\documentclass[a4paper,10pt,french]{article} \linespread{1} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Définitions de la feuille d'exercices \newcommand{\typedoc}{Proposition Bac Blanc TS} %%%%%%%%%%%%%%% 1ere ligne du titre de la feuille \newcommand{\Ch}{Nombres complexes, Suites, Exponentielles, Probabilit\'e} %%%%%%%%%%%%%%%% 2eme ligne et en haut à droite après \newcommand{\ch}{R\'evisions} %%%%%%%%%%%%%%% En haut à gauche (numero chapitre) \newcommand{\Cl}{T$^\text{ale}$S} \newcommand{\Profs}{D.Zancanaro} \newcommand{\Annee}{2015-2016} \newcommand{\serie}{Scientifique} \newcommand{\num}{0} \newcommand{\tps}{2h} \usepackage[np]{numprint} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Packages %\usepackage[french,lined,boxed,commentsnumbered]{algorithm2e} \input macrodwicky.tex \geometry{verbose,letterpaper,tmargin=1.8cm,bmargin=2cm,lmargin=1.5cm,rmargin=1.5cm} \renewcommand{\arraystretch}{1.2} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Début \begin{document} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% PRemière Page %\pagestyle{empty} %\begin{framed} %\begin{center} %\begin{LARGE} % BACCALAUREAT GENERAL GRIS %\end{LARGE} %\end{center} %\end{framed} % % %\vfill % %\begin{Large} %\begin{center} %\underline{SESSION 2016} %\end{center} %\end{Large} % %\vfill % % %\begin{Large} %\begin{center} %\textbf{MATHEMATIQUES-NON SPECIALISTE} %\end{center} %\end{Large} % %\vfill % % %\begin{Large} %\begin{center} %Série : \textbf{S} %\end{center} %\end{Large} % %\vfill % % %\begin{Large} %\begin{center} %DUREE DE L'EPREUVE : \textbf{4 Heures}. COEFFICIENT : \textbf{7}. %\end{center} %\end{Large} % %\vfill % % %\begin{Large} %\begin{center} %\textbf{Ce sujet comporte 4 pages numérotées de 1 à 4.} %\end{center} %\end{Large} % % % % %\begin{Large} %\begin{center} %L’utilisation de la calculatrice est autorisée. %\end{center} %\end{Large} % %\vfill %\begin{framed} %\begin{large} %\begin{center} %Le candidat doit traiter tous les exercices. %\end{center} %Il est invité à faire sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu’il %aura développée. Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des %raisonnements entreront pour une part importante dans l’appréciation des copies. %\end{large} %\end{framed} % %\pagebreak %\clearpage \pagenumbering{arabic} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Cadre jaune \fancypagestyle{styleLyc}{% \fancyhf{} \fancyhead{\href{http://www.wicky-math.fr.nf}{wicky-math.fr.nf}} \fancyfoot[LE,LO]{{\scriptsize\textsl{ \Profs \\ Lycée \LyDav }}} \fancyfoot[C]{\scriptsize\textsl{\Cl \\ \Annee}} \fancyfoot[LE,RO]{\bfseries\thepage / \pageref{LastPage}} } \pagestyle{styleLyc} %\fancyhead{\href{http://www.wicky-math.fr.nf}{wicky-math.fr.nf}} %\renewcommand{\chaptermark}[1]{\markboth{#1}{}} \renewcommand{\sectionmark}[1]{\markright{#1}} %\renewcommand{\chaptermark}[1]{\markboth{#1}{}} \renewcommand{\sectionmark}[1]{\markright{#1}} \lhead{Bac Gris} \rhead{Avril 2016} \Cr{BAC Gris} \newline %\textbf{Vous traiterez au choix au moins un exercice parmi les six suivants. En traiter au moins deux est conseillé. Si vous ne vous sentez pas encore à l'aise avec les suites, il est inutile de tourner la page.