\documentclass[a4paper,10pt,french]{article}


\input macrodwicky.tex
\geometry{verbose,letterpaper,tmargin=0.5cm,bmargin=0.5cm,lmargin=2cm,rmargin=2cm}

\begin{document}
\pagestyle{empty}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune
\textbf{Nom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$ \hfill \textbf{Pr\'enom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$  \hfill Classe :$\dots\dots$\\
\psframebox[linestyle=solid,shadow=true,framearc=0.5,fillcolor=vert!30]{
\begin{minipage}{17cm}
\begin{center}
\vspace{1mm}
\textsc{\textbf{ Correction de l'interrogation n$^{\circ}13$ }\hfill \textbf{Sujet A}}
\end{center}
\vspace{-3mm}
\end{minipage}
}
\setcounter{section}{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	 Interro
\begin{center}
\textit{\textbf{On prendra soin de coller le sujet sur la copie. La note tiendra compte de la qualité de la rédaction et des justifications.}}
\end{center}

\begin{exoi}
\begin{footnotesize}
On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par :
$$f(x)=x^2e^{-x}-1 $$
\end{footnotesize}
\begin{enumerate}
\item {\footnotesize Déterminer les limites de $f$ en $\pm \infty$.}

On a $\lim\limits_{x\to-\infty} e^{-x}=+\infty$ et $\lim\limits_{x\to-\infty} x^2=+\infty$ donc : 
$$ \lim\limits_{x\to-\infty} f(x)=+\infty$$

En $+\infty$ on est en présence d'une forme indéterminée, mais on sait d'après le cours que $$\lim\limits_{x\to+\infty} \dfrac{e^x}{x^2}=+\infty \Longleftrightarrow \lim\limits_{x\to+\infty} \dfrac{x^2}{e^x}=0\Longleftrightarrow \lim\limits_{x\to+\infty} x^2e^{-x}=0$$
et par conséquent :
$$ \lim\limits_{x\to+\infty} f(x)=-1$$

\item {\footnotesize Calculer $f'(x)$ puis étudier les variations de $f$.}

$f$ est dérivable sur $\R$ et pour $x\in \R$ on a :
$$ f'(x)=(x^2)'e^{-x}+x^2(e^{-x})'=2xe^{-x}+x^2(-e^{-x})'=2xe^{-x}-x^2e^{-x}=e^{-x}(2x-x^2)$$

Puisque $e^{-x}>0$ pour tout réel $x$, $f'(x)$ a le même signe que le trinôme $2x-x^2$.

Or, $2x-x^2=0\Longleftrightarrow x(2-x)=0\Longleftrightarrow x=0\qquad \text{ou}\qquad 2-x=0\Longleftrightarrow x=0\qquad \text{ou}\qquad 2=x$

%\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}
\input tabvar
$$\tabvar{%
\tx{x}&\tx{-\infty}&&\tx{0}&&\tx{2}&&\tx{+\infty}\cr
\tx{f'(x)}&&\tx{-}&\tx{0}&\tx{+}&\tx{0}&\tx{-}&\cr
\tx{f(x)}&\txh{+\infty}&\fd&\txb{-1}&\fm&\txh{f(2)<0}&\fd&\txb{-1}\cr
}$$


\item {\footnotesize Déterminer le nombre de solutions de l'équation $f(x)=0$ en justifiant soigneusement.}

La fonction $f$ est continue sur $\R$ et est strictement décroissante sur $]-\infty;0]$ par conséquent puisque $0\in [-1;+\infty[$ l'équation $f(x)=0$ admet une solution sur l'intervalle $]-\infty;0]$.  (on applique donc le corollaire du TVI)

En revanche sur $[0;+\infty[$, on a $f(x)\leq f(2)<0$, donc l'équation $f(x)=0$ n'admet pas de solution sur $[0;+\infty[$.

Au final $f(x)=0$ est une équation qui admet une unique solution.
\end{enumerate}
\end{exoi}



\begin{exoi}
\begin{footnotesize}
On considère l'équation $(E)$ :
$$ (E) : z^3+64=0$$
\end{footnotesize}
\begin{enumerate}
\item \begin{footnotesize}
Déterminer les réels $a$ et $b$ tels que :
$$ z^3+64=(z+4)(z^2+az+b)$$
\end{footnotesize}

Pour tout $z\in \C$ on a :
$$ (z+4)(z^2+az+b)=z^3+z^2(a+4)+z(4a+b)+4b$$
On a $z^3+z^2(a+4)+z(4a+b)+4b=z^3+64$ si et seulement si $4b=64\Longleftrightarrow b=16$, $4a+b=0\Longleftrightarrow a=-4$ et $a+4=0\Longleftrightarrow a=-4$.

