\documentclass[a4paper,10pt,french]{article}


\input macrodwicky.tex
\geometry{verbose,letterpaper,tmargin=1cm,bmargin=1cm,lmargin=2cm,rmargin=2cm}

\begin{document}
\pagestyle{empty}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune
\textbf{Nom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$ \hfill \textbf{Pr\'enom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$  \hfill Classe :$\dots\dots$\\
\psframebox[linestyle=solid,shadow=true,framearc=0.5,fillcolor=vert!30]{
\begin{minipage}{17cm}
\begin{center}
\vspace{1mm}
\textsc{\textbf{ Correction de l'interrogation n$^{\circ}4$ }}
\end{center}
\vspace{-3mm}
\end{minipage}
}
\setcounter{section}{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	 Interro
\begin{center}
\textit{\textbf{On prendra soin de coller le sujet sur la copie. La note tiendra compte de la qualité de la rédaction et de l'application.}}
\end{center}

\begin{exoi}\hfill (8 points)\\
Soit $(O;\vec{i},\vec{j},\vec{k})$ un repère orthonormal. On considère les points $A(-2;0;-3)$, $B(6;6;-3)$, $C(4;4;9)$.
\begin{enumerate}
\item {\footnotesize Soit $\mathscr S$ la sphère de diamètre $[AB]$.}
\begin{enumerate}
\item {\footnotesize Déterminer les coordonnées du centre $\varOmega$ de la sphère $\mathscr S$ puis son rayon $r$.}

Puisque $\varOmega$ est le centre de $\mathscr S$ alors $\varOmega$ est le milieu de $[AB]$ ce pourquoi :
$$ \varOmega \left(\dfrac{-2+6}{2};\dfrac{0+6}{2};\dfrac{-3+(-3)}{2}\right)\Longleftrightarrow \varOmega (2;3;-3)$$

De plus, comme le repère est orthonormal :

$$ r=\varOmega A=\sqrt{(-2-2)^2+(0-3)^2+(-3+3)^2}=\sqrt{16+9+0}=5$$


\item {\footnotesize En déduire l'équation de la sphère $\mathscr S$.}

$M(x;y;z)\in \mathscr S \Longleftrightarrow \varOmega M=r$

Or, $\varOmega M=\sqrt{(x-2)^2+(y-3)^2+(z+3)^2}$, par conséquent une équation de la sphère est :
$$\sqrt{(x-2)^2+(y-3)^2+(z+3)^2}=5\Longleftrightarrow (x-2)^2+(y-3)^2+(z+3)^2=25 $$
\end{enumerate}
\item {\footnotesize Déterminer une représentation paramétrique de la droite $(AC)$.}

$M(x;y;z)\in (AC)\Longleftrightarrow \exists t\in \R$, $\overrightarrow{AM}=t\overrightarrow{AC}$.

Or, $\overrightarrow{AC}(6;4;12)$ donc $t\overrightarrow{AC}(6t;4t;12t)$ et $\overrightarrow{AM}(x+2;y;z+3)$.
Et puisque $\overrightarrow{AM}=t\overrightarrow{AC}$, une représentation paramétrique de $(AC)$ est :
$$\left\{\begin{array}{l c l}
x+2&=&6t\\
y&=&4t \\
z+3&=&12t
\end{array}\right.,\quad t\in\R \Longleftrightarrow \left\{\begin{array}{l c l}
x&=&6t-2\\
y&=&4t \\
z&=&12t-3
\end{array}\right.,\quad t\in\R$$

\item {\footnotesize Déterminer les coordonnées des points d'intersection entre $\mathscr S$ et $(AC)$.}

$M(x;y;z)\in \mathscr S \cap (AC)$ si et seulement si ses coordonnées satisfont la représentation paramétrique de $(AC)$ et l'équation de $\mathscr S$, nous sommes donc conduit à chercher les solutions du système suivant :

$$\left\{\begin{array}{l c l}
x&=&6t-2\\
y&=&4t \\
z&=&12t-3\\
(x-2)^2+(y-3)^2+(z+3)^2&=&25
\end{array}\right.$$

Par conséquent on cherche $t$ tel que $(6t-4)^2+(4t-3)^2+(12t)^2=25 \Longleftrightarrow 36t^2-48t+16+16t^2-24t+9+144t^2=25$

et donc :
$$ 196t^2-72t=0  t(196t-72)=0\Longleftrightarrow t=0\qquad \text{ou}\qquad t=\dfrac{72}{196}=\dfrac{36}{92}=\dfrac{18}{46}=\dfrac{9}{23}$$

Pour $t=0$ nous obtenons $x=-2$, $y=0$ et $z=-3$.

