\documentclass[a4paper,10pt,french]{article}


\input macrodwicky.tex
\geometry{verbose,letterpaper,tmargin=0.5cm,bmargin=0.5cm,lmargin=2cm,rmargin=2cm}

\begin{document}
\pagestyle{empty}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune
\textbf{Nom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$ \hfill \textbf{Pr\'enom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$  \hfill Classe :$\dots\dots$\\
\psframebox[linestyle=solid,shadow=true,framearc=0.5,fillcolor=vert!30]{
\begin{minipage}{17cm}
\begin{center}
\vspace{1mm}
\textsc{\textbf{ Correction de l'interrogation n$^{\circ}14$ }\hfill \textbf{Sujet A}}
\end{center}
\vspace{-3mm}
\end{minipage}
}
\setcounter{section}{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	 Interro
\begin{center}
\textit{\textbf{On prendra soin de coller le sujet sur la copie. La note tiendra compte de la qualité de la rédaction et des justifications.}}
\end{center}

\begin{exoi}
Soit $z=-e^{i\frac{\pi}{4}}$
\begin{enumerate}
\item {\footnotesize Déterminer la forme exponentielle de $z$, préciser son module et son argument.}

$$z=-e^{i\frac{\pi}{4}}=e^{i\pi}\times e^{i\frac{\pi}{4}}=e^{i\frac{5\pi}{4}} $$

Le module de $z$ vaut donc $1$ et un argument de $z$ vaut $\dfrac{5\pi}{4}$.
\item {\footnotesize Déterminer la forme algébrique de $z$.}

La forme algébrique de $z$ vaut donc :

$$ z=e^{i\frac{5\pi}{4}}=\cos \dfrac{5\pi}{4}+i\sin\dfrac{5\pi}{4}=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}-i\dfrac{\sqrt{2}}{2}$$
\item  {\footnotesize Enfin déterminer la forme exponentielle et la forme algébrique de $z^{2016}$.}

La forme exponentielle de $z^{2016}$ vaut :
$$ \left(-e^{i\frac{\pi}{4}}\right)^{2016}=(-1)^{2016}\times e^{i\frac{2016\pi}{4}}=1e^{i0}=1$$
\end{enumerate}\end{exoi}

\begin{exoi}
\begin{enumerate}
\item {\footnotesize Exprimer $\ln 500$ en fonction de $\ln 2$ et de $\ln 5$.}

$$ \ln 500=\ln (10\times 10\times 5)=\ln(5^3\times 2^2)=3\ln 5+2\ln 2$$
\item {\footnotesize Résoudre dans $\R$ l'équation $\ln(3-x)=2\ln x$. (Rechercher le domaine de validité de l'équation en premier lieu.)}

$x$ peut etre solution de l'équation proposée si et seulement si $3-x>0\Longleftrightarrow x<3$ et $x>0$ donc si et seulement si $x\in ]0;3[$.

De plus $\ln(3-x)=2\ln x\Longleftrightarrow \ln(3-x)=\ln(x^2)\Longleftrightarrow 3-x=x^2\Longleftrightarrow x^2+x-3=0$

$\Delta=13$ et donc $x=\dfrac{-1\pm \sqrt{13}}{2}$ (et puisque $x\in]0;3[$ l'équation n'a qu'une solution qui est $\dfrac{-1+\sqrt{13}}{2}$
\item {\footnotesize $f(x)=\dfrac{\ln x}{x}$. Calculer $f'(x)$ puis dresser le tableau de variation de $f$ sur $]0;+\infty[$.}

$$ f'(x)=\dfrac{(\ln x)'x-\ln x(x')}{x^2}=\dfrac{\frac{1}{x}\times x-\ln x}{x^2}=\dfrac{1-\ln x}{x^2}$$

Or, $1-\ln x>0\Longleftrightarrow 1>\ln x\Longleftrightarrow e>x$ d'où :

%\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}
\input tabvar
$$\tabvar{%
\tx{x}&\tx{0}&&\tx{e}&&\tx{+\infty}\cr
\tx{f'(x)}&\doubletraitmilieu&\tx{+}&\tx{0}&\tx{-}&\cr
\tx{f(x)}&\doubletraitmilieu&\fm&\txh{1/e}&\fd&\cr
}$$


