\documentclass[a4paper,10pt,french]{article}


\input macrodwicky.tex
\geometry{verbose,letterpaper,tmargin=0.5cm,bmargin=0.5cm,lmargin=2cm,rmargin=2cm}

\begin{document}
\pagestyle{empty}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune
\textbf{Nom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$ \hfill \textbf{Pr\'enom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$  \hfill Classe :$\dots\dots$\\
\psframebox[linestyle=solid,shadow=true,framearc=0.5,fillcolor=vert!30]{
\begin{minipage}{17cm}
\begin{center}
\vspace{1mm}
\textsc{\textbf{ Correction de l'interrogation n$^{\circ}12$ }\hfill \textbf{Sujet A}}
\end{center}
\vspace{-3mm}
\end{minipage}
}
\setcounter{section}{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	 Interro
\begin{center}
\textit{\textbf{On prendra soin de coller le sujet sur la copie. La note tiendra compte de la qualité de la rédaction et des justifications.}}
\end{center}




\begin{exoi}
\begin{footnotesize}
On considère la fonction $f$ définie par : $ f(x)=(x+1)e^{-x}$
On note $\mathscr C_f$ sa représentation graphique dans un repère orthonomé $(O;\vec i, \vec j)$.
\end{footnotesize}
\begin{enumerate}
%\item Déterminer son ensemble de définition.
\item {\footnotesize Déterminer la limite de $f$ en $-\infty$. Que peut-on en déduire pour sa représentation graphique $\mathscr C_f$.}

Comme $\lim\limits_{x\to-\infty} e^{-x}=+\infty$ et $\lim\limits_{x\to-\infty}x+1=-\infty$ on a par produit :
$$ \lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=-\infty$$
Il n'existe donc pas d'asymptote horizontale à $\mathscr C_f$ en $-\infty$.
\item {\footnotesize Etudier et déterminer la limite de $f$ en $+\infty$. Interpréter graphiquement. }

On a $f(x)=xe^{-x}+e^{-x}=\dfrac{x}{e^x}+e^{-x}$. Or, $\lim\limits_{x\to+\infty} e^{-x}=0$ et $\lim\limits_{x\to+\infty} \dfrac{e^x}{x}=+\infty\Longrightarrow \lim\limits_{x\to+\infty} \dfrac{x}{e^x}=0$ donc au final :
$$\lim\limits_{x\to+\infty} f(x)=0 $$
$\mathscr C_f$ admet une asymptote horizontale en $+\infty$ d'équation $y=0$
\item {\footnotesize Déterminer $f'(x)$, puis étudier son signe. En déduire l'existence et la valeur du maximum de la fonction $f$.}

$f$ est composé de fonction dérivable sur $\mathbb{R}$, par conséquent elle est dérivable sur $\mathbb{R}$ et pour tout réel $x$ on a :
$$ f'(x)=(x)'e^{-x}+x(e^{-x})'=e^{-x}+x((-x)'e^{-x})=e^{-x}-xe^{-x}=e^{-x}(1-x)$$
%\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}
\input tabvar
%\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}
%\input tabvar
$$\tabvar{%
\tx{x}&\tx{-\infty}&&\tx{1}&&\tx{+\infty}\cr
\tx{e^{-x}}&&&\tx{+}&&\cr
\tx{1-x}&&\tx{+}&\tx{0}&\tx{-}&\cr
\tx{f'(x)}&&\tx{+}&\tx{0}&\tx{-}&\cr
\tx{f(x)}&\txb{-\infty}&\fm&\txh{e^{-1}}&\fd&\txb{0}\cr
}$$

$f$ admet un maximum en $x=1$ valant $1/e$.
\item {\footnotesize Déterminer l'équation de la tangente de $f$ en $0$.}
$$y=f'(0)(x-0)+f(0)=1x+0=x $$
\item {\footnotesize Démontrer que l'équation $f(x)=-\dfrac{1}{2}$ admet une unique solution $\alpha $ dans $\R$. Donner une valeur approchée de $\alpha$ à $10^{-2}$.}

Sur l'intervalle $]-\infty;1]$ $f$ admet pour maximum $1/e<1/2$ par conséquent l'équation $f(x)=-\dfrac{1}{2}$ n'admet aucune solution sur $]-\infty;1]$.

