\documentclass[4apaper,10pt,french]{article}
\linespread{1}

\newcommand{\typedoc}{Devoir surveill\'e $1$ }
\newcommand{\Ch}{Second degr\'e}
\newcommand{\ch}{Chapitre 1}
\newcommand{\Cl}{$1^{ère}$ S}
\newcommand{\Annee}{2016-2017}
%\newcommand{\num}{8}	


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Package
\input macrodwicky.tex

\geometry{hmargin=1cm,vmargin=2cm}




%\setcounter{NumLecon}{8}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Premiere page
\begin{document}
\DocDav



\begin{exoi}\hfill 	\textit{6 points}

\begin{footnotesize}
On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par :
$$ f(x)=3x^2-12x-15$$
et on note $\mathscr C_f$ sa représentation graphique dans un repère orthonormal.
\end{footnotesize}
\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item {\footnotesize Déterminer les solutions de l'équation $f(x)=0$.}

Il s'agit de déterminer les racines de $f$, calculons pour cela le discriminant $\Delta$ :
$$ \Delta=b^2-4ac=(-12)^2-4\times 3\times (-15)=144+180=324$$

L'équation $f(x)=0$ admet donc deux solutions, que voici :

$$x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{12-\sqrt{324}}{6}=\dfrac{12-18}{6}=-1\qquad \text{ou}\qquad x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{12+\sqrt{324}}{6}=\dfrac{12+18}{6}=5$$

Les solutions de l'équation $f(x)=0$ sont alors $x=-1$ et $x=5$.
\item {\footnotesize Déterminer l'abscisse du sommet $S$ de la parabole $\mathscr S$. Préciser si sommet correspond à un maximum ou à un minimum puis calculer son ordonnée.}

Le sommet $S$ de la parabole $\mathscr C_f$ correspond à un minimum puisque $a=3>0$, son abscisse est la moyenne des racines :
$$ \dfrac{x_1+x_2}{2}=\dfrac{-1+5}{2}=2$$
et son ordonnée est l'image de $2$ :
$$ f(2)=3\times 2^2-12\times 2-15=12-24-15=-27$$
Le sommet a pour coordonnée $S(2;-27)$.
\item {\footnotesize Dresser le tableau de variation de la fonction $f$.}

\input tabvar.tex

\[\tabvar{%
\tx{x}&\tx{-\infty}&&&\tx{2}&&&\tx{+\infty}\cr
\tx{3x^2-12x-15}&&&\fd&\txb{-27}&\fm&&\cr
}
\]

\end{enumerate}

\item \begin{enumerate}
\item {\footnotesize  Dresser le tableau de signe de $f$ sur $\R$.}
\input tabvar.tex
\[\tabvar{%
\tx{x}&\tx{-\infty}&&\tx{-1}&&\tx{5}&&\tx{+\infty}\cr
\tx{f(x)}&&\tx{+}&\tx{0}&\tx{-}&\tx{0}&\tx{+}&\cr
}
\]
\item {\footnotesize Résoudre l'inéquation $f(x)\geq 0$.}
\\
D'après le tableau signe précédent on observe que $f(x)\geq 0$ si et seulement si $x\in ]-\infty;-1]\cup [5;+\infty[$
\end{enumerate}
\item {\footnotesize Donner la forme factorisée de $f(x)$, si c'est possible.}
\\
Puisque $-1$ et $5$ sont des racines de $f$, alors :
$$f(x)=3(x-(-1))(x-5)=3(x+1)(x-5)$$
\end{enumerate}
\end{exoi}


\begin{exoi}\hfill 	\textit{4 points}
\begin{enumerate}
\item {\footnotesize Déterminer les racines du trinôme $x^2-2\sqrt{2}x+1$}

Déterminer pour cela le discriminant du trinome $x^2-2\sqrt{2}x+1$ :

$$ \Delta=b^2-4ac=(-2\sqrt{2})^2-4ac=8-4=4$$
\item En vous aidant d'un tableau de signe, résoudre dans $\R$ l'inéquation :
$$ \dfrac{x^2-2\sqrt{2}x+1}{x^2+1}\geq 0$$

On sait que quelque soit le réel $x$, $x^2\geq 0$, par conséquent $x^2+1\geq 1$ et donc $x^2+1>0$ d'où :

\input tabvar.tex
\[\tabvar{%
\tx{x}&\tx{-\infty}&&\tx{\sqrt{2}-1}&&\tx{\sqrt{2}+1}&&\tx{+\infty}\cr
\tx{x^2-2\sqrt{2}x+1}&&\tx{+}&\tx{0}&\tx{-}&\tx{0}&\tx{+}&\cr
\tx{x^2+1}&&&&\tx{+}&&&\cr
\tx{\dfrac{x^2-2\sqrt{2}x+1}{x^2+1}}&&\tx{+}&\tx{0}&\tx{-}&\tx{0}&\tx{+}&\cr
}
\]



$ \dfrac{x^2-2\sqrt{x}+1}{x^2+1}\geq 0 \Longleftrightarrow x\in ]-\infty;\sqrt{2}-1]\cup [\sqrt{2}+1;+\infty[$
\end{enumerate}
\end{exoi}

\begin{exoi}\hfill 	\textit{3 points}

\begin{footnotesize}
On considère le polynôme $P(x)=ax^2+bx+c$ où $a$, $b$ et $c$ désigne trois réels avec $a$ et $c$ sont tous deux non nuls.