Conclusion $a=-4$ et $b=16$.
\item {\footnotesize Déterminer les solutions de l'équation $(E)$.}

$$ z^3+64=0  \Longleftrightarrow (z+4)(z^2+az+b) =0 \Longleftrightarrow z+4=0\qquad \text{et}\qquad z^2-4z+16=0 $$

Ainsi $z=-4$ ou $z$ est solution de $z^2-4z+16=0$

$\Delta=(-4)^2-4\times 1\times 16=16-64=-48<0$ donc le trinôme admet deux racines complexes conjugués qui sont :
$$ z=\dfrac{4+i\sqrt{48}}{2}=2+2i\sqrt{3}\qquad \text{ou} z=2-2i\sqrt{3}$$

L'équation $(E)$ admet trois solutions qui sont $z=-4$, $z=2+2i\sqrt{3}$ et $z=2-2i\sqrt{3}$
\item {\footnotesize Dans le plan complexe, on considère les points $A$, $B$ et $C$ d'affixes respectives $z_A=-4$, $z_B=2+2i\sqrt{3}$ et $z_C=\overline{z_B}$.}
\begin{enumerate}
\item {\footnotesize Déterminer le module et un argument de chacun des trois nombres complexes.}

$|z_A|=4$ et $arg(z_A)=\pi+2k\pi$ où $k\in \Z$.

$|z_B|=\sqrt{2^2+(2\sqrt{3})^2}=4$ et un argument de $z_B$ disons $\theta $ doit vérifier :
$$ \cos \theta= \dfrac{2}{4}=\dfrac{1}{2}\qquad \text{et}\qquad \sin\theta=\dfrac{2\sqrt{3}}{4}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$$

$\theta=\dfrac{\pi}{3}+2k\pi$ où $k\in \Z$.

Et enfin vu que $z_C=\overline{z_B}$ on a $|z_C|=|z_B|=4$ et $arg(z_C)-arg(z_B)=-\dfrac{\pi}{3}+2k\pi$
\item {\footnotesize Déterminer la forme exponentielle de chacun des trois nombres complexes.}

$$ z_A=4e^{i\pi}$$

$$ z_B=4e^{i\dfrac{\pi}{3}}$$

$$ z_C=4e^{-i\dfrac{\pi}{3}}$$
\item {\footnotesize Déterminer la forme exponentielle du produit $z_A\times z_B\times z_C$ }

$$ z_A\times z_B\times z_C=4e^{i\pi} \times 4e^{i\dfrac{\pi}{3}}\times 4e^{-i\dfrac{\pi}{3}}=64e^{i\left(\pi+\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{3}\right)}=64e^{i\pi}$$
\item {\footnotesize En déduire la forme algébrique du produit.}

$$ 64e^{i\pi}=64\left(\cos \pi+i\sin\pi\right)=-64$$
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exoi}




\pagebreak%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune
\textbf{Nom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$ \hfill \textbf{Pr\'enom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$  \hfill Classe :$\dots\dots$\\
\psframebox[linestyle=solid,shadow=true,framearc=0.5,fillcolor=vert!30]{
\begin{minipage}{17cm}
\begin{center}
\vspace{1mm}
\textsc{\textbf{ Correction de l'interrogation n$^{\circ}13$ }\hfill \textbf{Sujet B}}
\end{center}
\vspace{-3mm}
\end{minipage}
}
\setcounter{exer}{0}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	 Interro
\begin{center}
\textit{\textbf{On prendra soin de coller le sujet sur la copie. La note tiendra compte de la qualité de la rédaction et des justifications.}}
\end{center}

\setcounter{exoBac}{0}







\begin{exoi}
\begin{footnotesize}
On considère l'équation $(E)$ :
$$ (E) : z^3+27=0$$
\end{footnotesize}
\begin{enumerate}
\item \begin{footnotesize}
Déterminer les réels $a$ et $b$ tels que :
$$ z^3+27=(z+3)(z^2+az+b)$$
\end{footnotesize}

Pour tout $z\in \C$ on a :
$$ (z+3)(z^2+az+b)=z^3+z^2(a+3)+z(3a+b)+3b$$
On a $z^3+z^2(a+3)+z(3a+b)+3b=z^3+27$ si et seulement si $3b=27\Longleftrightarrow b=9$, $3a+b=0\Longleftrightarrow a=-3$ et $a+3=0\Longleftrightarrow a=-3$.

