\documentclass[a4paper,10pt,french]{article}


\input macrodwicky.tex
\geometry{verbose,letterpaper,tmargin=1cm,bmargin=1cm,lmargin=2cm,rmargin=2cm}

\begin{document}
\pagestyle{empty}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune
\textbf{Nom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$ \hfill \textbf{Pr\'enom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$  \hfill Classe :$\dots\dots$\\
\psframebox[linestyle=solid,shadow=true,framearc=0.5,fillcolor=vert!30]{
\begin{minipage}{17cm}
\begin{center}
\vspace{1mm}
\textsc{\textbf{Correction de l'interrogation n$^{\circ}1$ }}
\end{center}
\vspace{-3mm}
\end{minipage}
}
\setcounter{section}{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	 Interro
\begin{center}
\textit{\textbf{On prendra soin de coller le sujet sur la copie. La note tiendra compte de la qualité de la rédaction et de l'application.}}
\end{center}

\begin{exoi}\hfill (4 points)

\begin{footnotesize}
Soit $(u_n)$ une suite définie par $u_0=3$ et $u_{n+1}=2u_n-1$ pour tout entier naturel $n$.

Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$ on a :
$$ u_n=2^{n+1}+1$$
\end{footnotesize}

Notons $\mathscr P(n)$ la propriété $u_n=2^{n+1}+1$ et démontrons cette propriété par récurrence :

\begin{enumerate}
\item \textbf{\textit{Initialisation}} : pour $n=0$ on sait que $u_0=3$.

De plus $2^{0+1}+1=2+1=3$, ainsi la propriété $\mathscr P$ est vérifiée pour $n=0$.

\item \textbf{\textit{Hérédité}} : Montrons que si $u_n=2^{n+1}+1$ alors $u_{n+1}=2^{n+2}+1$.

On sait que $u_{n+1}=2u_n-1$

Or, d'après l'hypothèse de récurrence on a $u_n=2^{n+1}+1$ donc :

$$ u_{n+1}=2\times \left(2^{n+1}+1\right)-1=2\times 2^{n+1}+2-1=2^{n+2}+1$$

$\mathscr P$ est donc héréditaire.

\item \textbf{\textit{Conclusion}} : On vient de démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$ on a $ u_n=2^{n+1}+1$.
\end{enumerate}
\end{exoi}

\begin{exoi}\hfill (6 points)\\
{\footnotesize Soit $(u_n)$ une suite définie par $u_0=0$ et $u_{n+1}=\dfrac{1+2u_n}{2+u_n}$ pour tout entier naturel $n$.}

\begin{enumerate}
\item {\footnotesize Soit $f(x)=\dfrac{1+2x}{2+x}$. Démontrer que la fonction $f$ est strictement croissante sur $[0;+\infty[$.}

$f$ est de la forme $\dfrac{u}{v}$, ainsi $f'$ est de la forme $\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$, par conséquent pour $x\geq 0$ on a :
$$ f'(x)=\dfrac{2(2+x)-(1+2x)\times 1}{(2+x)^2}=\dfrac{4+2x-1-2x}{(2+x)^2}=\dfrac{3}{(2+x)^2}$$

Comme $(2+x)^2>0$ pour tout réel $x\geq 0$, il suit que $\dfrac{3}{(2+x)^2}>0$ pour tout réel $x\geq 0$.

Comme $f'(x)>0$ sur $[0;+\infty[$, il suit que $f$ est strictement croissante sur $[0;+\infty[$.
\item {\footnotesize Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$ on a $0\leq u_n<1$.}

Notons $\mathscr P(n)$ la propriété $0\leq u_n<1$ et démontrons cette propriété par récurrence :

\begin{enumerate}
\item \textbf{\textit{Initialisation}} : pour $n=0$ on sait que $u_0=0$.

Or, $0\leq 0<1$, ainsi la propriété $\mathscr P$ est vérifiée pour $n=0$.

\item \textbf{\textit{Hérédité}} : Montrons que si $0\leq u_n<1$ alors $0\leq u_{n+1}<1$.

On a $0\leq u_n<1$, puis comme la fonction $f$ est strictement croissante sur $[0;+\infty[$ on obtient :
$$ f(0)\leq f(u_n)<f(1)$$
Or, $f(0)=\dfrac{1}{2}$, $f(u_n)=u_{n+1}$ et $f(1)=\dfrac{3}{3}=1$, par conséquent :
$$ \dfrac{1}{2}\leq u_{n+1}<1 \Longrightarrow 0\leq u_{n+1}<1$$


$\mathscr P$ est donc héréditaire.

\item \textbf{\textit{Conclusion}} : On vient de démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$ on a $0\leq u_n<1$.


\textbf{Autre méthode pour l'hérédité qui n'utilise pas la fonction $f$} :

Montrons que si $0\leq u_n<1$ alors $0\leq u_{n+1}<1$.

