\documentclass[a4paper,10pt,french]{article}


\input macrodwicky.tex
\geometry{verbose,letterpaper,tmargin=1cm,bmargin=1cm,lmargin=2cm,rmargin=2cm}

\begin{document}
\pagestyle{empty}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune
\textbf{Nom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$ \hfill \textbf{Pr\'enom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$  \hfill Classe :$\dots\dots$\\
\psframebox[linestyle=solid,shadow=true,framearc=0.5,fillcolor=vert!30]{
\begin{minipage}{17cm}
\begin{center}
\vspace{1mm}
\textsc{\textbf{ Correction de l'nterrogation n$^{\circ}2$ }}
\end{center}
\vspace{-3mm}
\end{minipage}
}
\setcounter{section}{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	 Interro
\begin{center}
\textit{\textbf{On prendra soin de coller le sujet sur la copie. La note tiendra compte de la qualité de la rédaction et de l'application.}}
\end{center}

\begin{exoi}\hfill (6 points)

\begin{enumerate}
\item \begin{footnotesize}
On considère la suite $(u_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par :
$$ u_n=-6n^4-5n^2+n+1$$
Déterminer $\lim\limits_{n\to +\infty} u_n$.
\end{footnotesize}

Pour tout entier naturel on a :
$$ u_n=n^4\left(\dfrac{-6n^4}{n^4}-\dfrac{5n^2}{n^4}+\dfrac{n}{n^4}+\dfrac{1}{n^4}\right)=n^4\left(-6-\dfrac{5}{n^2}+\dfrac{1}{n^3}+\dfrac{1}{n^4}\right)$$

Puisque $\lim\limits_{n\to+\infty} \dfrac{5}{n^2}=\lim\limits_{n\to+\infty} \dfrac{1}{n^3}=\lim\limits_{n\to+\infty} \\dfrac{1}{n^4}=0$, par conséquent :
$$\lim\limits_{n\to+\infty} -6-\dfrac{5}{n^2}+\dfrac{1}{n^3}+\dfrac{1}{n^4}=-6$$
De plus $$\lim\limits_{n\to+\infty} n^4=+\infty $$
Ainsi par produit on obtient :
$$ \lim\limits_{n\to+\infty} u_n=-6$$
\item \begin{footnotesize}
On considère la suite $(v_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par :
$$ v_n=\dfrac{n-1}{n^2+1}$$
Déterminer $\lim\limits_{n\to +\infty} v_n$.
\end{footnotesize}
Lorsque $n$ tend vers $+\infty$ on a une forme indéterminée du type \og $\dfrac{+\infty}{+\infty}$ \fg{} ...

Or :
$$ v_n=\dfrac{n\left(1-\dfrac{1}{n}\right)}{n^2\left(1+\dfrac{1}{n^2}\right)}=\dfrac{1}{n}\times \dfrac{1-\dfrac{1}{n}}{1+\dfrac{1}{n^2}}$$

D'une part $ \lim\limits_{n\to+\infty}1-\dfrac{1}{n}=\lim\limits_{n\to+\infty}1+\dfrac{1}{n^2}=1$ et donc $$\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{1-\dfrac{1}{n}}{1+\dfrac{1}{n^2}} =1$$

D'autre part $\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{1}{n}=0$,

Au final par produit on obtient :
$$ \lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{1}{n}\times \dfrac{1-\dfrac{1}{n}}{1+\dfrac{1}{n^2}}=0\times 1=0$$

La suite $(v_n)$ converge donc vers $0$.
\end{enumerate}
\end{exoi}

\begin{exoi}\hfill (4 points)\\
{\footnotesize Soit $(w_n)$ une suite définie par $w_0=1$ et $w_{n+1}=\sqrt{2w_n+2}$ pour tout entier naturel $n$.}

\begin{enumerate}
\item {\footnotesize Démontrer par récurrence la propriété $\mathscr P(n)$ : $0<w_n<w_{n+1}<3$}

\textbf{Initialisation} : pour $n=0$ on a :

$w_0=1$ et $w_1=\sqrt{2\times 1+2}=2$ et donc on a bien $0<1<2<3$.

