\documentclass[a4paper,10pt,french]{article}


\input macrodwicky.tex
\geometry{verbose,letterpaper,tmargin=0.5cm,bmargin=0.5cm,lmargin=2cm,rmargin=2cm}

\begin{document}
\pagestyle{empty}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune
\textbf{Nom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$ \hfill \textbf{Pr\'enom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$  \hfill Classe :$\dots\dots$\\
\psframebox[linestyle=solid,shadow=true,framearc=0.5,fillcolor=vert!30]{
\begin{minipage}{17cm}
\begin{center}
\vspace{1mm}
\textsc{\textbf{ Correction de l'interrogation n$^{\circ}10$ }\hfill \textbf{Sujet A}}
\end{center}
\vspace{-3mm}
\end{minipage}
}
\setcounter{section}{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	 Interro
\begin{center}
\textit{\textbf{On prendra soin de coller le sujet sur la copie. La note tiendra compte de la qualité de la rédaction et des justifications.}}
\end{center}




\begin{exoi}\hfill \textbf{10 points}\\
\begin{footnotesize}
On considère les points $A$, $B$ et $C$ d'affixes respectives :
$$ z_A=-5-2i\qquad \text{;}\qquad z_B=4-i\qquad \text{;}\qquad z_C=3+8i\qquad \text{et}\qquad z_D=2+17i$$
\end{footnotesize}
\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item {\footnotesize Calculer $AB$, $AC$ et $BC$.}
$$ AB=|z_B-z_A|=|4-i-(-5-2i)|=|4-i+5+2i|=|9+i|=\sqrt{9^2+1^2}=\sqrt{82}$$
$$ AC=|z_C-z_A|=|3+8i-(-5-2i)|=|8+8i+2i|=|8+10i|=\sqrt{8^2+10^2}=\sqrt{64+100}=\sqrt{164}$$
$$ BC=|z_C-z_B|=|3+8i-(4-i)|=|3+8i-4+i|=|-1+9i|=\sqrt{(-1)^2+9^2}=\sqrt{82}$$
\item{\footnotesize  En déduire la nature du triangle $ABC$.}
\\
D'une part $BC=AB$ et donc le triangle $ABC$ est isocèle en $B$.

D'autre part $AC^2=164$ et $BC^2+AB^2=82+82=164$ donc d'après la réciproque du théorème de Pythagore $ABC$ est rectangle en $B$.

En somme $ABC$ est un triangle rectangle isocèle en $B$.
\end{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item \begin{footnotesize}
Déterminer la forme algébrique du nombre complexe $Z$ :
$$Z= \dfrac{z_A-z_B}{z_D-z_B}$$
On précisera la partie réelle et la partie imaginaire de $Z$
\end{footnotesize}
$$ Z= \dfrac{z_A-z_B}{z_D-z_B}=\dfrac{-5-2i-(4-i)}{2+17i-(4-i)}=\dfrac{-5-2i+4+i}{2+17i-4+i}=\dfrac{-9-i}{-2+18i}\times \dfrac{-2-18i}{-2-18i}=\dfrac{(-9-i)(-2-18i)}{(-2)^2-(18i)^2}=\dfrac{18+162i+2i-18}{4+324}=\dfrac{164}{328}i=\dfrac{1}{2}i$$
La partie réelle de $Z$ vaut $0$ et sa partie imaginaire $\dfrac{1}{2}$.
\item {\footnotesize Déterminer le module de $Z$. Que représente le module de $Z$ ?}
$$ |Z|=\left|\dfrac{1}{2}i\right|=\dfrac{1}{2}\times |i|=\dfrac{1}{2}$$
De plus :
$$ |Z|=\left|\dfrac{z_A-z_B}{z_D-z_B}\right|=\dfrac{|z_A-z_B|}{|z_D-z_B|}=\dfrac{BA}{BD}$$
Le module de $Z$ représente le rapport $BA/BD$.
\item {\footnotesize Déterminer un argument de $Z$. Que représente l'argument de $Z$ ?}

Notons $\theta=arg(Z)=arg\left(\dfrac{1}{2}i\right)$. Puisque $Z$ est un imaginaire pur alors $\theta=\dfrac{\pi}{2}+2k\pi$ où $k\in\Z$.

