\documentclass[a4paper,11pt,french]{article}
\linespread{1}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Définitions de la feuille d'exercices

\newcommand{\typedoc}{Correction du devoir maison 2}          %%%%%%%%%%%%%%% 1ere ligne du titre de la feuille
\newcommand{\Ch}{Suites monotones et limites}		   %%%%%%%%%%%%%%%% 2eme ligne et en haut à droite après	
\newcommand{\ch}{R\'evisions}               %%%%%%%%%%%%%%% En haut à gauche (numero chapitre)
\newcommand{\Cl}{T$^\text{ale}$S}
\newcommand{\Annee}{2015-2016}

\newcommand{\serie}{Scientifique}
\newcommand{\num}{0}	
\newcommand{\tps}{2h}	



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
%\usepackage[french,lined,boxed,commentsnumbered]{algorithm2e}

\input macrodwicky.tex
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\renewcommand{\arraystretch}{1.2}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Début
\begin{document}


\DocDav

\vfill 

\textbf{Vous traiterez au choix au moins un exercice parmi les 4 suivants. En traiter au moins deux est conseillé. Si vous ne vous sentez pas encore à l'aise avec les suites, il est inutile de tourner la page.}

\Exoi{\textbf{Théorème de convergence monotone.}\hfill $ \spadesuit\spadesuit$\\
\begin{footnotesize}
Soit $(u_n)$ une suite décroissante et strictement positive.
\\
Soit la suite $(v_n)$, définie sur $\N$ par $v_n=\dfrac{1}{1+u_n}$
\end{footnotesize}
\begin{enumerate}
\item {\footnotesize Démontrer que la suite $(v_n)$ est croissante.}
Puisque $u_n$ est décroissante on a pour tout entier naturel $n$ : 
$u_{n+1}\geq u_n$ et donc :
\\
$1+u_{n+1}\geq 1+u_n$, du fait que $u_n>0$ il suit que $u_n+1\neq 0$, on peut donc inverser et on obtient :
$$ \dfrac{1}{1+u_{n+1}}\leq \dfrac{1}{1+u_n}\Longleftrightarrow v_{n+1}\leq v_n$$
Nous venons de démontrer que $(v_n)$ est une suite croissante.
\item \begin{footnotesize}
En vous aidant du fait que $u_n>0$ pour tout entier naturel $n$, démontrer que :
$$ \forall n\in \N, \qquad v_n<1$$
\end{footnotesize}
\\
Puisque $u_n>0$ pour tout entier naturel $n$ il suit que $u_n+1>1$ et par passage à l'inverse on obtient :
$$ \dfrac{1}{1+u_n}<1 \Longleftrightarrow v_n<1$$
\item {\footnotesize En déduire que la suite $(v_n)$ converge.}
\\
Nous avons démontré que la suite $(v_n)$ est croissante et majorée par $1$, elle converge donc vers un réel inférieur ou égal à $1$.
\end{enumerate}
}


