\documentclass[a4paper,10pt,french]{article}


\input macrodwicky.tex
\geometry{verbose,letterpaper,tmargin=0.5cm,bmargin=0.5cm,lmargin=2cm,rmargin=2cm}

\begin{document}
\pagestyle{empty}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune
\textbf{Nom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$ \hfill \textbf{Pr\'enom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$  \hfill Classe :$\dots\dots$\\
\psframebox[linestyle=solid,shadow=true,framearc=0.5,fillcolor=vert!30]{
\begin{minipage}{17cm}
\begin{center}
\vspace{1mm}
\textsc{\textbf{ Correction de l'interrogation n$^{\circ}11$ }\hfill \textbf{Sujet A}}
\end{center}
\vspace{-3mm}
\end{minipage}
}
\setcounter{section}{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	 Interro
\begin{center}
\textit{\textbf{On prendra soin de coller le sujet sur la copie. La note tiendra compte de la qualité de la rédaction et des justifications.}}
\end{center}



\begin{exoi}\hfill \textbf{10 points}\\
\begin{footnotesize}
On considère le nombre complexe $$ z=1-\sqrt{3}+i(1+ \sqrt{3})$$

\end{footnotesize}\begin{enumerate}
\item {\footnotesize Ecrire $z^2$ sous forme algébrique}

$$ z^2=\left(1-\sqrt{3}+i(1+ \sqrt{3})\right)^2=\left(1-\sqrt{3}\right)^2+2i(1-\sqrt{3})(1+ \sqrt{3})-(1+ \sqrt{3})^2=\left(1-\sqrt{3}\right)^2-(1+ \sqrt{3})^2+2i(1- 3)$$
c'est-à-dire :
$$ z^2=(1-\sqrt{3}+1+\sqrt{3})(1-\sqrt{3}-1-\sqrt{3})-4i=-2\times 2\sqrt{3}-4i=-4\sqrt{3}-4i$$
\item {\footnotesize Déterminer le module et un argument de $z^2$}
$$ |z^2|=|-4\sqrt{3}-4i|=\sqrt{(-4\sqrt{3})^2+(-4)^2}=\sqrt{48+16}=\sqrt{64}=8$$
Un argument $\theta$ de $z^2$ vérifie $\cos\theta=\dfrac{-4\sqrt{3}}{8}=\dfrac{-\sqrt{3}}{2}$ et $\sin\theta=\dfrac{-4}{8}=-\dfrac{1}{2}$. Par conséquent :
$$ \theta=-\dfrac{5\pi}{6}+2k\pi\qquad \text{avec} k\in\mathbb{Z}$$
\item {\footnotesize Indiquer le signe de la partie réelle de $z$ et celui de la partie imaginaire, puis, à l'aide des propriétés sur le module et l'argument, déterminer le module et un argument de $z$.}
$1-\sqrt{3}<0$ donc la partie réelle de $z$ est négative, tandis que $1+\sqrt{3}>0$ donc la partie imaginaire de $z$ est positive.

Nous savons que $|z^2|=8\Longrightarrow |z|^2=8\Longrightarrow |z|=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$.

De plus $$arg(z^2)=-\dfrac{5\pi}{6}+2k\pi  \Longrightarrow 2arg(z)=-\dfrac{5\pi}{6}+2k\pi\Longrightarrow arg(z)=-\dfrac{5\pi}{12}+k\pi$$

Ainsi il existe à deux $\pi$ près deux arguments qui conviennent  $arg(z)=-\dfrac{5\pi}{12}$ ou $arg(z)=-\dfrac{5\pi}{12}+\pi=\dfrac{7\pi}{12}$.

Comme $-\dfrac{\pi}{2}<-\dfrac{5\pi}{12}<0$, si l'argument de $z$ valait $-\dfrac{5\pi}{12}$ la partie réelle et la partie imaginaire de $z$ serait négative.