De plus $$arg(Z)=arg\left(\dfrac{z_A-z_B}{z_D-z_B}\right)=arg(z_A-z_B)-arg(z_D-z_B)=(\vec{u};\overrightarrow{BA})-(\vec{u};\overrightarrow{BD})=(\vec{u};\overrightarrow{BA})+(\overrightarrow{BD};\vec{u})=(\overrightarrow{BD};\vec{u})+(\vec{u};\overrightarrow{BA})=(\overrightarrow{BD};\overrightarrow{BA})$$

Autrement dit l'argument de $Z$ est une mesure de l'angle $(\overrightarrow{BD};\overrightarrow{BA})$.
\item {\footnotesize Que peut-on déduire de la question précédente quant à la nature du triangle $ABD$. }

Nous venons de démontrer dans la question précédente que $(\overrightarrow{BD};\overrightarrow{BA})=\dfrac{\pi}{2}$, par conséquent le triangle $ABD$ est rectangle en $B$.

Remarquons que dans la question $2)b$ nous avons démontré que :
$$ \dfrac{BA}{BD}=\dfrac{1}{2}\Longleftrightarrow 2BA=BD$$

Le côté $[BD]$ est donc deux fois plus grand que le côté $[BA]$.

Confirmons ces informations sur en observant la figure :

\begin{center}
\psset{xunit=0.4cm,yunit=0.4cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-10.61,-2.57)(15.85,17.59)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=2,Dy=2,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-10.61,-2.57)(15.85,17.59)
\psline(-5,-2)(4,-1)
\psline(4,-1)(2,17)
\psline(-5,-2)(2,17)
\psline(-5,-2)(3,8)
\begin{scriptsize}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=*](-5,-2)
\rput[bl](-4.81,-1.8){$A$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=*](4,-1)
\rput[bl](4.19,-0.81){$B$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=*](3,8)
\rput[bl](3.2,8.19){$C$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=*](2,17)
\rput[bl](2.17,17.05){$D$}
\end{scriptsize}
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exoi}

\pagebreak
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune
\textbf{Nom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$ \hfill \textbf{Pr\'enom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$  \hfill Classe :$\dots\dots$\\
\psframebox[linestyle=solid,shadow=true,framearc=0.5,fillcolor=vert!30]{
\begin{minipage}{17cm}
\begin{center}
\vspace{1mm}
\textsc{\textbf{ Correction de l'interrogation n$^{\circ}10$ }\hfill \textbf{Sujet B}}
\end{center}
\vspace{-3mm}
\end{minipage}
}
\setcounter{exer}{0}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	 Interro
\begin{center}
\textit{\textbf{On prendra soin de coller le sujet sur la copie. La note tiendra compte de la qualité de la rédaction et des justifications.}}
\end{center}