} \begin{exoi} \begin{footnotesize} On définit, pour tout entier naturel $n$, les nombres complexes $z$ par : \[\left\{\begin{array}{l c l} z_{0}&=& 1\\ z_{n+1}&=&\left(\dfrac{1}{2}+i\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right) z_{n},\: \text{pour tout entier naturel} \: n. \end{array}\right.\] On note $r_{n}$ le module du nombre complexe $z_{n}\: : r_{n} =\left|z_{n}\right|$. Dans le plan muni d'un repère orthonormé direct d'origine O, on considère les points $A_{n}$ d'affixes $z_{n}$. \end{footnotesize} \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item {\footnotesize Calculer $z_{1}, z_{2}$ et $z_{3}$ et les exprimer sous forme exponentielle. On vérifiera que $z_3=-1$. } $$z_1= \left(\dfrac{1}{2}+i\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right) z_{0}=\dfrac{1}{2}+i\dfrac{\sqrt{3}}{2}$$ $\left|\dfrac{1}{2}+i\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right|=\sqrt{\left(\dfrac{1}{2}\right)^2+\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^2}=\sqrt{\dfrac{1}{4}+\dfrac{3}{4}}=1$, un argument $\theta_1$ de $z_1$ vérifie $\cos\theta_1=\dfrac{1}{2}$ et $\sin\theta_1=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ et donc $\theta_1=\dfrac{\pi}{3}$. $$ z_1=e^{i\frac{\pi}{3}}$$ et donc $$ z_2=e^{i\frac{\pi}{3}}\times e^{i\frac{\pi}{3}}=e^{i\frac{2\pi}{3}}$$ et enfin $$ z_3=z_1\times z_2=e^{i\frac{\pi}{3}}\times e^{i\frac{2\pi}{3}}=e^{i\pi}=-1$$ \item {\footnotesize Placer les points $A_{1}$ et $A_{2}$ sur le graphique de l'\textbf{annexe, à rendre avec la copie}. } \begin{center} \psset{xunit=3.0cm,yunit=3.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25} \begin{pspicture*}(-1.56,-1.35)(1.9,1.3) \psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=0.5,Dy=0.5,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-1.56,-1.35)(1.9,1.3) \psline(0,0)(1,0) \pscircle(0,0){3} \psline[linestyle=dashed,dash=2pt 2pt](-0.5,0.87)(-0.5,-0.87) \psline[linestyle=dashed,dash=2pt 2pt](0.5,-0.87)(0.5,0.87) \psline(0,0)(0.5,0.87) \psline(0.5,0.87)(1,0) \psline(0.5,0.87)(-0.5,0.87) \psline(-0.5,0.87)(0,0) \psline(-0.5,0.87)(-1,0) \psline(-1,0)(-0.5,-0.87) \psline(-0.5,-0.87)(0,0) \psline(-0.5,-0.87)(0.5,-0.87) \psline(0.5,-0.87)(0,0) \psline(1,0)(0.5,-0.87) \begin{scriptsize} \psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](1,0) \rput[bl](1.02,0.04){\blue{$A_0$}} \psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](0,0) \rput[bl](0.03,0.04){\blue{$O$}} \psdots[dotstyle=*,linecolor=darkgray](-1,0) \rput[bl](-0.98,0.04){\darkgray{$A_3$}} \psdots[dotstyle=*,linecolor=darkgray](-0.5,-0.87) \rput[bl](-0.48,-0.83){\darkgray{$A_4$}} \psdots[dotstyle=*,linecolor=darkgray](0.5,-0.87) \rput[bl](0.52,-0.83){\darkgray{$A_5$}} \psdots[dotstyle=*,linecolor=darkgray](0.5,0.87) \rput[bl](0.52,0.9){\darkgray{$A_1$}} \psdots[dotstyle=*,linecolor=darkgray](-0.5,0.87) \rput[bl](-0.48,0.9){\darkgray{$A_2$}} \end{scriptsize} \end{pspicture*} \end{center} \item {\footnotesize Démontrer que le triangle O$A_{0}A_{1}$ est équilatéral.