\documentclass[a4paper,10pt,french]{article}


\input macrodwicky.tex
\geometry{verbose,letterpaper,tmargin=0.5cm,bmargin=0.5cm,lmargin=2cm,rmargin=2cm}

\begin{document}
\pagestyle{empty}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune
\textbf{Nom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$ \hfill \textbf{Pr\'enom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$  \hfill Classe :$\dots\dots$\\
\psframebox[linestyle=solid,shadow=true,framearc=0.5,fillcolor=vert!30]{
\begin{minipage}{17cm}
\begin{center}
\vspace{1mm}
\textsc{\textbf{ Correction de l'interrogation n$^{\circ}16$ }\hfill \textbf{Sujet A}}
\end{center}
\vspace{-3mm}
\end{minipage}
}
\setcounter{section}{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	 Interro
\begin{center}
\textit{\textbf{On prendra soin de coller le sujet sur la copie. La note tiendra compte de la qualité de la rédaction et des justifications.}}
\end{center}



\begin{exoi}\hfill \textbf{4 points}\\
\begin{footnotesize}
On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par :
$$ f(x)=(-3x-1)e^{-3x}$$

\end{footnotesize}\begin{enumerate}
\item {\footnotesize Démontrer que $f'(x)=9xe^{-3x}$.}

$$f'(x)=-3e^{-3x}+(-3x-1)\times (-3)e^{-3x}= -3e^{-3x}+9xe^{-3x}+3e^{-3x}9xe^{-3x}$$
\item {\footnotesize Étudier les variations de la fonction $f$ sur $\R$ (\textit{on ne s’intéressera pas aux limites}).}

Puisque $e^{-3x}>0$ pour tout réel $x$, le signe de $f'$ est le même que celui de $x$, par conséquent sur  $\R^-$ on a $f'(x)\leq 0$ et donc la fonction $f$ est décroissante sur $\R^-$, au contraire sur $\R^+$ on a $f'(x)\geq 0$ et donc $f$ est croissante sur $\R^+$.
\item {\footnotesize Calculer $\int_{0}^1 9xe^{-3x}dx$.}

$$\int_{0}^1 9xe^{-3x}dx=[(-3x-1)e^{-3x}]_0^1=-4e^{-3}+e^0=1-4e^{-3} $$
\end{enumerate}
\end{exoi}


\begin{exoi}\hfill \textbf{6 points}\\
\begin{enumerate}
\item 
\begin{footnotesize}
Calculer les intégrales suivantes sans utiliser la formule de Newton-Leibniz :

\end{footnotesize}\begin{enumerate}
\item $\int_{0}^5 \pi dx$

Il s'agit ici de l'aire d'un rectangle de côté $5$ et $\pi$ qui vaut donc $5\pi$.
\item $\int_{0}^{3} x dx$

Il s'agit ici de l'aire d'un triangle rectangle dont les côtés de l'angle droit mesurent tous deux $3$, donc l'aire vaut $3\times 3/2=4,5$.
\item $\int_{-2}^{2} \sin x dx$

Il s'agit ici de l'intégrale d'une fonction impaire sur un intervalle centré en $0$ (une fonction impaire étant une fonction dont la représentation graphique est symétrique par rapport à l'origine du repère) par conséquent l'intégrale considéré vaut $0$.
\end{enumerate}
\item {\footnotesize En appliquant la formule de Newton Leibniz calculer les intégrales suivantes \textit{justifier qu'il s'agit d'une aire dans chaque cas.}}
\begin{enumerate}
\item $\int_{0.5}^1 \dfrac{1}{x} dx$

Puisque $\dfrac{1}{x}>0$ sur $[0.5;1]$ alors comme précédemment l'intégrale d'une fonction positive représente l'aire entre la représentation graphique de cette fonction, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x=0.5$ et $x=1$ et cette aire vaut en unité d'aire : 

$$\int_{0.5}^1 \dfrac{1}{x} dx=[\ln x]_{0.5}^1=\ln 1-\ln 0.5=\ln 2 $$
\item $\int_{0}^{2} x^3 dx$

Puisque $x^3\geq 0$ sur $[0;2]$ alors comme précédemment l'intégrale d'une fonction positive représente l'aire entre la représentation graphique de cette fonction, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x=0$ et $x=2$ et cette aire vaut en unité d'aire : 

$$ \int_0^2 x^3 dx=[x^4/4]_0^2=4-0=4$$

\item $\int_{-1}^{3} 5e^{x}dx$

Puisque $5e^{x}>0$ sur $[-1;3]$ alors comme précédemment l'intégrale d'une fonction positive représente l'aire entre la représentation graphique de cette fonction, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x=-1$ et $x=3$ et cette aire vaut en unité d'aire :

$$\int_{-1}^{3} 5e^{x}dx=[5e^{x}]_{-1}^3=5e^{3}-5e^{-1}$$
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{exoi}