Par conséquent $arg(z)=\dfrac{7\pi}{12}+2k\pi$ avec $k\in\Z$.
\item {\footnotesize Déduire de ce qui précède $\cos \dfrac{7\pi}{12}$ et $\sin \dfrac{7\pi}{12}$ puis $\cos \dfrac{\pi}{12}$ puis $\sin \dfrac{\pi}{12}$}

$$ \cos \dfrac{7\pi}{12}=\dfrac{1-\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}\qquad \text{et}\qquad \sin \dfrac{7\pi}{12}=\dfrac{1+\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}$$

De plus $\dfrac{7\pi}{12}=\dfrac{\pi}{2}+\dfrac{\pi}{12}$ donc :
$$ \cos \dfrac{\pi}{12}=\sin\dfrac{7\pi}{12}=\cos \dfrac{7\pi}{12}=\dfrac{1+\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}\qquad \text{et}\qquad \sin\dfrac{\pi}{12}=\cos \dfrac{7\pi}{12}=\dfrac{1-\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}$$
\end{enumerate}
\end{exoi}



%
%\begin{exoi}\hfill \textbf{5 points}\\
%\begin{enumerate}
%\item \begin{enumerate}
%\item {\footnotesize Déterminer le module et un argument de $z_1=1-\sqrt{3}i$.}
%
%$$ |z_1|=\sqrt{1+(-\sqrt{3})^2}=\sqrt{1+3}=\sqrt{4}=2$$
%
%Si $\theta=arg(z_1)$ alors $\theta$ vérifie 
%$\cos\theta=\dfrac{1}{2}$ et $\sin\theta=\dfrac{-\sqrt{3}}{2}$, par conséquent $arg(z_1)=-\dfrac{\pi}{3}+2k\pi$ où $k\in \mathbb{Z}$.
%\item {\footnotesize Déterminer le module et un argument de $z_2=-\sqrt{2}+\sqrt{2}i$.}
%
%$$ |z_2|=\sqrt{(-\sqrt{2})^2+\sqrt{2}^2}=\sqrt{2+2}=\sqrt{4}=2$$
%
%Si $\theta=arg(z_2)$ alors $\theta$ vérifie 
%$\cos\theta=\dfrac{-\sqrt{2}}{2}$ et $\sin\theta=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$, par conséquent $arg(z_1)=-\dfrac3{\pi}{4}+2k\pi$ où $k\in \mathbb{Z}$.
%\end{enumerate}
%\item \begin{enumerate}
%\item {\footnotesize Déterminer la forme algébrique du nombre complexe $z_3=\dfrac{1-\sqrt{3}i}{-\sqrt{2}+\sqrt{2}i}$.}
%
%$$ z_3=\dfrac{1-\sqrt{3}i}{-\sqrt{2}+\sqrt{2}i}\times \dfrac{-\sqrt{2}-\sqrt{2}i}{-\sqrt{2}+\sqrt{2}i}=\dfrac{-\sqrt{2}+\sqrt{6}i-\sqrt{2}i-\sqrt{6}}{2+2}=\dfrac{-\sqrt{6}-\sqrt{2}i}{4}+i\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}i}{4}$$
%\item {\footnotesize En déduire les valeurs exactes de $\cos \theta $ et $\sin \theta$ où $\theta$ désigne un argument de $z_3$.}
%
%Notons que $|z_3|=\left|\dfrac{z_1}{z_2}\right|=\dfrac{|z_1|}{|z_2|}=\dfrac{2}{2}=1$
%\end{enumerate}
%\end{enumerate}
%\end{exoi}



\pagebreak
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune
\textbf{Nom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$ \hfill \textbf{Pr\'enom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$  \hfill Classe :$\dots\dots$\\
\psframebox[linestyle=solid,shadow=true,framearc=0.5,fillcolor=vert!30]{
\begin{minipage}{17cm}
\begin{center}
\vspace{1mm}
\textsc{\textbf{ Correction de l'interrogation n$^{\circ}11$ }\hfill \textbf{Sujet B}}
\end{center}
\vspace{-3mm}
\end{minipage}
}
\setcounter{exer}{0}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	 Interro
\begin{center}
\textit{\textbf{On prendra soin de coller le sujet sur la copie. La note tiendra compte de la qualité de la rédaction et des justifications.}}
\end{center}