Conclusion $a=-3$ et $b=9$.
\item {\footnotesize Déterminer les solutions de l'équation $(E)$.}

$$ z^3+27=0  \Longleftrightarrow (z+3)(z^2-3z+9) =0 \Longleftrightarrow z+3=0\qquad \text{et}\qquad z^2-3z+9=0 $$

Ainsi $z=-3$ ou $z$ est solution de $z^2-3z+9=0$

$\Delta=(-3)^2-4\times 1\times 9=9-36=-27<0$ donc le trinôme admet deux racines complexes conjugués qui sont :
$$ z=\dfrac{3+i\sqrt{27}}{2}=3/2+3i\sqrt{3}/2\qquad \text{ou} z=3/2-3i\sqrt{3}/2$$

L'équation $(E)$ admet trois solutions qui sont $z=-4$, $z=3/2+3i\sqrt{3}/2$ et $z=3/2-3i\sqrt{3}/2$
\item {\footnotesize Dans le plan complexe, on considère les points $A$, $B$ et $C$ d'affixes respectives $z_A=-3$, $z_B=\dfrac{3}{2}+\dfrac{3\sqrt{3}}{2}i$ et $z_C=\overline{z_B}$.}

\begin{enumerate}
\item {\footnotesize Déterminer le module et un argument de chacun des trois nombres complexes.}

$|z_A|=3$ et $arg(z_A)=\pi+2k\pi$ où $k\in \Z$.

$|z_B|=\sqrt{(3/2)^2+(3\sqrt{3}/2)^2}=3$ et un argument de $z_B$ disons $\theta $ doit vérifier :
$$ \cos \theta= \dfrac{3/2}{3}=\dfrac{1}{2}\qquad \text{et}\qquad \sin\theta=\dfrac{3/2\sqrt{3}}{4}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$$

$\theta=\dfrac{\pi}{3}+2k\pi$ où $k\in \Z$.

Et enfin vu que $z_C=\overline{z_B}$ on a $|z_C|=|z_B|=3$ et $arg(z_C)-arg(z_B)=-\dfrac{\pi}{3}+2k\pi$
\item {\footnotesize Déterminer la forme exponentielle de chacun des trois nombres complexes.}

$$ z_A=3e^{i\pi}$$

$$ z_B=3e^{i\dfrac{\pi}{3}}$$

$$ z_C=3e^{-i\dfrac{\pi}{3}}$$
\item {\footnotesize Déterminer la forme exponentielle du produit $z_A\times z_B\times z_C$ }

$$ z_A\times z_B\times z_C=3e^{i\pi} \times 3e^{i\dfrac{\pi}{3}}\times 3e^{-i\dfrac{\pi}{3}}=27e^{i\left(\pi+\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{3}\right)}=27e^{i\pi}$$
\item {\footnotesize En déduire la forme algébrique du produit.}

$$ 27e^{i\pi}=27\left(\cos \pi+i\sin\pi\right)=-27$$
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exoi}


\begin{exoi}
On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par :
$$f(x)=xe^{-x}-1 $$
\begin{enumerate}
\item {\footnotesize Déterminer les limites de $f$ en $\pm \infty$.}

On a $\lim\limits_{x\to-\infty} e^{-x}=+\infty$ et $\lim\limits_{x\to-\infty} x=-\infty$ donc : 
$$ \lim\limits_{x\to-\infty} f(x)=-\infty$$

En $+\infty$ on est en présence d'une forme indéterminée, mais on sait d'après le cours que $$\lim\limits_{x\to+\infty} \dfrac{e^x}{x}=+\infty \Longleftrightarrow \lim\limits_{x\to+\infty} \dfrac{x}{e^x}=0\Longleftrightarrow \lim\limits_{x\to+\infty} xe^{-x}=0$$
et par conséquent :
$$ \lim\limits_{x\to+\infty} f(x)=-1$$

\item {\footnotesize Calculer $f'(x)$ puis étudier les variations de $f$.}

$f$ est dérivable sur $\R$ et pour $x\in \R$ on a :
$$ f'(x)=(x)'e^{-x}+x(e^{-x})'=e^{-x}+x(-e^{-x})'=e^{-x}-xe^{-x}=e^{-x}(1-x)$$

Puisque $e^{-x}>0$ pour tout réel $x$, $f'(x)$ a le même signe $1-x$ qui s'annule pour $x=1$.

%\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}
\input tabvar
$$\tabvar{%
\tx{x}&\tx{-\infty}&&\tx{1}&&\tx{+\infty}\cr
\tx{f'(x)}&&\tx{+}&\tx{0}&\tx{-}&\cr
\tx{f(x)}&\txb{-\infty}&\fm&\txh{f(1)<0}&\fd&\txb{-1}\cr
}$$



\item {\footnotesize Déterminer le nombre de solutions de l'équation $f(x)=0$ en justifiant soigneusement.}

 On a $f(x)\leq f(1)<0$, donc l'équation $f(x)=0$ n'admet pas de solution sur $\R$.
\end{enumerate}
\end{exoi}





\end{document}
