\documentclass[a4paper,10pt,french]{article}


\input macrodwicky.tex

\geometry{verbose,letterpaper,tmargin=1cm,bmargin=1cm,lmargin=2cm,rmargin=2cm}

\begin{document}
\pagestyle{empty}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\psframebox[linestyle=solid,shadow=true,framearc=0.5,fillcolor=vert!30]{
\begin{minipage}{17cm}
\begin{center}
\vspace{1mm}
\textsc{\textbf{Correction de l'interrogation n$^{\circ}2$ \hfill Sujet A}}

\end{center}
\vspace{-3mm}
\end{minipage}
}

\setcounter{section}{1}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{center}
\textit{\textbf{On prendra soin de coller le sujet sur la copie. La note tiendra compte de la qualité de la rédaction et de l'application. Une réponse même incomplète sera prise en compte dans l'évaluation.}}
\end{center}


\begin{exoi}\hfill (6 points)
\begin{footnotesize}

On considère l'équation $(E)$ suivante :
$$ x^3+1=0$$
\end{footnotesize}
\begin{enumerate}
\item {\footnotesize Vérifier que $-1$ est solution de $(E)$.}

Si $x=-1$ on a $(-1)^3+1=-1+1=0$ donc $-1$ est bien solution de l'équation $(E)$.
\item \begin{footnotesize}
Démontrer que pour tout réel $x$ on a :
$$ x^3+1=(x+1)(x^2-x+1)$$
\end{footnotesize}

Pour tout réel $x$ on a $$(x+1)(x^2-x+1)=x^3-x^2+x+x^2-x+1=x^3+1$$
\item {\footnotesize Déterminer les racines de $x^2-x+1$.}

$\Delta=b^2-4ac=(-1)^2-4\times 1\times 1=1-4=-3<0$, par conséquent le trinome $x^2-x+1$ n'admet pas de racine.
\item {\footnotesize Résoudre l'équation $(E)$ dans $\R$.}

$$ x^3+1=0\Longleftrightarrow (x+1)(x^2-x+1)=0$$
ce qui équivaut à (produit nul) :
$$ x+1=0\quad\text{ou}\quad x^2-x+1=0$$
ce qui équivaut à :
$$ x=-1$$
puisque l'équation $x^2-x+1=0$ n'admet pas de solution.

Ainsi l'ensemble des solutions de l'équation $(E)$ est :
$$ \mathscr S=\{-1\}$$
\end{enumerate}
\end{exoi}


\begin{exoi}\hfill (4 points)

\begin{footnotesize}
On considère l'équation $(E)$ : $$ 7x^2+2x+1=bx$$
où $b$ est un nombre réel.
\end{footnotesize}
\begin{enumerate}
\item {\footnotesize Dresser le tableau de signe de l'expression $b^2-4b-24$ en fonction des valeurs de $b$.}

On calcule le discriminant :
$$ \Delta=(-4)^2-4\times 1\times(-24)=16+96=112$$

Ainsi le trinome admet deux racines que voici :
$$x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{4-\sqrt{112}}{2}=2-\sqrt{28}=2-2\sqrt{7}\qquad \text{ou}\qquad x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{4+\sqrt{112}}{2}=2+2\sqrt{7}$$
d'où :
%\usepackage{fp}
%\usepackage[pdftex]{pict2e}
%\usepackage{picture}
%\usepackage{color}
\input tabvar.tex
\[\tabvar{%
\tx{b}&\tx{-\infty}&&\tx{2-2\sqrt{7}}&&\tx{2+2\sqrt{7}}&&\tx{+\infty}\cr
\tx{b^2-4b-24}&&\tx{+}&\tx{0}&\tx{-}&\tx{0}&\tx{+}&\cr
}
\]

\item {\footnotesize Déterminer les valeurs de $b$ pour lesquelles l'équation $(E)$ admet des solutions.}

On cherche à savoir si l'équation $ 7x^2+2x+1=bx$ admet des solutions ce qui revient à résoudre :
$$ 7x^2+2x+1-bx=0\Longleftrightarrow 7x^2+(2-b)x+1=0$$
Cette admet des solutions si et seulement si son discriminant est positif ou nul, discriminant qui vaut :
$$ \Delta=(2-b)^2-4\times 7=4-4b+b^2-28=b^2-4b-24$$
D'après la question $1)$ il se trouve que $b^2-4b-24\geq 0$ si et seulement si $b\in ]-\infty;2-2\sqrt{7}]\cup [2+2\sqrt{7};+\infty[$
\end{enumerate}
\end{exoi}


