\documentclass[a4paper,10pt,french]{article}


\input macrodwicky.tex

\geometry{verbose,letterpaper,tmargin=1cm,bmargin=1cm,lmargin=2cm,rmargin=2cm}

\begin{document}
\pagestyle{empty}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\psframebox[linestyle=solid,shadow=true,framearc=0.5,fillcolor=vert!30]{
\begin{minipage}{17cm}
\begin{center}
\vspace{1mm}
\textsc{\textbf{Correction de l'interrogation n$^{\circ}3$ \hfill Sujet A}}

\end{center}
\vspace{-3mm}
\end{minipage}
}

\setcounter{section}{1}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{center}
\textit{\textbf{On prendra soin de coller le sujet sur la copie. La note tiendra compte de la qualité de la rédaction et de l'application. Une réponse même incomplète sera prise en compte dans l'évaluation.}}
\end{center}


\begin{exoi}\hfill (6 points)

\begin{footnotesize}
On considère une suite arithmétique de raison $7$ et de premier terme $u_0=0$

\end{footnotesize}
\begin{enumerate}
\item {\footnotesize Exprimer $u_{n+1}$ en fonction de $u_n$.}

La suite $u$ est arithmétique de raison $7$, par conséquent $u_{n+1}=u_n+7$.
\item{\footnotesize  Calculer $u_1$ ; $u_2$ et $u_3$.}

$u_1=u_0+7=7$, $u_2=u_1+7=7+7=14$ et $u_3=14+7=21$.
\item {\footnotesize Exprimer $u_n$ en fonction de $n$.}

Puisque la suite $u$ est arithmétique, on a :
$$u_n=u_0+nr \Longleftrightarrow u_n=0+7n=7n $$
\item {\footnotesize En déduire $u_{100}$.}

$$ u_{100}=7\times 100=700$$
\item \begin{footnotesize}
Calculer la somme suivante :
$$ S=u_0+u_1+u_2+\dots +u_{100}$$
\end{footnotesize}

Puisque la suite est arithmétique on a :
$$ S=\dfrac{101(u_0+u_{100})}{2}=\dfrac{101\times 700}{2}=101\times 350=35000+350=35350$$
\item {\footnotesize Déterminer la plus petite valeur de l'entier naturel $n$ tel que $u_n>10 000$}

On cherche le plus petit entier naturel $n$ tel que $u_n>10000$ c'est-à-dire tel que $7n>10000\Longleftrightarrow n>\dfrac{10000}{7}$

Ainsi le plus petit entier naturel solution est $n=1429$.
\end{enumerate}

\end{exoi}


\begin{exoi}\hfill (2 points)
\begin{footnotesize}

Calculer la somme suivante :

$$ S=6+12+\dots+2010+2016$$
\end{footnotesize}


Soit $u$ la suite arithmétique de premier terme $u_0=6$ et de raison $6$, alors $u_n=6+6n$.

De plus on a $u_n=2016 \Longleftrightarrow 6+6n=2016\Longleftrightarrow 6n=2010 \Longleftrightarrow n=\dfrac{2010}{6}=335$


Par conséquent on cherche à calculer les $336$ premiers terme d'une suite arithmétique de premier terme $6$ et de dernier terme $2016$, d'où : 

$$ S=\dfrac{336\times (6+2016)}{2}=336\times 1011=336000+11\times 336=336000+3360+336=36696$$
\end{exoi}

\begin{exoi}\hfill (2 points)

\begin{footnotesize}
On considère une suite arithmétique et on connait $u_{100}=50$ puis $u_{150}=25$

\end{footnotesize}
\begin{enumerate}
\item {\footnotesize Déterminer la raison de la suite $u$.}

On sait que $u_n=u_p+(n-p)r$, par conséquent $u_{150}=u_{100}+50r \Longleftrightarrow 25 = 50+50r\Longleftrightarrow -25 =50r \Longleftrightarrow r=-0.5$
\item {\footnotesize Déterminer le terme de rang $0$ (c'est-à-dire $u_0$) de la suite $u$.}

