\documentclass[a4paper,10pt,french]{article}


\input macrodwicky.tex
\geometry{verbose,letterpaper,tmargin=1cm,bmargin=1cm,lmargin=2cm,rmargin=2cm}

\begin{document}
\pagestyle{empty}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune
\textbf{Nom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$ \hfill \textbf{Pr\'enom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$  \hfill Classe :$\dots\dots$\\
\psframebox[linestyle=solid,shadow=true,framearc=0.5,fillcolor=vert!30]{
\begin{minipage}{17cm}
\begin{center}
\vspace{1mm}
\textsc{\textbf{ Correction de l'interrogation n$^{\circ}3$ }}
\end{center}
\vspace{-3mm}
\end{minipage}
}
\setcounter{section}{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	 Interro
\begin{center}
\textit{\textbf{On prendra soin de coller le sujet sur la copie. La note tiendra compte de la qualité de la rédaction et de l'application.}}
\end{center}

\begin{exoi}\hfill (3 points)

\begin{footnotesize}
On considère la suite $(u_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par :
$$ u_n=\dfrac{(-1)^n+1}{n}$$
Déterminer $\lim\limits_{n\to +\infty} u_n$. \textit{On commencera par encadrer $u_n$ par deux suites dont on connaît la limite.}
\end{footnotesize}

Pour tout entier naturel $n$ non nul on a :
$$ -1\leq (-1)^n\leq 1 \Longleftrightarrow -1+1\leq (-1)^n+1\leq 1+1 \Longleftrightarrow 0\leq (-1)^n+1\leq 2 \Longleftrightarrow \dfrac{0}{n}\leq \dfrac{(-1)^n+1}{n}\leq \dfrac{2}{n}$$

Au final on a $0\leq u_n\leq \dfrac{2}{n}$.

De plus nous savons que $\lim\limits_{n\to +\infty} \dfrac{2}{n}=0$, autrement dit la suite $(u_n)$ est encadrée par deux suites qui convergent vers $0$, d'après le théorème des gendarmes on déduit que :
$$ \lim\limits_{n\to+\infty} u_n=0$$

\end{exoi}

\begin{exoi}\hfill (3 points)

\begin{footnotesize}
On considère la suite $(v_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par :
$$ v_n=\dfrac{5n-6}{12n^2-7n+1}$$
Déterminer $\lim\limits_{n\to +\infty} v_n$.
\end{footnotesize}

Il s'agit d'une forme indéterminée du type $\dfrac{\infty}{\infty}$, pour conclure il faut modifier l'expression de $v_n$.

$$ v_n=\dfrac{n\left(5-\frac{6}{n}\right)}{n^2\left(12-\frac{7}{n}+\dfrac{1}{n^2}\right)}=\dfrac{5-\frac{6}{n}}{n\left(12-\frac{7}{n}+\dfrac{1}{n^2}\right)}=\dfrac{1}{n}\times \dfrac{5-\frac{6}{n}}{12-\frac{7}{n}+\frac{1}{n^2}}$$

Enfin puisque $\lim\limits_{n\to+\infty} 5-\frac{6}{n}=5$ et $\lim\limits_{n\to+\infty} 12-\frac{7}{n}+\frac{1}{n^2}=12$ on en déduit par quotient que :

$\lim\limits_{n\to+\infty}  \dfrac{5-\frac{6}{n}}{12-\frac{7}{n}+\frac{1}{n^2}}=\dfrac{5}{12}$

De plus $\lim\limits_{n\to+\infty} \dfrac{1}{n}=0$ donc par produit :
$$ \lim\limits_{n\to+\infty} v_n=0$$
\end{exoi}


\begin{exoi}\hfill (4 points)

{\footnotesize On considère la suite $(w_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $w_{n+1}=w_n+n+1$ et $w_0=10$}

\begin{enumerate}
\item {\footnotesize Démontrer par récurrence que $w_n\geq n$.}

Notons $\mathscr P(n) : w_n\geq n$

\begin{itemize}
\item \textbf{\textit{Initialisation}} : pour $n=0$, $w_0=10\geq 0$ donc la propriété $\mathscr P$ est vraie pour $n=0$.
\item \textbf{\textit{Hérédité}} : Montrons que si $w_n\geq n$ alors $w_{n+1}\geq n+1$

Si $w_n\geq n$ alors $w_n+n\geq 2n$ et donc $w_n+n+1\geq 2n+1$

De plus $2n+1\geq n+1$ puisque $n\in \N$ donc $w_{n+1}\geq n+1$.