D'une part, si $0\leq u_n$ alors $1+2u_n\geq 1(>0)$ et $2+u_n\geq 2 (>0)$, il suit que le quotient $\dfrac{1+2u_n}{2+u_n}>0 \Longleftrightarrow u_{n+1}\geq 0$

Il nous reste à démontrer que si $u_n<1$ alors $u_{n+1}<1$. 

Notre objectif est donc de démontrer que $\dfrac{1+2u_n}{2+u_n}<1\Longleftrightarrow 1+2u_n<2+u_n$ sachant que $u_n<1$

 $$u_n<1  \Longleftrightarrow  2u_n<1+u_n \Longleftrightarrow 1+2u_n<2+u_n \Longleftrightarrow \dfrac{1+2u_n}{2+u_n}<1 \Longleftrightarrow u_{n+1}<1$$ 
\end{enumerate}

\end{enumerate}
\end{exoi}
\pagebreak
\setcounter{exoBac}{0}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune
\textbf{Nom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$ \hfill \textbf{Pr\'enom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$  \hfill Classe :$\dots\dots$\\
\psframebox[linestyle=solid,shadow=true,framearc=0.5,fillcolor=vert!30]{
\begin{minipage}{17cm}
\begin{center}
\vspace{1mm}
\textsc{\textbf{Correction l'interrogation n$^{\circ}1$ }}
\end{center}
\vspace{-3mm}
\end{minipage}
}
\setcounter{section}{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	 Interro
\begin{center}
\textit{\textbf{On prendra soin de coller le sujet sur la copie. La note tiendra compte de la qualité de la rédaction et de l'application.}}
\end{center}

\begin{exoi}\hfill (6 points)

\begin{footnotesize}
Soit $(u_n)$ une suite définie pour tout entier naturel $n$ par $u_0=2$ et $u_{n+1}=\dfrac{u_n}{1+u_n}$

Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$ on a :
$$ u_n=\dfrac{2}{2n+1}$$


\end{footnotesize}
Notons $\mathscr P(n)$ la propriété $u_n=\dfrac{2}{2n+1}$ et démontrons cette propriété par récurrence :

\begin{enumerate}
\item \textbf{\textit{Initialisation}} : pour $n=0$ on sait que $u_0=2$.

Or, $\dfrac{2}{2\times 0+1}=2$, ainsi la propriété $\mathscr P$ est vérifiée pour $n=0$.

\item \textbf{\textit{Hérédité}} : Montrons que si $u_n=\dfrac{2}{2n+1}$ alors $u_{n+1}=\dfrac{2}{2(n+1)+1}=\dfrac{2}{2n+3}$.

Par définition on a $u_{n+1}=\dfrac{u_n}{1+u_n}$.

Or, d'après l'hypothèse de récurrence on a $u_n=\dfrac{2}{2n+1}$

Par conséquent $$u_{n+1}=\dfrac{\frac{2}{2n+1}}{1+\frac{2}{2n+1}}=\dfrac{\frac{2}{2n+1}}{\frac{2n+1+2}{2n+1}}=\dfrac{\frac{2}{2n+1}}{\frac{2n+3}{2n+1}}=\dfrac{2}{2n+3}$$
$\mathscr P$ est donc héréditaire.

\item \textbf{\textit{Conclusion}} : On vient de démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$ on a $u_n=\dfrac{2}{2n+1}$.
\end{enumerate}

\end{exoi}

\begin{exoi}\hfill (4 points)\\
\begin{footnotesize}
Soit $(u_n)$ une suite définie par $u_0=1$ et $u_{n+1}=\sqrt{2+u_n}$ pour tout entier naturel $n$.

Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$ on a :
$$ 0<u_n<2$$
\end{footnotesize}

Notons $\mathscr P(n)$ la propriété $ 0<u_n<2$ et démontrons cette propriété par récurrence :

\begin{enumerate}
\item \textbf{\textit{Initialisation}} : pour $n=0$ on sait que $u_0=1$.

Or, $u_0=1$ et $0<1<2$, ainsi la propriété $\mathscr P$ est vérifiée pour $n=0$.

\item \textbf{\textit{Hérédité}} : Montrons que si $ 0<u_n<2$ alors $ 0<u_{n+1}<2$.

$$0<u_n<2\Longrightarrow 2<2+u_n<4\Longrightarrow (0<)\sqrt{2}<\sqrt{2+u_n}<\sqrt{4} \Longrightarrow 0<u_{n+1}<2$$

La deuxième implication étant du au fait que la fonction racine carrée est strictement croissante sur l'intervalle $[0;+\infty[$.


$\mathscr P$ est donc héréditaire.

\item \textbf{\textit{Conclusion}} : On vient de démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$ on a $0<u_n<2$.
\end{enumerate}

\end{exoi}

\end{document}