Pour $t=\dfrac{9}{23}$ nous obtenons $x=\dfrac{54}{23}-2=\dfrac{54-46}{23}=\dfrac{8}{23}$, $y=\dfrac{4\times 9}{23}=\dfrac{36}{23}$ $z=\dfrac{108}{23}-3=\dfrac{108-96}{23}=\dfrac{12}{23}$.

Ainsi $\mathscr S$ et $(AC)$ ont deux points d'intersection : $A(-2;0;3)$ et $K\left(\dfrac{8}{23};\dfrac{36}{23};\dfrac{12}{23}\right)$.
\end{enumerate}
\end{exoi}

\begin{exoi}\hfill (2 points)\\
\begin{footnotesize}
Dans un repère on considère les points $A(4;5;-7)$ et $B(1;-4;-4)$ et la droite $d$ dont une représentation paramétrique est :
$$\left\{\begin{array}{l c l}
x&=&- 2 - t\\
y&=&- 2t \\
z&=&- 1 - t
\end{array}\right.,\quad t\in\R$$
\end{footnotesize}
 \begin{enumerate}
\item {\footnotesize Le point $N(-8;6;-7)$ appartient-il à $d$ ? }

$N\in d$ si et seulement si ses coordonnées satisfont la représentation paramétrique de $d$ c'est-à-dire si et seulement s'il existe un réel $t$ tel que :

$$\left\{\begin{array}{l c l}
-8&=&- 2 - t\Longrightarrow t=6\\
6&=&- 2t \Longrightarrow t=-3\\
-7&=&- 1 - t
\end{array}\right. $$

Il n'existe aucun réel $t$ permettant d'obtenir les coordonnées de $N$ à partir de la représentation paramétrique de $d$, par conséquent :
$$ N\notin d$$
\item {\footnotesize $d$ et $(AB)$ sont-elles parallèles ?}

A partir de la représentation paramétrique de $d$ nous connaissant un vecteur directeur, nommons le $\vec{d}(-1;-2;-1)$.

De plus $(AB)$ est dirigée par le vecteur $\overrightarrow{AB}$ dont les coordonnées sont $\overrightarrow{AB}(-3;-9;3)$.

Les coordonnées des vecteurs $\vec{d}$ et $\overrightarrow{AB}$ ne sont pas proportionnelles, par conséquent $\overrightarrow{d}$ et $\overrightarrow{AB}$ ne sont pas colinéaires et donc $d$ et $(AB)$ ne sont pas parallèles.
\end{enumerate}
\end{exoi}

\pagebreak
\setcounter{exoBac}{0}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune
\textbf{Nom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$ \hfill \textbf{Pr\'enom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$  \hfill Classe :$\dots\dots$\\
\psframebox[linestyle=solid,shadow=true,framearc=0.5,fillcolor=vert!30]{
\begin{minipage}{17cm}
\begin{center}
\vspace{1mm}
\textsc{\textbf{ Interrogation n$^{\circ}4$ }}
\end{center}
\vspace{-3mm}
\end{minipage}
}
\setcounter{section}{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	 Interro
\begin{center}
\textit{\textbf{On prendra soin de coller le sujet sur la copie. La note tiendra compte de la qualité de la rédaction et de l'application.}}
\end{center}


\begin{exoi}\hfill (2 points)\\
\begin{footnotesize}
Dans un repère on considère les points $A(4;0;-7)$ et $B(1;-2;-4)$ et la droite $d$ dont une représentation paramétrique est :
$$\left\{\begin{array}{l c l}
x&=&- 2 - t\\
y&=&- 2t \\
z&=&- 1 - t
\end{array}\right.,\quad t\in\R$$
\end{footnotesize}
 \begin{enumerate}
\item {\footnotesize  Le point $N(-8;12;-7)$ appartient-il à $d$ ? }

$N\in d$ si et seulement si ses coordonnées satisfont la représentation paramétrique de $d$ c'est-à-dire si et seulement s'il existe un réel $t$ tel que :

$$\left\{\begin{array}{l c l}
-8&=&- 2 - t\Longrightarrow t=6\\
12&=&- 2t \Longrightarrow t=-6\\
-7&=&- 1 - t
\end{array}\right. $$

Il n'existe aucun réel $t$ permettant d'obtenir les coordonnées de $N$ à partir de la représentation paramétrique de $d$, par conséquent :
$$ N\notin d$$
\item {\footnotesize $d$ et $(AB)$ sont-elles parallèles ?}

A partir de la représentation paramétrique de $d$ nous connaissant un vecteur directeur, nommons le $\vec{d}(-1;-2;-1)$.