$\mathscr P$ est donc vraie pour $n=0$.

\textbf{Hérédité} : Montrons que si $0<w_n<w_{n+1}<3$ alors $0<w_{n+1}<w_{n+2}<3$.

Puisque $0<w_n<w_{n+1}<3$, en multipliant par $2$ on obtient :
$$ 0<2w_n<2<w_{n+1}<6$$
puis en additionnant $2$ on obtient :
$$ 2<2w_n+2<2w_{n+1}+2<8$$, puis comme la fonction racine carrée est strictement croissante sur $[2;8]$ on a :
$$ \sqrt{2}<\sqrt{2w_{n+1}+2}<\sqrt{2w_{n+1}+2}<\sqrt{8}$$
C'est-à-dire :
$$ 0<\sqrt{2}<w_{n+1}<w_{n+2}<\sqrt{8}<3$$
$\mathscr P$ est donc héréditaire.

\textbf{Conclusion} : $\mathscr P$ étant héréditaire et initialisée à partir de $n=0$, elle est toujours vraie.
\item {\footnotesize En déduire que la suite $(w_n)$ converge. \textit{On ne demande pas de déterminer sa limite !!}}

On vient de démontrer que $w_{n}<w_{n+1}$ pour tout entier naturel $n$, donc $(w_n)$ est strictement croissante

et on vient de démontrer que $w_n<3$ pour tout entier naturel $n$.

Par conséquent $(w_n)$ est une suite croissante et majorée par $3$, donc elle converge vers un réel $\ell\leq 3$.
\end{enumerate}
\end{exoi}

\pagebreak
\setcounter{exoBac}{0}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune
\textbf{Nom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$ \hfill \textbf{Pr\'enom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$  \hfill Classe :$\dots\dots$\\
\psframebox[linestyle=solid,shadow=true,framearc=0.5,fillcolor=vert!30]{
\begin{minipage}{17cm}
\begin{center}
\vspace{1mm}
\textsc{\textbf{ Correction de l'interrogation n$^{\circ}2$ }}
\end{center}
\vspace{-3mm}
\end{minipage}
}
\setcounter{section}{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	 Interro
\begin{center}
\textit{\textbf{On prendra soin de coller le sujet sur la copie. La note tiendra compte de la qualité de la rédaction et de l'application.}}
\end{center}

\begin{exoi}\hfill (4 points)\\
\begin{footnotesize}
Soit $(w_n)$ une suite définie par $w_0=7$ et $w_{n+1}=\sqrt{2+w_n}$ pour tout entier naturel $n$.

\end{footnotesize}
\begin{enumerate}
\item {\footnotesize Démontrer par récurrence la propriété $\mathscr P(n)$ : $0<w_{n+1}<w_{n}\leq 7$}

\textbf{Initialisation} : pour $n=0$ nous devons vérifier que $0<w_1<w_0\leq 7$.

$w_0=7$ et donc $w_1=\sqrt{2+w_0}=\sqrt{2+7}=\sqrt{9}=3$.

On constate bien que $0<3<7\leq 7$, par conséquent $\mathscr P$ est vraie pour $n=0$.

\textbf{Hérédité} : Montrons que si $0<w_{n+1}<w_{n}\leq 7$ alors $0<w_{n+2}<w_{n+1}\leq 7$

\begin{eqnarray*}
& 0<w_{n+1}<w_{n}\leq 7 \\
\Longleftrightarrow & 2<2+w_{n+1}<2+w_n\leq 9\\
\Longleftrightarrow & \sqrt{2}<\sqrt{2+w_{n+1}}<\sqrt{2+w_n}\leq \sqrt{9}\\
\Longleftrightarrow & 0<\sqrt{2}<w_{n+2}<w_{n+1}\leq 3\leq 7\\
\end{eqnarray*}
$\mathscr P$ est donc héréditaire (ce qui signifie que si elle est vraie au rang $n$ alors elle est vraie au rang $n+1$).

