Tdot~[tnpos=r]{$\overline{R}$}\tbput{\small $0.994$}
}
}
\end{center}
\item {\footnotesize Déterminer la probabilité de l'événement $V\cap R$.}
$$ P(\overline{B}\cap R)=P(\overline{B})\times P_{\overline{B}}(R)=\dfrac{7}{10}\times 0.006=\dfrac{7}{10}\times \dfrac{6}{1000}=\dfrac{42}{10000}$$
\item {\footnotesize Démontrer que la probabilité de l'événement $R$ est $0,0192$.}
$$ P(R)=P(B\cap R)+P(\overline{B}\cap R)=P(B)\times P_B(R)+P(\overline{B})\times P_{\overline{B}}(R)=\dfrac{3}{10}\times \dfrac{5}{100}+\dfrac{42}{10000}=\dfrac{192}{10000}$$
\item {\footnotesize Un jour donné, l'élève est arrivé en retard au lycée. Quelle est la probabilité qu'il s'y soit rendu en bus ?}
$$ P_R(B)=\dfrac{P(R\cap B)}{P(R)}=\dfrac{\frac{3}{10}\times \frac{5}{100}}{\frac{192}{10000}}=\dfrac{15}{1000}\times \dfrac{10000}{192}=\dfrac{150}{192}$$
\end{enumerate}
}

%\Exoi{\hfill \textbf{(4 points)}\\
%On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par :
%$$f(x)=\left\{ \begin{array}{l}  x^2-a \qquad \qquad \text{si } x\leq 2\\ \dfrac{2}{x^2-3} \qquad \qquad \text{si } x>2\end{array} \right.$$
%$a$ désigne un nombre réel.
%\begin{enumerate}
%\item En décomposant la fonction $f$ démontrer qu'elle est continue sur l'intervalle $]2;+\infty[$.
%\item Justifier que la fonction $f$ est continue sur $]-\infty;2[$
%\item Déterminer $a$ pour que $f$ soit continue en $2$.
%\end{enumerate}
%}
\end{document}