De plus $(AB)$ est dirigée par le vecteur $\overrightarrow{AB}$ dont les coordonnées sont $\overrightarrow{AB}(-3;-2;3)$.

Les coordonnées des vecteurs $\vec{d}$ et $\overrightarrow{AB}$ ne sont pas proportionnelles, par conséquent $\overrightarrow{d}$ et $\overrightarrow{AB}$ ne sont pas colinéaires et donc $d$ et $(AB)$ ne sont pas parallèles.
\end{enumerate}
\end{exoi}


\begin{exoi}\hfill (8 points)\\
{\footnotesize Soit $(O;\vec{i},\vec{j},\vec{k})$ un repère orthonormal. On considère les points $A(-2;0;-3)$, $B(6;1;-3)$, $C(-2;4;-1)$.}
\begin{enumerate}
\item {\footnotesize Soit $\mathscr S$ la sphère de diamètre $[AC]$.}
\begin{enumerate}
\item {\footnotesize Déterminer les coordonnées du centre $\varOmega$ de la sphère $\mathscr S$ puis son rayon $r$.}

Puisque $\varOmega$ est le centre de $\mathscr S$ alors $\varOmega$ est le milieu de $[AC]$ ce pourquoi :
$$ \varOmega \left(\dfrac{-2+(-2)}{2};\dfrac{0+4}{2};\dfrac{-3+(-1)}{2}\right)\Longleftrightarrow \varOmega (-2;2;-2)$$

De plus, comme le repère est orthonormal :

$$ r=\varOmega A=\sqrt{(-2+2)^2+(0-2)^2+(-3+2)^2}=\sqrt{0+4+1}=\sqrt{5}$$

\item {\footnotesize En déduire l'équation de la sphère $\mathscr S$.}

$M(x;y;z)\in \mathscr S \Longleftrightarrow \varOmega M=r$

Or, $\varOmega M=\sqrt{(x+2)^2+(y-2)^2+(z+2)^2}$, par conséquent une équation de la sphère est :
$$\sqrt{(x+2)^2+(y-2)^2+(z+2)^2}=\sqrt{5}\Longleftrightarrow (x+2)^2+(y-2)^2+(z+2)^2=5 $$
\end{enumerate}
\item {\footnotesize Déterminer une représentation paramétrique de la droite $(AB)$.}

$M(x;y;z)\in (AB)\Longleftrightarrow \exists t\in \R$, $\overrightarrow{AM}=t\overrightarrow{AB}$.

Or, $\overrightarrow{AB}(8;1;0)$ donc $t\overrightarrow{AB}(8t;t;0)$ et $\overrightarrow{AM}(x+2;y;z+3)$.
Et puisque $\overrightarrow{AM}=t\overrightarrow{AC}$, une représentation paramétrique de $(AB)$ est :
$$\left\{\begin{array}{l c l}
x+2&=&8t\\
y&=&t \\
z+3&=&0
\end{array}\right.,\quad t\in\R \Longleftrightarrow \left\{\begin{array}{l c l}
x&=&8t-2\\
y&=&t \\
z&=&-3
\end{array}\right.,\quad t\in\R$$

\item {\footnotesize Déterminer les coordonnées des points d'intersection entre $\mathscr S$ et $(AB)$.}

$M(x;y;z)\in \mathscr S \cap (AB)$ si et seulement si ses coordonnées satisfont la représentation paramétrique de $(AB)$ et l'équation de $\mathscr S$, nous sommes donc conduit à chercher les solutions du système suivant :

$$\left\{\begin{array}{l c l}
x&=&8t-2\\
y&=&t \\
z&=&-3\\
 (x+2)^2+(y-2)^2+(z+2)^2&=&5
\end{array}\right.$$

Par conséquent on cherche $t$ tel que $(8t)^2+(t-2)^2+(-1)^2=5 \Longleftrightarrow 64t^2+t^2-4t+4+1=5$

et donc :
$$ 65t^2-4t=0 \Longleftrightarrow t(65t-4)=0\Longleftrightarrow t=0\qquad \text{ou}\qquad t=\dfrac{4}{65}$$

Pour $t=0$ nous obtenons $x=-2$, $y=0$ et $z=-3$.

Pour $t=\dfrac{4}{65}$ nous obtenons $x=\dfrac{32}{65}-2=\dfrac{32-130}{65}=-\dfrac{98}{65}$, $y=\dfrac{4}{65}$ $z=-3$.

Ainsi $\mathscr S$ et $(AB)$ ont deux points d'intersection : $A(-2;0;3)$ et $K\left(\dfrac{-98}{65};\dfrac{4}{65};-3\right)$.

\end{enumerate}
\end{exoi}





\end{document}