$\mathscr P$ est héréditaire.
\item \textbf{\textit{Conclusion}} : Puisque $\mathscr P$ est initialisée à partir de $n=0$ et héréditaire il suit que $w_n\geq n$ pour tout entier naturel $n$.
\end{itemize}
\item {\footnotesize En déduire $\lim\limits_{n\to +\infty} w_n$.}

Nous savons que $w_n\geq n$ pour tout entier naturel $n$. Or $\lim\limits_{n\to+\infty} n=+\infty$ donc par comparaison :
$$ \lim\limits_{n\to+\infty} w_n=+\infty$$
\end{enumerate}
\end{exoi}

\vfill
\setcounter{exoBac}{0}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune
\textbf{Nom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$ \hfill \textbf{Pr\'enom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$  \hfill Classe :$\dots\dots$\\
\psframebox[linestyle=solid,shadow=true,framearc=0.5,fillcolor=vert!30]{
\begin{minipage}{17cm}
\begin{center}
\vspace{1mm}
\textsc{\textbf{ Correction de l'interrogation n$^{\circ}3$ }}
\end{center}
\vspace{-3mm}
\end{minipage}
}
\setcounter{section}{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	 Interro
\begin{center}
\textit{\textbf{On prendra soin de coller le sujet sur la copie. La note tiendra compte de la qualité de la rédaction et de l'application.}}
\end{center}

\begin{exoi}\hfill (3 points)

\begin{footnotesize}
On considère la suite $(u_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par :
$$ u_n=\dfrac{n+(-1)^n}{n}$$
Déterminer $\lim\limits_{n\to +\infty} u_n$. \textit{On commencera par encadrer $u_n$ par deux suites dont on connaît la limite.}
\end{footnotesize}

Pour tout entier naturel $n$ non nul on a :
$$ -1\leq (-1)^n\leq 1 \Longleftrightarrow -1+n\leq (-1)^n+1\leq 1+n \Longleftrightarrow \dfrac{n-1}{n}\leq (-1)^n+1\leq \dfrac{n+1}{n} \Longleftrightarrow 1-\dfrac{1}{n}\leq \dfrac{(-1)^n+1}{n}\leq 1+\dfrac{1}{n}$$

Au final on a $1-\dfrac{1}{n}\leq \dfrac{(-1)^n+1}{n}\leq 1+\dfrac{1}{n}$.

De plus nous savons que $\lim\limits_{n\to +\infty} 1-\dfrac{1}{n}=\lim\limits_{n\to +\infty} 1-\dfrac{1}{n}=1$, autrement dit la suite $(u_n)$ est encadrée par deux suites qui convergent vers $1$, d'après le théorème des gendarmes on déduit que :
$$ \lim\limits_{n\to+\infty} u_n=1$$
\end{exoi}

\begin{exoi}\hfill (3 points)

\begin{footnotesize}
On considère la suite $(v_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par :
$$ v_n=\dfrac{5n^2-6}{12n^2-7n+1}$$
Déterminer $\lim\limits_{n\to +\infty} v_n$.
\end{footnotesize}

Il s'agit d'une forme indéterminée du type $\dfrac{\infty}{\infty}$, pour conclure il faut modifier l'expression de $v_n$.

$$ v_n=\dfrac{n^2\left(5-\frac{6}{n^2}\right)}{n^2\left(12-\frac{7}{n}+\dfrac{1}{n^2}\right)}=\dfrac{5-\frac{6}{n^2}}{12-\frac{7}{n}+\dfrac{1}{n^2}}$$

Enfin puisque $\lim\limits_{n\to+\infty} 5-\frac{6}{n^2}=5$ et $\lim\limits_{n\to+\infty} 12-\frac{7}{n}+\frac{1}{n^2}=12$ on en déduit par quotient que :

$$\lim\limits_{n\to+\infty}  v_n=\dfrac{5}{12}$$

\end{exoi}


\begin{exoi}\hfill (4 points)

{\footnotesize On considère la suite $(w_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $w_{n+1}=w_n-n-1$ et $w_0=-10$}

\begin{enumerate}
\item {\footnotesize Démontrer par récurrence que $w_n\leq -n$.}

Notons $\mathscr P(n) : w_n\leq -n$


\begin{itemize}
\item \textbf{\textit{Initialisation}} : pour $n=0$, $w_0=-10\leq -0=0$ donc la propriété $\mathscr P$ est vraie pour $n=0$.
\item \textbf{\textit{Hérédité}} : Montrons que si $w_n\leq -n$ alors $w_{n+1}\leq -(n+1)=-n-1$

Si $w_n\leq -n$ alors $w_n-n\leq -2n$ et donc $w_n-n-1\leq -2n-1$

De plus $-2n-1\leq -n-1$ puisque $n\in \N$ donc $w_{n+1}\leq -n-1$.

$\mathscr P$ est héréditaire.
\item \textbf{\textit{Conclusion}} : Puisque $\mathscr P$ est initialisée à partir de $n=0$ et héréditaire il suit que $w_n\leq -n$ pour tout entier naturel $n$.
\end{itemize}

\item {\footnotesize En déduire $\lim\limits_{n\to +\infty} w_n$.}

Nous savons que $w_n\leq -n$ pour tout entier naturel $n$. Or $\lim\limits_{n\to+\infty} -n=-\infty$ donc par comparaison :
$$ \lim\limits_{n\to+\infty} w_n=-\infty$$

\end{enumerate}
\end{exoi}




\end{document}