De plus sur $[1;+\infty[$, $f$ est continue, strictement décroissante et à valeurs dans $[0;1/e]$ donc d'après le corollaire du TVI l'équation $f(x)=\dfrac{1}{2}$ admet une unique solution. Une calculatrice permet d'en obtenir une valeur approchée.
\end{enumerate}
\end{exoi}

\begin{center}
\newrgbcolor{qqqqzz}{0 0 0.6}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm}
\begin{pspicture*}(-3.18,-6.98)(8.5,1.98)
\psgrid[subgriddiv=0,gridlabels=0,gridcolor=lightgray](0,0)(-3.18,-6.98)(8.5,1.98)
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-3.18,-6.98)(8.5,1.98)
\psplot[linecolor=qqqqzz,plotpoints=200]{-3.1800000000000006}{8.500000000000004}{(x+1)*EXP(-x)}
\rput[tl](1.98,1.2){$\qqqqzz{\mathscr C_f : y=f(x)}$}
\end{pspicture*}
\end{center}

\vfill
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune
\textbf{Nom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$ \hfill \textbf{Pr\'enom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$  \hfill Classe :$\dots\dots$\\
\psframebox[linestyle=solid,shadow=true,framearc=0.5,fillcolor=vert!30]{
\begin{minipage}{17cm}
\begin{center}
\vspace{1mm}
\textsc{\textbf{ Interrogation n$^{\circ}12$ }\hfill \textbf{Sujet B}}
\end{center}
\vspace{-3mm}
\end{minipage}
}
\setcounter{exer}{0}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	 Interro
\begin{center}
\textit{\textbf{On prendra soin de coller le sujet sur la copie. La note tiendra compte de la qualité de la rédaction et des justifications.}}
\end{center}

\setcounter{exoBac}{0}







\begin{exoi}
\begin{footnotesize}
On considère la fonction $f$ définie par :
$$ f(x)=\dfrac{e^{x}}{e^{x}+1}$$
On note $\mathscr C_f$ sa représentation graphique dans un repère orthonomé $(O;\vec i, \vec j)$.
\end{footnotesize}
\begin{enumerate}
%\item Déterminer son ensemble de définition.
\item {\footnotesize Déterminer la limite de $f$ en $-\infty$. Que peut-on en déduire pour sa représentation graphique $\mathscr C_f$.}
$\lim\limits_{x\to -\infty} e^x=0$ donc immédiatement :
$$ \lim\limits_{x\to -\infty} f(x)=0$$
$\mathscr C_f$ admet une asymptote horizontale d'équation $y=0$ en $-\infty$
\item \begin{enumerate}

\item \begin{footnotesize}
Démontrer que pour tout réel $x$ on a :
$$ f(x)=\dfrac{1}{1+e^{-x}}$$
\end{footnotesize}

$$f(x)=\dfrac{e^x}{1+e^x}=\dfrac{e^x}{e^x(1/e^x+1)}=\dfrac{1}{e^{-x}+1}$$
\item{\footnotesize  En déduire la limite de $f$ en $+\infty$. Interpréter graphiquement. }

Du fait que $\lim\limits_{x\to+\infty} e^{-x}=0$ on en déduit immédiatement :
$$ \lim\limits_{x\to+\infty}=0$$
$\mathscr C_f$ admet une asymptote horizontale d'équation $y=0$ en $+\infty$.
\end{enumerate}
\item {\footnotesize Déterminer $f'(x)$, puis étudier son signe. En déduire le tableau de variations de $f$.}

$f$ est composé de fonction dérivable sur $\mathbb{R}$, par conséquent elle est dérivable sur $\mathbb{R}$ et pour tout réel $x$ on a :

$$f'(x)=\dfrac{e^x(e^x+1)-e^x\times e^x}{(e^x+1)^2}=\dfrac{e^x}{(e^x+1)^2}>0 $$

%\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}

\input tabvar
$$\tabvar{%
\tx{x}&\tx{-\infty}&&\tx{1}&&\tx{+\infty}\cr
\tx{e^{x}}&&&\tx{+}&&\cr
\tx{e^x+1}&&&\tx{+}&&\cr
\tx{f'(x)}&&&\tx{+}&&\cr
\tx{f(x)}&\txb{0}&&\fm&&\txh{1}\cr
}$$



\item {\footnotesize Déterminer l'équation de la tangente de $f$ en $0$.}

$$ y=f'(0)(x-0)+f(0)=\dfrac{1}{4}x+\dfrac{1}{2}$$
\item {\footnotesize Démontrer que l'équation $f(x)=\dfrac{1}{2}$ admet une unique solution $\alpha $ dans $\R$. Donner une valeur approchée de $\alpha$ à $10^{-2}$.}

De plus sur $\mathbb{R}$, $f$ est continue, strictement croissante et à valeurs dans $[0;1]$ donc d'après le corollaire du TVI l'équation $f(x)=\dfrac{1}{2}$ admet une unique solution. Une calculatrice permet d'en obtenir une valeur approchée.
\end{enumerate}
\end{exoi}


\end{document}