\Exoi{\textbf{Théorème de convergence monotone.}\hfill $ \spadesuit \spadesuit \spadesuit$\\
\begin{footnotesize}
On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0=\dfrac{1}{2}$ et telle que pour tout entier naturel $n$, 
$$ u_{n+1}=\dfrac{3u_n}{1+2u_n}$$
\end{footnotesize}
\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item {\footnotesize Calculer $u_1$ et $u_2$.}	
\\
$u_1=\dfrac{3u_0}{1+2u_0}=\dfrac{1,5}{2}=0,75$, donc $u_2=\dfrac{3u_2}{1+2u_2}=\dfrac{2,25}{2,5}=2,25\times 5 \2=11,25/2=5,5+0,125=5,625$
\item {\footnotesize Démontrer, par récurrence, que pour tout entier naturel $n$, $0<u_n$.}
\\
Notons $\mathscr P(n) :0<u_n$
\\
\textbf{\textit{Initialisation}} : pou $n=0$ on sait que $u_0=\dfrac{1}{2}>0$
\\
$\mathscr P$ est donc vraie au rang $0$.
\\
\textbf{\textit{Hérédité}} : Montrons que si $u_n>0$ alors $u_{n+1}>0$
\\
Si $u_n>0$ alors $3u_n>0$ et $1+2u_n>1$ donc par quotient $\dfrac{3u_n}{1+2u_n}>0$ ainsi $u_{n+1}>0$
\\
$\mathscr P$ est héréditaire.
\\
\textbf{\textit{Conclusion}} : $\mathscr P$ est initialisée et héréditaire donc $u_n>0$ pour tout entier naturel $n$.
\item \begin{enumerate}
\item \begin{footnotesize}
Soit $f$ la fonction définie sur $[0;+\infty[$ par $f(x)=\dfrac{3x}{1+2x}$. 
\\
Calculer $f'(x)$ puis en déduire les variations de $f$ sur $[0;+\infty[$.
\end{footnotesize}
$f$ est de la forme $\dfrac{u}{v}$ donc $f'$ est de la forme $\dfrac{u'v_uv'}{v^2}$
\\
Ainsi pour $x\geq 0$ on a :
$$ f'(x)=\dfrac{3(1+2x)-3x\times 2}{(1+2x)^2}=\dfrac{3+6x-6x}{(1+2x)^2}=\dfrac{3}{(1+2x)^2}>0$$
\\
donc la fonction $f$ est strictement croissante sur  $[0;+\infty[$.
\item {\footnotesize Démontrer, par récurrence, que pour tout entier naturel $n$ on a $u_n<1$}
\\
Notons $\mathscr P(n) : u_n<1$
\\
\textbf{\textit{Initialisation}} : pou $n=0$ on sait que $u_0=\dfrac{1}{2}<1$
\\
$\mathscr P$ est donc vraie au rang $0$.
\\
\textbf{\textit{Hérédité}} : Montrons que si $u_n<1$ alors $u_{n+1}<1$
\\
Si $u_n<1$ alors $f(u_n)<f(1)$ puisque $f$ est strictement croissante sur $[0;+\infty[$
\\
par conséquent $u_{n+1}<\dfrac{3}{1+2}=1$
\\
$\mathscr P$ est héréditaire.
\\
\textbf{\textit{Conclusion}} : $\mathscr P$ est initialisée et héréditaire donc $u_n<1$ pour tout entier naturel $n$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item \begin{footnotesize}
Démontrer que pour tout entier naturel $n$ on a :
$$ u_{n+1}-u_n=\dfrac{2u_n(1-u_n)}{1+2u_n}$$
\end{footnotesize}
\\
Pour tout entier naturel $n$ on a :
$$ u_{n+1}-u_n=\dfrac{3u_n}{1+2u_n}-u_n=\dfrac{3u_n-u_n(1+2u_n)}{1+2u_n}=\dfrac{3u_n-u_n-2u_n^2}{1+2un}=\dfrac{2u_n(1-u_n)}{1+2u_n}$$
\item{\footnotesize  Etudier le signe de $u_{n+1}-u_n$ puis en déduire que la suite $(u_n)$ est croissante.}
\\
Du fait que $u_n<1$ il suit que $1-u_n>0$, du fait que $u_n>0$ on déduit que $2u_n(1-u_n)>0$.
\\
De même comme $u_n>0$ on a $1+2u_n>0$ et donc au final par quotient $\dfrac{2u_n(1-u_n)}{1+2u_n}>0$
\\
Ainsi $u_{n+1}-u_n>0\Longleftrightarrow u_{n+1}>u_n$ donc la suite $(u_n)$ est croissante.
\item {\footnotesize En déduire que la suite $(u_n)$ converge.}
\\
D'après la question précédente $(u_n)$ est croissante, de plus on sait aussi qu'elle est majorée par $1$ donc elle converge.
\end{enumerate}
\end{enumerate}}






%\Exoi{\textbf{Théorème de comparaison.}\hfill $\spadesuit\spadesuit $\\
%Soit $a\in\R$, on considère la suite $(u_n)$ définie, pour tout entier naturel $n$, par :
%$$ u_0=a\qquad \text{et}\qquad u_{n+1}=u_n+u_n^2+1$$
%\begin{enumerate}
%\item Montrer que la suite $(u_n)$ est strictement croissante.
%\item Ecrire et programmer un algorithme qui demande de saisir deux réels $M$ et $a$ et qui affiche le premier rang $p$ pour lequel $u_p>M$. 
%\item Soit $n\in\N$ et $\mathscr P(n) : u_n\geq a+n$. Montrer par récurrence que $\mathscr P(n)$ est vraie pour tout $n\in\N$.
%\item En déduire que $\lim\limits_{n\to+\infty}u_n=+\infty$.
%\end{enumerate}}