\vfill
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune
\textbf{Nom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$ \hfill \textbf{Pr\'enom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$  \hfill Classe :$\dots\dots$\\
\psframebox[linestyle=solid,shadow=true,framearc=0.5,fillcolor=vert!30]{
\begin{minipage}{17cm}
\begin{center}
\vspace{1mm}
\textsc{\textbf{ Correction de l'interrogation n$^{\circ}16$ }\hfill \textbf{Sujet B}}
\end{center}
\vspace{-3mm}
\end{minipage}
}
\setcounter{exer}{0}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	 Interro
\begin{center}
\textit{\textbf{On prendra soin de coller le sujet sur la copie. La note tiendra compte de la qualité de la rédaction et des justifications.}}
\end{center}

\setcounter{exoBac}{0}




\begin{exoi}\hfill \textbf{4 points}\\
\begin{footnotesize}
On considère la fonction $f$ définie sur $]0;+\infty[$ par :
$$ f(x)=x^2\ln(x)$$
\end{footnotesize}
\begin{enumerate}
\item {\footnotesize Démontrer que $f'(x)=x(2\ln x+1)$.}

On a pour $x>0$, $f'(x)=2x\ln x+x^2\times \dfrac{1}{x}=2x\ln x+x=x(2\ln x+1)$.
\item {\footnotesize Étudier les variations de la fonction $f$ sur $]0;+\infty[$ (\textit{on ne s’intéressera pas aux limites}).}

Il s'agit de déterminer le signe de la dérivée sur $]0;+\infty[$.

En particulier $2\ln x+1=0\Longleftrightarrow \ln x=-\dfrac{1}{2}\Longleftrightarrow x=e^{-0,5}$ d'où :

%\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}
\input tabvar
$$\tabvar{%
\tx{x}&\tx{0}&&&\tx{e^{-0.5}}&&&\tx{+\infty}\cr
\tx{x}&\tx{0}&&&\tx{+}&&&\cr
\tx{2\ln x+1}&\doubletraitmilieu&\tx{-}&&\tx{0}&&\tx{+}&\cr
\tx{f'(x)}&\doubletraitmilieu&\tx{-}&&\tx{0}&&\tx{+}&\cr
\tx{f(x)}&\doubletraitmilieu&&\fd&&\fm&&\cr
}$$



\item {\footnotesize Calculer $\int_1^2 2x\ln x+xdx$.}

$$ \int_1^2 2x\ln x+xdx=[x^2\ln x]_1^2=4\ln 2-\ln 1=4\ln 2$$
\end{enumerate}
\end{exoi}


\begin{exoi}\hfill \textbf{6 points}\\
\begin{enumerate}
\item \begin{footnotesize}
Calculer les intégrales suivantes sans utiliser la formule de Newton-Leibniz :
\end{footnotesize}
\begin{enumerate}
\item $\int_{0}^5 2.5dx$

Il s'agit de l'aire d'un rectangle de côté $5$ et $2,5$ d'où :
$$ \int_{0}^5 2.5dx=5\times 2,5=12,5$$
\item $\int_{0}^{3} 2x dx$

Il s'agit de l'aire d'un triangle rectangle dont une hauteur vaut $3$ relative à côté qui mesure $6$ d'où :

$$ \int_{0}^{3} 2x dx=\dfrac{3\times 6}{2}=9$$
\item {\footnotesize $\int_{-2}^{2} x dx$}

L'intégrale d'une fonction impaire entre $-2$ et $2$ (i.e une fonction dont la représentation graphique est symétrique par rapport à l'origine du repère) est nécessairement nulle :

$$ \int_{-2}^{2} x dx=0$$
\end{enumerate}
\item {\footnotesize En appliquant la formule de Newton Leibniz calculer les intégrales suivantes \textit{préciser s'il s'agit d'une aire.}}
\begin{enumerate}
\item $\int_{0}^1 \dfrac{1}{x+1} dx$

Sur l'intervalle $[0;1]$ il se trouve que $\dfrac{1}{x+1}>0$, par conséquent $\int_{0}^1 \dfrac{1}{x+1} dx$ est l'aire situé entre la représentation graphique de la fonction $x\mapsto \dfrac{1}{x+1}$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x=0$ et $x=1$ et vaut :
$$\int_{0}^1 \dfrac{1}{x+1} dx=[\ln(x+1)]_0^1=\ln 2-\ln 1=\ln 2 $$
\item {\footnotesize $\int_{0}^{2} x^2+2x+1 dx$}

$x^2+2x+1=(x+1)^2>0$ sur $[0;2]$ donc comme précédemment l'intégrale d'une fonction positive représente l'aire entre la représentation graphique de cette fonction, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x=0$ et $x=2$ et cette aire vaut en unité d'aire :
$$ \int_{0}^{2} x^2+2x+1 dx=[x^3/3+x^2+x]_0^2=8/3+4+2-0-0-0=6+\dfrac{8}{3}$$
\item $\int_{-1}^{3} e^{-x}dx$

Puisque $e^{-x}>0$ sur $[-1;3]$ alors comme précédemment l'intégrale d'une fonction positive représente l'aire entre la représentation graphique de cette fonction, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x=-1$ et $x=3$ et cette aire vaut en unité d'aire :

$$\int_{-1}^{3} e^{-x}dx=[-e^{-x}]_{-1}^3=-e^{-3}+e^{1}$$
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{exoi}

\end{document}