\end{enumerate}
\end{exoi}



\pagebreak
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune
\textbf{Nom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$ \hfill \textbf{Pr\'enom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$  \hfill Classe :$\dots\dots$\\
\psframebox[linestyle=solid,shadow=true,framearc=0.5,fillcolor=vert!30]{
\begin{minipage}{17cm}
\begin{center}
\vspace{1mm}
\textsc{\textbf{ Interrogation n$^{\circ}14$ }\hfill \textbf{Sujet B}}
\end{center}
\vspace{-3mm}
\end{minipage}
}
\setcounter{exer}{0}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	 Interro
\begin{center}
\textit{\textbf{On prendra soin de coller le sujet sur la copie. La note tiendra compte de la qualité de la rédaction et des justifications.}}
\end{center}

\setcounter{exoBac}{0}







\begin{exoi}
Soit $z=ie^{i\frac{\pi}{3}}$
\begin{enumerate}
\item {\footnotesize Déterminer la forme exponentielle de $z$, préciser son module et son argument.}

$$z=ie^{i\frac{\pi}{3}}=e^{i\frac{\pi}{2}}\times e^{i\frac{\pi}{4}}=e^{i\frac{3\pi}{4}} $$

Le module de $z$ vaut $1$ et un argument de $z$ vaut $\dfrac{3\pi}{4}$.

\item {\footnotesize Déterminer la forme algébrique de $z$.}

On a :
$$ z=e^{i\frac{3\pi}{4}} =\cos \frac{3\pi}{4}+i\sin\frac{3\pi}{4}=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}+i\dfrac{\sqrt{2}}{2}$$
\item {\footnotesize Enfin déterminer la forme exponentielle et la forme algébrique de $z^{2016}$.}

$$ z^{2016}=\left(e^{i\frac{3\pi}{4}}\right)^{2016}=e^{i\frac{3\times 2016\pi}{4}}=e^{i0}=1$$

"La" forme exponentielle de $z^{2016}$ est donc $e^{i0}$ et sa forme algébrique est $1$.
\end{enumerate}\end{exoi}

\begin{exoi}
\begin{enumerate}
\item {\footnotesize Exprimer $\ln 320$ en fonction de $\ln 2$ et de $\ln 5$.}

$$ \ln 320=\ln(10\times 32)=\ln (5\times 2^6)=6\ln 2+\ln 5$$
\item {\footnotesize Résoudre dans $\R$ l'équation $\ln(3+x)=2\ln x$. (Rechercher le domaine de validité de l'équation en premier lieu.)}

$x$ peut être solution de cette équation si et seulement si $3+x>0\Longleftrightarrow x>-3$ et $x>0$, autrement dit si et seulement si $x>0$.

De plus $\ln(3+x)=2\ln x\Longleftrightarrow \ln(3+x)=\ln(x^2)\Longleftrightarrow 3+x=x^2\Longleftrightarrow x^2-x-3=0$

$\Delta=13$ donc $x=\dfrac{1\pm \sqrt{13}}{2}$ et puisque $x>0$ l'unique solution de cette équation vaut $x=\dfrac{1+\sqrt{13}}{2}$.
 \item {\footnotesize $f(x)=x\ln x$. Calculer $f'(x)$ puis dresser le tableau de variation de $f$ sur $]0;+\infty[$.}
 
 $$ f'(x)=(x)'\ln x+x(\ln x)'=\ln x+x\times \dfrac{1}{x}=\ln x+1$$
 
 Or, $\ln x+1>0\Longleftrightarrow \ln x>-1\Longleftrightarrow x>e^{-1}$
 %\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}
  d'où :


\input tabvar
$$\tabvar{%
\tx{x}&\tx{0}&&\tx{e^{-1}}&&\tx{+\infty}\cr
\tx{f'(x)}&\doubletraitmilieu&\tx{-}&\tx{0}&\tx{+}&\cr
\tx{f(x)}&\doubletraitmilieu&\fd&\txb{-e^{-1}}&\fm&\cr
}$$


 
 
\end{enumerate}
\end{exoi}
\end{document}