\pagebreak


\Exoi{Divergence de la série harmonique\hfill $ \spadesuit\spadesuit\spadesuit\spadesuit\spadesuit\spadesuit $\\
\begin{footnotesize}
On considère la suite définie pour tout entier $n\in\N^*$ par :
$$u_n=\sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{k}$$
\end{footnotesize}
\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item {\footnotesize Calculer $u_1$, $u_2$, $u_3$ et $u_4$.}
$$u_1=1\quad u_2=\dfrac{3}{2}\quad u_3=\dfrac{3}{2}+\dfrac{1}{3}=\dfrac{11}{6}\quad u_4=\dfrac{11}{6}+\dfrac{1}{4}=\dfrac{25}{12}$$
\item {\footnotesize Compléter l'algorithme suivant afin qu'il affiche $u_n$ :}
\begin{center}
\Algo{8cm}{
\Entree{ 
 $u$  est un nombre réel.\\
 $n$ est un  entier naturel non nul.\\
  $k$ est un  entier naturel non nul.\\
}
{
$k=1$ et $u=1$.\\
Saisir $n$\\
  \While{$k< n$}
{$k:=k+1$
$u:=u+\dfrac{1}{k}$  
}
\\Afficher $u$
}
}
\end{center}
\item {\footnotesize Qu'affiche l'algorithme pour $n=10$ ?, $n=100$ ? et $n=1000$ ? (on ne demande pas de détail).}
\\
Il affiche pour $n=10$ : $\dfrac{7381}{2520}$
\\
pour $n=100$ : $\simeq 5,18$
\\
pour $n=1000$ : $\simeq 7,48$
\item {\footnotesize Pensez-vous que la suite $(u_n)$ converge ?}
\\
Difficile à dire mais il semble plutôt que non.
\end{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item {\footnotesize Démontrer que la suite $(u_n)$ est strictement croissante.}
\\
$u_{n+1}=u_n+\dfrac{1}{n+1}$ donc $u_{n+1}>u_n$ et la suite $(u_n)$ est croissante.
\item {\footnotesize En écrivant $u_n=\underbrace{\dfrac{1}{1}}_{\geq 1}+\underbrace{\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}}_{\geq 1}+\underbrace{\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{7}}_{\geq 1}+\underbrace{\dfrac{1}{8}+\dfrac{1}{9}+\dfrac{1}{10}+\dfrac{1}{11}+\dfrac{1}{12}+\dfrac{1}{13}+\dfrac{1}{14}+\dfrac{1}{15}}_{\geq 1}+\dots+\dfrac{1}{n}$ justifier que $(u_n)$ n'est pas majorée c'est-à-dire justifier que quelque soit le réel $A$ il existe un rang $n$ tel que $u_n>A$.}
\\
Remarquons d'abord que $u_{15}\geq 4\Longrightarrow u_{16}\geq 4 \Longleftrightarrow u_{2^4}\geq 4$. De même $\dfrac{1}{16}+\dots+\dfrac{1}{31}\geq \dfrac{1}{16}\times 16=1 $, par conséquent $u_{31}\geq 5\Longrightarrow u_{32}\geq 5 \Longrightarrow u_{2^5}\geq 5$
\\
De manière générale on a $u_{2^n}\geq n$ (propriété que nous démontrerons par récurrence à la fin du devoir). 
\\
Ainsi soit $A$ un nombre réel, alors notons $M$ le plus petit nombre entier supérieur ou égal à $A$, il suit que $u_{2^M}\geq M\geq A$.
\\
Par conséquent quelque soit le réel $A$, il existe un rang $n$ tel que $u_n>A$.
\item {\footnotesize En déduire $\lim\limits_{n\to +\infty} u_n$.}
\\
$u_n$ est une suite croissante non majorée donc elle diverge vers $+\infty$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
}

\Exoi{\hfill $ \spadesuit\spadesuit\spadesuit\spadesuit $\\
{\footnotesize On considère la suite $$u_n=\sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{k^2}$$}
\begin{enumerate}
\item {\footnotesize Montrer que $ \dfrac{1}{k^2}\leq \dfrac{1}{k(k-1)}\leq \dfrac{1}{k-1}-\dfrac{1}{k}, \forall k\geq 2$.}
\\
Pour $k\geq 2$ : 
\\
$k-1<k$ donc $k(k-1)<k^2$ donc $\dfrac{1}{k^2}<\dfrac{1}{k(k-1)}$
\\
De plus $\dfrac{1}{k-1}-\dfrac{1}{k}=\dfrac{k-(k-1)}{k(k-1)}=\dfrac{1}{k(k-1)}$
\\
Ainsi on a :
$$ \dfrac{1}{k^2}\leq \dfrac{1}{k(k-1)}= \dfrac{1}{k-1}-\dfrac{1}{k}, \forall k\geq 2$$
\item {\footnotesize Montrer que $$ \sum_{k=2}^n \left(\dfrac{1}{k-1}-\dfrac{1}{k}\right)=1-\dfrac{1}{n}$$}
\\
$$ \sum_{k=2}^n \left(\dfrac{1}{k-1}-\dfrac{1}{k}\right)=\sum_{k=2}^n \dfrac{1}{k-1}- \sum_{k=2}^n \dfrac{1}{k}=\sum_{k=1}^{n-1} \dfrac{1}{k}- \sum_{k=2}^n \dfrac{1}{k}=1-\dfrac{1}{n}$$
\item {\footnotesize Montrer que $$\sum_{k=2}^n \dfrac{1}{k^2}\leq 1$$.}
\\
Comme $$\dfrac{1}{k^2}\leq \dfrac{1}{k-1}-\dfrac{1}{k}$$
\\
il suit que 
$$ \sum_{k=2}^n\dfrac{1}{k^2}\leq \sum_{k=2}^n\left(\dfrac{1}{k-1}-\dfrac{1}{k}\right) \Longleftrightarrow  \sum_{k=2}^n\dfrac{1}{k^2}\leq 1-\dfrac{1}{n} \leq 1$$
\item {\footnotesize Déterminer un réel $M$ qui majore $u_n$ pour tout entier $n\in\N^*$.}
$$ u_n=\sum_{k=1}^n\dfrac{1}{k^2}=1+\sum_{k=2}^n\dfrac{1}{k^2}\leq 1+1=2$$
\item {\footnotesize Montrer que $u$ converge.}
\\
$(u_n)$ est majorée par $2$, de plus elle est trivialement croissante donc elle converge.
\end{enumerate} 
}

\end{document}