Parmi les propositions suivantes, trouver celle qui est exacte et justifier votre choix.


\textit{\textbf{Proposition 1}} : Si $a$ et $c$ sont de même signe alors le polynôme $P$ n'admet pas de racine.

\textit{\textbf{Proposition 2}} : Si $a$ et $c$ sont de signe contraire alors le polynôme $P$ n'admet pas de racine.

\textit{\textbf{Proposition 3}} : Si $a$ et $c$ sont de signe contraire alors le polynôme $P$ admet exactement deux racines.

Le nombre de racine de $P$ dépend du signe de $\Delta=b^2-4ac$.

Dans le cas où $a$ et $c$ sont de signe contraire, le produit $ac$ est négatif, autrement dit $ac<0$, puis en multipliant par $-4$ :
$$ -4ac>0$$
puis ajoutant le carré de $b$ qui comme tout carré est positif on obtient :
$$ b^2-4ac>b^2\geq 0$$
Au final si $a$ et $c$ sont de signe contraire alors $\Delta>0$ et le polynôme $P$ admet exactement deux racines distinctes, ainsi la troisième proposition est vraie.

Le lecteur trouvera aisément dans les deux précédents exercices des contre exemples qui invalident les deux premières propositions.
\end{footnotesize}

\end{exoi}

\begin{exoi}\hfill 	\textit{4 points}

{\footnotesize On considère un cube de coté $x$ cm. On souhaite déterminer $x$ de sorte que son volume soit égal à la somme de l'aire et du périmètre d'une de ses faces.}
\begin{enumerate}
\item \begin{footnotesize}
Démontrer que $x$ est solution de l'équation $(E)$ :
$$ x^3-x^2-4x=0$$
\end{footnotesize}

Le volument du cube est $x^2$, l'aire d'une des faces du cube est $x^2$ et le périmètre d'une des faces du cube vaut $4x$, ainsi le volume du cube est la somme de l'aire et du périmètre d'une de ses faces si et seulement si $$x^3=x^2+4x\Longleftrightarrow x^3-x^2-4x=0$$
Nous venons de démontrer que $x$ est bien solution de $(E)$.

Le lecteur observera qu'il n'était demandé ici de résoudre l'équation $(E)$.
\item {\footnotesize Résoudre l'équation $(E)$ puis conclure quant au problème posé.}

$$  x^3-x^2-4x=0\Longleftrightarrow x(x^2-x-4)=0 $$

Rappelons qu'un produit est nul si et seulement si l'un des facteurs au moins est nul, ainsi :

$$ x(x^2-x-4)=0\Longleftrightarrow x=0\qquad \text{ou}\qquad x^2-x-4=0$$

Le discriminant du trinôme $x^2-x-4$ vaut $\Delta=(-1)^2-4\times 1\times (-4)=17$, donc ce trinôme admet deux racines :
$$ x_1=\dfrac{1-\sqrt{17}}{2}\qquad \text{et}\qquad x_2=\dfrac{1+\sqrt{17}}{2}$$

L'équation $(E)$ admet trois solutions, $x=0$, $x=\dfrac{1-\sqrt{17}}{2}$ puis $\dfrac{1+\sqrt{17}}{2}$

La longueur cherchée étant solution de $(E)$, elle vaut donc soit $0$ (mais ceci est inenvisageable, un cube de côté $0$ est-il réellement un cube ?), soit $\dfrac{1-\sqrt{17}}{2}<0$ (mais ceci est impossible, une longueur étant positive), soit $x=\dfrac{1+\sqrt{17}}{2}$ qui est donc l'unique solution du problème.
\end{enumerate}
\end{exoi}

\begin{exoi}\hfill 	\textit{3 points}
\begin{footnotesize}
\begin{multicols}{2}

Dans un triangle $ABC$ rectangle en $A$, on place les points $D$ et $E$ respectivement sur $[AC]$ et $[AB]$ tels que $AD=BE=x$.

\textit{(Voir Figure ci-contre)}

Déterminer $x$ pour que l'aire du triangle $ADE$ soit égale à la moitié de celle du triangle $ABC$.