\Exoi{\hfill \textbf{(10 points)}\\
\begin{footnotesize}
On considère les points $A$, $B$ et $C$ d'affixes respectives :
$$ z_A=-4+i\qquad \text{;}\qquad z_B=4-i\qquad \text{;}\qquad z_C=6+7i\qquad \text{et}\qquad z_D=8+15i$$
\end{footnotesize}
\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item {\footnotesize Calculer $AB$, $AC$ et $BC$.}
$$ AB=|z_B-z_A|=|4-i-(-4+i)|=|4-i+4-i|=|8-2i|=\sqrt{8^2+(-2)^2}=\sqrt{68}$$
$$ AC=|z_C-z_A|=|6+7i-(-4+i)|=|6+7i+4-i|=|10+6i|=\sqrt{10^2+6^2}=\sqrt{100+36}=\sqrt{136}$$
$$ BC=|z_C-z_B|=|6+7i-(4-i)|=|6+7i-4+i|=|2+8i|=\sqrt{2^2+8^2}=\sqrt{68}$$
\item {\footnotesize En déduire la nature du triangle $ABC$.}
$AB=BC$ par conséquent le triangle $ABC$ est isocèle en $B$.
\\
De plus $AC^2=136$ et $AB^2+BC^2=68+68=136$ donc $AB^2+BC^2=AC^2$ donc d'après la réciproque du théorème de Pythagore $ABC$ est rectangle en $B$.
\\
En somme le triangle $ABC$ est rectangle isocèle en $B$.
\end{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item \begin{footnotesize}
Déterminer la forme algébrique du nombre complexe $Z$ :
$$Z= \dfrac{z_A-z_B}{z_D-z_B}$$
On précisera la partie réelle et la partie imaginaire de $Z$
\end{footnotesize}
$$ Z= \dfrac{z_A-z_B}{z_D-z_B}=\dfrac{-4+i-(4-i)}{8+15i-(4-i)}=\dfrac{-4+i-4+i}{8+15i-4+i}=\dfrac{-8+2i}{4+16i}=\dfrac{-4+i}{2+8i}\times \dfrac{2-8i}{2-8i}=\dfrac{(-4+i)(2-8i)}{2^2-(8i)^2}=\dfrac{36i}{4+64}=\dfrac{34}{68}i=\dfrac{1}{2}i$$
La partie réelle de $Z$ vaut $0$ et sa partie imaginaire $\dfrac{1}{2}$.
\item {\footnotesize Déterminer le module de $Z$. Que représente le module de $Z$ ?}
$$ |Z|=\left|\dfrac{1}{2}i\right|=\dfrac{1}{2}\times |i|=\dfrac{1}{2}$$
De plus :
$$ |Z|=\left|\dfrac{z_A-z_B}{z_D-z_B}\right|=\dfrac{|z_A-z_B|}{|z_D-z_B|}=\dfrac{BA}{BD}$$
Le module de $Z$ représente le rapport $BA/BD$.
\item {\footnotesize Déterminer un argument de $Z$. Que représente l'argument de $Z$ ?}
\\
Notons $\theta=arg(Z)=arg\left(\dfrac{1}{2}i\right)$. Puisque $Z$ est un imaginaire pur alors $\theta=\dfrac{\pi}{2}+2k\pi$ où $k\in\Z$.
\\
De plus $$arg(Z)=arg\left(\dfrac{z_A-z_B}{z_D-z_B}\right)=arg(z_A-z_B)-arg(z_D-z_B)=(\vec{u};\overrightarrow{BA})-(\vec{u};\overrightarrow{BD})=(\vec{u};\overrightarrow{BA})+(\overrightarrow{BD};\vec{u})=(\overrightarrow{BD};\vec{u})+(\vec{u};\overrightarrow{BA})=(\overrightarrow{BD};\overrightarrow{BA})$$
Autrement dit l'argument de $Z$ est une mesure de l'angle $(\overrightarrow{BD};\overrightarrow{BA})$.
\item {\footnotesize Que peut-on déduire de la question précédente quant à la nature du triangle $ABD$. }
\\
Nous venons de démontrer dans la question précédente que $(\overrightarrow{BD};\overrightarrow{BA})=\dfrac{\pi}{2}$, par conséquent le triangle $ABD$ est rectangle en $B$.
\\
Remarquons que dans la question $2)b$ nous avons démontré que :
$$ \dfrac{BA}{BD}=\dfrac{1}{2}\Longleftrightarrow 2BA=BD$$
\\
Le côté $[BD]$ est donc deux fois plus grand que le côté $[BA]$.
\\
Confirmons ces informations sur en observant la figure :
\begin{center}
\newrgbcolor{qqwuqq}{0 0.39 0}
\psset{xunit=0.4cm,yunit=0.4cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-10.61,-9)(28.63,17.59)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=2,Dy=2,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-10.61,-9)(28.63,17.59)
\pspolygon[linecolor=qqwuqq,fillcolor=qqwuqq,fillstyle=solid,opacity=0.1](4.23,-0.07)(3.31,0.16)(3.07,-0.77)(4,-1)
\psline(-4,1)(4,-1)
\psline(-0.03,0.22)(-0.13,-0.18)
\psline(0.13,0.18)(0.03,-0.22)
\psline(-4,1)(8,15)
\psline(-4,1)(6,7)
\psline(4,-1)(6,7)
\psline(4.78,2.97)(5.18,2.87)
\psline(4.82,3.13)(5.22,3.03)
\psline(6,7)(8,15)
\psline(6.78,10.97)(7.18,10.87)
\psline(6.82,11.13)(7.22,11.03)
\begin{scriptsize}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=*](-4,1)
\rput[bl](-4.81,0.76){$A$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=*](4,-1)
\rput[bl](4.19,-0.81){$B$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=*](6,7)
\rput[bl](6.17,7.2){$C$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=*](8,15)
\rput[bl](8.2,15.16){$D$}
\rput[bl](3.43,-0.54){\qqwuqq{$90\textrm{\degre}$}}
\end{scriptsize}
\end{pspicture*}
%\end{center}
\end{center}
\end{enumerate}
\end{enumerate}
}


\end{document}