\vfill
\setcounter{exoBac}{0}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\psframebox[linestyle=solid,shadow=true,framearc=0.5,fillcolor=vert!30]{
\begin{minipage}{17cm}
\begin{center}
\vspace{1mm}
\textsc{\textbf{Correction de l'interrogation n$^{\circ}2$ \hfill Sujet B}}

\end{center}
\vspace{-3mm}
\end{minipage}
}

\setcounter{section}{1}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{center}
\textit{\textbf{On prendra soin de coller le sujet sur la copie. La note tiendra compte de la qualité de la rédaction et de l'application. Une réponse même incomplète sera prise en compte dans l'évaluation.}}
\end{center}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{exoi}\hfill (6 points)

\begin{footnotesize}
On considère l'équation $(E)$ suivante :
$$ x^3+2x-3=0$$
\end{footnotesize}
\begin{enumerate}
\item {\footnotesize Vérifier que $1$ est solution de $(E)$.}

Si $x=1$ on a $1^3+2\times 1-3=1+2-3=0$ donc $1$ est bien solution de l'équation $(E)$.
\item \begin{footnotesize}
Démontrer que pour tout réel $x$ on a :
$$x^3+2x-3=(x-1)(x^2+x+3)$$
\end{footnotesize}

Pour tout réel $x$ on a $$(x-1)(x^2+x+3)=x^3+x^2+3x-x^2-x-3=x^3+2x-3$$

\item {\footnotesize Déterminer les racines de $x^2+x+3$.}

$\Delta=b^2-4ac=1^2-4\times 1\times 3=1-12=-11<0$, par conséquent le trinome $x^2+x+3$ n'admet pas de racine.

\item {\footnotesize Résoudre l'équation $(E)$ dans $\R$.}

$$ x^3+2x-3=0\Longleftrightarrow (x-1)(x^2+x+3)=0$$
ce qui équivaut à (produit nul) :
$$ x-1=0\quad\text{ou}\quad x^2+x+3=0$$
ce qui équivaut à :
$$ x=1$$
puisque l'équation $x^2+x+3=0$ n'admet pas de solution.

Ainsi l'ensemble des solutions de l'équation $(E)$ est :
$$ \mathscr S=\{1\}$$
\end{enumerate}
\end{exoi}


\begin{exoi}\hfill (4 points)

\begin{footnotesize}
On considère l'équation $(E)$ : $$ -5x^2+2x+1=bx$$
où $b$ est un nombre réel.
\end{footnotesize}
\begin{enumerate}
\item {\footnotesize Dresser le tableau de signe de l'expression $b^2-4b+24$ en fonction des valeurs de $b$.}

On calcule le discriminant :
$$ \Delta=(-4)^2-4\times 1\times  24=16-96=-80<0$$

Par conséquent le trinome $b^2-4b+24$ est de signe constant (signe de $a$) i.e $b^2-4b+24>0$ ou (ce qui revient au meme :


Ainsi le trinome admet deux racines que voici :
$$x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{4-\sqrt{112}}{2}=2-\sqrt{28}=2-2\sqrt{7}\qquad \text{ou}\qquad x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{4+\sqrt{112}}{2}=2+2\sqrt{7}$$
d'où :
%\usepackage{fp}
%\usepackage[pdftex]{pict2e}
%\usepackage{picture}
%\usepackage{color}
\input tabvar.tex
\[\tabvar{%
\tx{b}&\tx{-\infty}&&&&&&\tx{+\infty}\cr
\tx{b^2-4b+24}&&&&\tx{+}&&&\cr
}
\]

\item {\footnotesize Déterminer les valeurs de $b$ pour lesquelles l'équation $(E)$ admet des solutions.}

On cherche à savoir si l'équation $ -5x^2+2x+1=bx$ admet des solutions ce qui revient à résoudre :
$$-5x^2+2x+1-bx=0\Longleftrightarrow -5x^2+(2-b)x+1=0$$
Cette admet des solutions si et seulement si son discriminant est positif ou nul, discriminant qui vaut :
$$ \Delta=(2-b)^2-4\times (-5)=4-4b+b^2+20=b^2-4b+24$$
D'après la question $1)$ il se trouve que $b^2-4b+24\geq 0$ pour tout réel $b$.
\end{enumerate}
\end{exoi}
\end{document}