\documentclass[a4paper,10pt,french]{article}


\input macrodwicky.tex
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\begin{document}
\pagestyle{empty}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune

\psframebox[linestyle=solid,shadow=true,framearc=0.5,fillcolor=vert!30]{
\begin{minipage}{17cm}
\begin{center}
\vspace{1mm}
\textsc{\textbf{
Correction de l'interrogation n$^{\circ}1$ }}
\end{center}
\vspace{-3mm}
\end{minipage}
}
\setcounter{section}{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	 Interro


\begin{exoi}
{\footnotesize Résoudre dans $\R$ les équations suivantes :}
%\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $3x^2-5x=0\Longleftrightarrow x(3x-5)=0\Longleftrightarrow x=0\quad \text{ou}\quad 3x-5=0 \Longleftrightarrow x=0\quad \text{ou}\quad x=\dfrac{5}{3}$
$$ \mathscr S=\left\{0;\dfrac{5}{3}\right\}$$
\item $x^2-x-1=0$

On calcule le discriminant : $\Delta=b^2-4ac=(-1)^2-4\times 1\times (-1)=5$, et puisque ce discriminant est positif l'équation à résoudre admet deux solutions, que voici :
$$ x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}\quad \text{et}\quad x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$$
$$ \mathscr S=\left\{\dfrac{1-\sqrt{5}}{2};\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\right\}$$
\item $-4x^2+x-5=0$

On calcule le discriminant : $\Delta=b^2-4ac=1^2-4\times (-4)\times (-5)<0$, par conséquent l'équation à résoudre n'admet pas de solution.
$$ \mathscr S=\emptyset$$
\item $ 4x^2+4x+1=0\Longleftrightarrow (2x+1)^2=0\Longleftrightarrow 2x+1=0\Longleftrightarrow x=-\dfrac{1}{2}$
$$\mathscr S=\left\{-\dfrac{1}{2}\right\}$$
\end{enumerate}
%\end{multicols}
\end{exoi}

\begin{exoi}
{\footnotesize La somme de deux nombres réels vaut $S=63$ et le produit de ces deux mêmes nombres vaut $ 972$. 

On cherche quels sont ces nombres.}
\begin{enumerate}
\item {\footnotesize En notant le plus grand des deux nombres $x$ et le plus petit $y$, démontrer que $x^2-63x+972=0$.}

Nous savons que $x+y=63$ et $xy=972$.

De la première équation on tire $y=63-x$ et de la seconde $x(63-x)=972\Longleftrightarrow 63x-x^2=972\Longleftrightarrow 0=x^2-63x+972$

Effectivement $x$ est solution de l'équation $x^2-63x+972=0$.
\item {\footnotesize Déterminer les racines du trinôme $x^2-63x+972$ puis répondre au problème posé.}

Déterminons le discriminant de ce trinôme :
$$  \Delta=b^2-4ac=(-63)^2-4\times 1\times 972=81$$

Par conséquent cette équation admet deux solutions :
$$ x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{63-\sqrt{81}}{2}=\dfrac{63-9}{2}=27\quad \text{et}\quad x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{63+\sqrt{81}}{2}=36$$

Si $x=27$ alors $y=63-27=36$ ce qui n'est pas possible car on suppose que $x>y$, en revanche si $x=36$ alors $y=63-36=27$ est solution du problème.

Ainsi la solution du problème posé est $x=36$ et $y=27$.
\end{enumerate}
\end{exoi}


\pagebreak
\setcounter{exoBac}{0}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune

\psframebox[linestyle=solid,shadow=true,framearc=0.5,fillcolor=vert!30]{
\begin{minipage}{17cm}
\begin{center}
\vspace{1mm}
\textsc{\textbf{ Correction de l'interrogation n$^{\circ}1$ }}
\end{center}
\vspace{-3mm}
\end{minipage}
}
\setcounter{section}{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	 Interro


\begin{exoi}
{\footnotesize Résoudre dans $\R$ les équations suivantes :}

\begin{enumerate}
\item $3x^2-5=0\Longleftrightarrow x^2=\dfrac{5}{3}\Longleftrightarrow x=\pm \sqrt{\dfrac{5}{3}}=\pm\dfrac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}}=\pm \dfrac{\sqrt{5}\times \sqrt{3}}{\sqrt{3}\times \sqrt{3}}=\pm\dfrac{\sqrt{15}}{3}$

$$ \mathscr S=\left\{-\dfrac{\sqrt{15}}{3};\dfrac{\sqrt{15}}{3}\right\}$$
\item $4x^2+2x-1=0$

On calcule le discriminant : $\Delta=b^2-4ac=(2)^2-4\times 4\times (-1)=20$, et puisque ce discriminant est positif l'équation à résoudre admet deux solutions, que voici :
$$ x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-2-\sqrt{20}}{8}=\dfrac{-1-\sqrt{5}}{4}\quad \text{et}\quad x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-2+\sqrt{20}}{8}=\dfrac{-1+\sqrt{5}}{4}$$
$$ \mathscr S=\left\{\dfrac{-1-\sqrt{5}}{4};\dfrac{-1+\sqrt{5}}{4}\right\}$$
\item $x^2+x+1=0$

On calcule le discriminant : $\Delta=b^2-4ac=1^2-4\times 1\times 1<0$, par conséquent l'équation à résoudre n'admet pas de solution.
$$ \mathscr S=\emptyset$$
\item $ 4x^2-4x+1=0\Longleftrightarrow (2x-1)^2=0\Longleftrightarrow 2x-1=0\Longleftrightarrow x=\dfrac{1}{2}$

$$ \mathscr S=\left\{\dfrac{1}{2}\right\}$$
\end{enumerate}
\end{exoi}

\begin{exoi}
\begin{footnotesize}
La différence entre deux nombres réels vaut $S=9$ et le produit de ces deux mêmes nombres vaut $ 972$. 

On cherche quels sont ces nombres.
\end{footnotesize}
\begin{enumerate}
\item{\footnotesize  En notant le plus grand des deux nombres $x$ et le plus petit $y$, démontrer que $x^2-9x-972=0$.}

Nous savons que $x-y=9$ et $xy=972$.

De la première équation on tire $x=9+y\Longleftrightarrow y=x-9$ et de la seconde $x(x-9)=972\Longleftrightarrow x^2-9x-972=0$

Effectivement $x$ est solution de l'équation $x^2-9x-972=0$.
\item {\footnotesize Déterminer les racines du trinôme $x^2-9x-972$ puis répondre au problème posé.}

Déterminons le discriminant de ce trinôme :
$$  \Delta=b^2-4ac=(-9)^2-4\times 1\times (-972)=3969$$

Par conséquent cette équation admet deux solutions :
$$ x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{9-\sqrt{3969}}{2}=\dfrac{9-63}{2}=-27\quad \text{et}\quad x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{9+\sqrt{3969}}{2}=36$$

Si $x=-27$ alors $y=-27-9=-36$, ce qui est une première solution au problème, et si $x=36$ alors $y=36-9=27$ ce qui est la deuxième solution du problème.

Ainsi  $x=36$ et $y=27$ convient, tout comme $x=-27$ et $y=-36$
\end{enumerate}
\end{exoi}

\end{document}