\textbf{Conclusion} : Nous avons démontré par récurrence que :
$$ \forall n\in \N, \quad 0<w_{n+1}<w_{n}\leq 7$$
\item {\footnotesize En déduire que la suite $(w_n)$ converge. \textit{On ne demande pas de déterminer sa limite !!}}

D'après la question précédente, pour tout entier naturel $n$ $w_{n+1}<w_n$ ce qui prouve que $(w_n)$ est strictement décroissante.

De plus, toujours d'après la question précédente $0<w_n$ pour tout entier naturel $n$ autrement dit $(w_n)$ est minorée par $0$.

Comme toute suite décroissante et minorée la suite $(w_n)$ converge vers un réel $\ell$ qui a la particularité d'être supérieur ou égal à $0$.
\end{enumerate}
\end{exoi}

\begin{exoi}\hfill (6 points)

\begin{enumerate}
\item \begin{footnotesize}
On considère la suite $(u_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par :
$$ u_n=6n^3-5n^2+n+1$$
Déterminer $\lim\limits_{n\to +\infty} u_n$.
\end{footnotesize}

En l'état actuel il s'agit d'une forme indéterminée du type \og $\infty-\infty$ \fg{}, modifions donc l'expression de $u_n$ pour lever l'indétermination :
$$u_n=n^3\left(\dfrac{6n^3}{n^3}-\dfrac{5n^2}{n^3}+\dfrac{n}{n^3}+\dfrac{1}{n^3}\right)=n^3\left( 6-\dfrac{5}{n}+\dfrac{1}{n^2}+\dfrac{1}{n^3}\right)$$

Du fait que $\lim\limits_{n\to+\infty} \dfrac{1}{n^3}=\lim\limits_{n\to+\infty} \dfrac{1}{n^2}=\lim\limits_{n\to+\infty} \dfrac{5}{n}=0$ il suit que :
$$ \lim\limits_{n\to+\infty} 6-\dfrac{5}{n}+\dfrac{1}{n^2}+\dfrac{1}{n^3}=6$$
De plus $$ \lim\limits_{n\to+\infty} n^3=+\infty$$
puis par multiplication on en déduit que :
$$ \lim\limits_{n\to+\infty} n^3\left( 6-\dfrac{5}{n}+\dfrac{1}{n^2}+\dfrac{1}{n^3}\right)=+\infty \Longleftrightarrow \lim\limits_{n\to +\infty} u_n=+\infty$$
\item \begin{footnotesize}
On considère la suite $(v_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par :
$$ v_n=\dfrac{3n^2-5}{2n^2+7}$$
Déterminer $\lim\limits_{n\to +\infty} v_n$.
\end{footnotesize}

En l'état actuel il s'agit d'une forme indéterminée du type \og $\dfrac{\infty}{\infty}$ \fg{} , modifions donc l'expression de $v_n$ pour lever l'indétermination :
$$ v_n=\dfrac{n^2\left(\frac{3n^2}{n^2}-\frac{5}{n^2}\right)}{n^2\left(\frac{2n^2}{n^2}+\frac{7}{n^2}\right)}=\dfrac{3-\frac{5}{n^2}}{2+\frac{7}{n^2}}$$

Enfin comme $\lim\limits_{n\to+\infty} 3-\frac{5}{n^2}=3$ et $\lim\limits_{n\to+\infty} 2+\frac{7}{n^2}=2$, on a par quotient :
$$ \lim\limits_{n\to+\infty} \dfrac{3-\frac{5}{n^2}}{2+\frac{7}{n^2}}=\dfrac{3}{2}\Longleftrightarrow  \lim\limits_{n\to+\infty} v_n=\dfrac{3}{2}$$
\end{enumerate}



\end{exoi}




\end{document}