\Exoi{\hfill \textbf{10 points}\\
 \begin{enumerate}
 \item \begin{footnotesize}
 Résoudre dans $\C$ l'équation $z^2+2\sqrt{2}z+4=0$. \\
 On appelle $z_1$ et $z_2$ les solutions de l’équation, $z_1$ ayant une partie imaginaire positive. 
 \end{footnotesize}
 \\
 $\Delta=8-4\times 4=-8<0$ donc l'équation $z^2+2\sqrt{2}z+4=0$ admet deux racines complexes conjugués que voici :
 $$ z_1=\dfrac{-2\sqrt{2}+2\sqrt{2}i}{2}=-\sqrt{2}+\sqrt{2}i\qquad \text{et}\qquad z_2=-\sqrt{2}-\sqrt{2}i$$
\item {\footnotesize Placer, dans le plan, muni d'un repère orthonormal direct $(O; \overrightarrow{e_1}, \overrightarrow{e_2})$ (unité graphique : 2 cm), les points : $A$ d'affixe $2$, B et C d'affixes respectives $z_1$ et $z_2$, et $I$ le milieu de $[AB]$.}
\item \begin{footnotesize}
Démontrer 
que le triangle $OAB$ est isocèle.
\\ En déduire une mesure de l'angle $(\overrightarrow{e_1}; \overrightarrow{OI})$.
\end{footnotesize}\\
$OA=|z_A|=2$, $OB=|z_1|=\sqrt{(-\sqrt{2})^2+\sqrt{2}^2}=2$ donc le triangle $OAB$ est isocèle. Le triangle $OAB$ étant isocèle et $I$ étant le milieu de $[AB]$ alors :
$$(\overrightarrow{e_1}; \overrightarrow{OI})=(\overrightarrow{e_1}; \overrightarrow{OB})/2=arg(z_1)/2$$
Si on note $\theta=arg(z_1)$ celui ci vérifie $\cos\theta=\dfrac{-\sqrt{2}}{2}$ et $\sin \theta=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ et $\theta=\dfrac{3\pi}{4}+2k\pi$ et donc :
$$(\overrightarrow{e_1}; \overrightarrow{OI})=(\overrightarrow{e_1}; \overrightarrow{OB})/2=arg(z_1)/2=\dfrac{3\pi}{8}+2k\pi$$
\item {\footnotesize Calculer l'affixe $z_I$ de $I$, puis le module de $z_I$.}
$$ z_I=\dfrac{z_A+z_B}{2}=\dfrac{2-\sqrt{2}+\sqrt{2}i}{2}$$
$$ |z_I|=\dfrac{\sqrt{(2-\sqrt{2})^2+\sqrt{2}^2}}{4}=\dfrac{\sqrt{6-2\sqrt{2}}}{4}$$
\item {\footnotesize Déduire des résultats précédents les valeurs exactes de $ \cos \dfrac{3\pi}{8}$ et $\sin \dfrac{3\pi}{8}$}
\\
$\dfrac{3\pi}{8}$ étant un argument de $z_I$ il suit que :
$$ \cos \dfrac{3\pi}{8}=\dfrac{\frac{2-\sqrt{2}}{4}}{\frac{\sqrt{6-2\sqrt{2}}}{4}}\qquad\text{et}\qquad \sin \dfrac{3\pi}{8}=\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{6-2\sqrt{2}}}$$
\end{enumerate}
}

%\Exoi{
%Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv.
% \\
%On considère l'application $f$ du plan dans lui même qui, à tout point
%$M$ d'affixe $z$, associe le point $M'$ d'affixe $z'$
%telle que : $z' = z^2$.
%\\
%Déterminer l'ensemble $\Gamma_2$ des points $M$ d'affixe $z$  tels que l'affixe $z'$ du point $M'$ soit un nombre imaginaire pur.
%}

\end{document}