Nous savons que $u_n=u_0+nr$, par conséquent $u_{100}=u_0-0.5\times 100\Longleftrightarrow 50=u_0-50 \Longleftrightarrow 100=u_0$
\end{enumerate}
\end{exoi}


\pagebreak
\setcounter{exoBac}{0}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\psframebox[linestyle=solid,shadow=true,framearc=0.5,fillcolor=vert!30]{
\begin{minipage}{17cm}
\begin{center}
\vspace{1mm}
\textsc{\textbf{Correction de l'interrogation n$^{\circ}3$ \hfill Sujet B}}

\end{center}
\vspace{-3mm}
\end{minipage}
}

\setcounter{section}{1}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{center}
\textit{\textbf{On prendra soin de coller le sujet sur la copie. La note tiendra compte de la qualité de la rédaction et de l'application. Une réponse même incomplète sera prise en compte dans l'évaluation.}}
\end{center}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{exoi}\hfill (6 points)

\begin{footnotesize}
On considère une suite arithmétique de raison $-7$ et de premier terme $u_0=0$

\end{footnotesize}
\begin{enumerate}
\item {\footnotesize Exprimer $u_{n+1}$ en fonction de $u_n$.}

$$u_{n+1}u_n-7 $$
\item{\footnotesize  Calculer $u_1$ ; $u_2$ et $u_3$.}

$u_1=u_0-7=-7$ puis $u_2=-7-7=-14$ et enfin $u_3=-14-7=-21$.
\item{\footnotesize  Exprimer $u_n$ en fonction de $n$.}

$$ u_n=u_0+nr \Longleftrightarrow u_n=-7n$$
\item {\footnotesize En déduire $u_{100}$}.

$$u_{100}=-7\times 100=-700 $$
\item \begin{footnotesize}
Calculer la somme suivante :
$$ S=u_0+u_1+u_2+\dots +u_{100}$$
\end{footnotesize}

$$ S=\dfrac{101\times (0-700)}{2}=-35350$$
\item{\footnotesize  Déterminer la plus petite valeur de l'entier naturel $n$ tel que $u_n<-10 000$}

$$ u_n<-10000 \Longleftrightarrow -7n<-10000\Longleftrightarrow 7n>10000\Longleftrightarrow n >\dfrac{10000}{7}\simeq 1428,..$$

Ainsi le plus petit entier $n$ qui convient est $1429$.
\end{enumerate}

\end{exoi}

\begin{exoi}\hfill (2 points)

\begin{footnotesize}
Calculer la somme suivante :

$$ S=8+13+18+\dots+1998+2003$$
\end{footnotesize}


On introduit la suite arithmétique $v$ de premier terme $v_0=8$, de dernier terme $2003$ et de raison $5$.

On a dans ce cas, $u_n=8+5n$ et donc $u_n=2003 \Longleftrightarrow 8+5n=2003 \Longleftrightarrow 5n=1995 \Longleftrightarrow n=499$

Ainsi la somme $S$ comporte $500$ termes, nous obtenons alors :
$$ S=\dfrac{500(8+2003)}{2}$$
\end{exoi}

\begin{exoi}\hfill (2 points)

{\footnotesize On considère une suite arithmétique et on connait $u_3=10$ puis $u_9=19$}

\begin{enumerate}
\item{\footnotesize  Déterminer la raison de la suite $u$.}

On sait que $u_n=u_p+(n-p)r \Longrightarrow u_9=u_3+6r \Longrightarrow 19-10=6r\Longrightarrow 9=6r \Longrightarrow r=1,5$
\item{\footnotesize  Déterminer le terme de rang $0$ (c'est-à-dire $u_0$) de la suite $u$.}

$$u_3=u_0+3r \Longrightarrow 10=u_0+3\times 1,5 \Longrightarrow u_0=10-4.5=5,5$$
\end{enumerate}
\end{exoi}
\end{document}