\textbf{Données} : $AB=18$ et $AC=8$.

\begin{center}
\psset{xunit=1.2cm,yunit=1.2cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-4,2)(-1.38,5.78)
\psline(-3.44,5.56)(-3.4,2.24)
\psline(-3.44,5.56)(-1.84,2.26)
\psline(-3.4,2.24)(-1.84,2.26)
\psline(-2.6,2.25)(-3.43,4.76)
\rput[tl](-3.7,5.3){$x$}
\rput[tl](-3.12,2.1){$x$}
\begin{scriptsize}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=*](-3.4,2.24)
\rput[bl](-3.7,2.0){$A$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=*](-3.44,5.56)
\rput[bl](-3.7,5.59){$B$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=*](-1.84,2.26)
\rput[bl](-1.8,2.0){$C$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=*](-3.43,4.76)
\rput[bl](-3.7,4.67){$E$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=*](-2.6,2.25)
\rput[bl](-2.56,2.0){$D$}
\end{scriptsize}
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{multicols}
\end{footnotesize}

L'aire du triangle $ADE$ vaut :
$$ \dfrac{AD\times AE}{2}=\dfrac{x\times (AB-BE)}{2}=\dfrac{x(18-x)}{2}$$
L'aire du triangle $ABC$ vaut :
$$ \dfrac{AB\times AC}{2}=\dfrac{8\times 18}{2}=8\times 9=72$$
Par conséquent la moitié de l'aire de $ABC$ vaut $36$.

Et nous cherchons quels sont les réels $x$ qui satisfont l'équation :
$$ \dfrac{x(18-x)}{2}=36\Longleftrightarrow x(18-x)=72\Longleftrightarrow 18x-x^2=72\Longleftrightarrow x^2-18x+72=0$$

$\Delta=b^2-4ac=(-18)^2-4\times 1\times 72=324-288=36$, par conséquent cette équation admet deux solutions, que voici :

$$ x_1=\dfrac{18-6}{2}=6\qquad \text{et}\qquad x_2=\dfrac{18+6}{2}=12$$
\end{exoi}


\begin{exoi}\hfill \textbf{Bonus}

{\footnotesize On se trouve au bord d'un gouffre très profond et pour évaluer la profondeur de celui-ci, on laisse tomber une pierre. On entend alors le bruit de l'impact de cette pierre $10$ secondes  après l'avoir lachée. Déterminer la profondeur du gouffre au mètre près sachant que la distance $d$ (en mètres) parcourue par un corps en chute libre pendant un temps $t$ (en secondes) sans vitesse initiale, est donnée par la relation $d=\dfrac{1}{2}gt^2$ où $g\simeq 9.8$ m.s$^{-2}$ et la vitesse du son est de $340$ m.s$^{-1}$}

Notons $d$ la profondeur du gouffre alors d'après l'énonce $d=\dfrac{1}{2}gt^2\Longrightarrow t^2=\dfrac{2d}{g}$

Tel est le carré du temps qu'il a fallu à la pierre pour toucher le fond du gouffre, la racine carré de ce temps est un peu inférieur à $10$ secondes, puisque pour atteindre $10$ secondes il a fallu le temps au son de remonter à nos oreilles.

Nous savons que $v=\dfrac{d}{t} \Longleftrightarrow t=\dfrac{d}{v} \Longrightarrow t=\dfrac{d}{340}$

Entre l'aller et le retour la distance n'a pas changé.

Ainsi les $10$ secondes sont la somme entre $\sqrt{\dfrac{2d}{g}}$ et $\dfrac{d}{340}$ i.e. :

$$\sqrt{\dfrac{2d}{g}}=10-\dfrac{d}{340} $$

ce qui par élévation au carré donne :
$$ \dfrac{2d}{g}=\left(10-\dfrac{d}{340}\right)^2=100-\dfrac{20d}{340}+\dfrac{d^2}{340^2}\Longleftrightarrow \dfrac{2d}{g}=100-\dfrac{1}{17}d+\dfrac{d^2}{340^2}$$

Multiplions le tout par $340^2g=
115600g$, nous obtenons :
$$ 231200d=11560000g-6800gd+gd^2\Longleftrightarrow gd^2-(231200+6800g)d+11560000g=0$$


Nous reconnaissons un trinôme du second degré en $d$, calculons son discriminant :

$$ \Delta=(231200+6800g)^2-4\times g\times 11560000g=84267776000$$

d'où :
$$ d=\dfrac{231200+6800g\pm \sqrt{84267776000}}{2g}$$

Et donc $d\simeq 
30006.59$ mètres ou $d\simeq 
385.25$.

On trouve deux solutions mais, à savoir $d\simeq 30 000$ mètres (solution absurde puisqu'il faudrait plus de $10$ secondes au son pour revenir à nos oreilles du fond du gouffre, on trouve cette solution à cause de l'élévation au carré en début de résolution...) et l'autre $d\simeq 385$ mètres environ, parfaitement cohérente en revanche. En effet il faut un plus d'une seconde au son pour parcourir les $385$ mètres et parvenir à notre oreille, puis il faut $t=\sqrt{\dfrac{2d}{g}}\simeq 8.86$ secondes pour que la pierre touche le sol.

\end{exoi}
%\begin{exoi}\hfill $\spadesuit$
%
%Calculer :
%$$ \sum_{i=1}^{+\infty} \dfrac{1}{i}=1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4}+\dots$$
%\end{exoi}
\end{document}