} Puisque $|z_1|=|z_0|=1$ il suit que $OA_0=OA_1=1$, donc le triangle $OA_0A_1$ est isocèle. De plus : $$z_1=e^{i\frac{\pi}{3}}z_0 \Longleftrightarrow \dfrac{z_1}{z_0}=e^{i\dfrac{\pi}{3}} \Longleftrightarrow arg\left(\dfrac{z_1}{z_0}\right)=\dfrac{\pi}{3}$$ Or, $arg\left(\dfrac{z_1}{z_0}\right)=\left(\overrightarrow{OA_0};\overrightarrow{OA_1}\right)$. Le triangle $OA_0A_1$ est donc équilatéral. %\item Écrire le nombre complexe $\dfrac{1}{2}+i\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ sous forme exponentielle. \item \begin{enumerate} \item {\footnotesize Déterminer le module et un argument du quotient $\dfrac{z_{n+1}}{z_n}$}. Puisque $z_{n+1}=e^{i\frac{\pi}{3}}z_n$ on a $\dfrac{z_{n+1}}{z_n}=e^{i\frac{\pi}{3}}$, par conséquent le module de $\dfrac{z_{n+1}}{z_n}$ vaut $1$ et un argument de $\dfrac{z_{n+1}}{z_n}$ vaut $\dfrac{\pi}{3}$ \item {\footnotesize Que peut-on en déduire quant à la nature du triangle $OA_nA_{n+1}$.} $\left|\dfrac{z_{n+1}}{z_n}\right|=1\Longleftrightarrow \dfrac{OA_{n+1}}{OA_n}=1\Longleftrightarrow OA_{n+1}=OA_n$ $arg\left(\dfrac{z_{n+1}}{z_n}\right)=\dfrac{\pi}{3}\Longleftrightarrow \left(\overrightarrow{OA_n};\overrightarrow{OA_{n+1}}\right)=\dfrac{\pi}{3}$ On en déduit donc que le triangle $OA_nA_{n+1}$ est éguilatéral. \end{enumerate} \end{enumerate} \item \begin{footnotesize} Démontrer que pour tout entier naturel $n$ on a $r_{n+1}=r_n$. En déduire une formule donnant $r_n$ en fonction de $n$. \end{footnotesize} Pour tout entier naturel $n$ on a $$r_{n+1}=|z_{n+1}|=\left|e^{i\frac{\pi}{3}}z_n\right|=\left|e^{i\frac{\pi}{3}}\right||z_n|=1\times r_n=r_n$$ Ainsi la suite $(r_n)$ est constante, $r_n=r_0=|z_0|=|1|=1$ et ce pour tout entier naturel $n$. \begin{footnotesize} Interpréter géométriquement le résultat précédent. \end{footnotesize} $r_n=|z_n|=OA_n$, nous venons de démontrer que $OA_n=1$ et donc que $A_n$ est un point du cercle trigonométrique pour tout entier naturel $n$. \item \begin{enumerate} \item {\footnotesize Démontrer que pour tout entier naturel $n$ on a $z_n=e^{i\frac{n\pi}{3}}$.} Notons $\mathscr P(n) : z_n=e^{i\frac{n\pi}{3}}$ \begin{itemize} \item \textit{Initialisation} : pour $n=0$ on a $e^{i\frac{0\pi}{3}}=1=z_0$. Par conséquent $\mathscr P$ est vraie pour $n=0$. \item \textit{Hérédité} : Montrons que si $z_n=e^{i\frac{n\pi}{3}}$ alors $z_{n+1}=e^{i\frac{(n+1)\pi}{3}}$ $$z_{n+1}=e^{i\frac{\pi}{3}}\times z_n=e^{i\frac{\pi}{3}}\times e^{i\frac{n\pi}{3}}=e^{i\frac{(n+1)\pi}{3}}$$ $\mathscr P$ est héréditaire et initialisée à partir de $0$, par conséquent pour tout entier naturel $n$ on a $z_n=e^{i\frac{n\pi}{3}}$. \end{itemize} \item \begin{footnotesize} Déterminer l'ensemble des valeurs de $n$ telles que $O$, $A_0$ et $A_n$ sont alignés. \end{footnotesize} $O$, $A_0$ et $A_n$ sont alignés si et seulement si $\left(\overrightarrow{OA_0};\overrightarrow{OA_n}\right)=0+k\pi$ où $k$ est un entier. Et, \begin{align*} &\left(\overrightarrow{OA_0};\overrightarrow{OA_n}\right)&=0+k\pi\\ \Longleftrightarrow & arg\left(\dfrac{z_n-z_O}{z_0-z_O}\right)&=0+k\pi\\ \Longleftrightarrow & arg\left(\dfrac{z_n-0}{1-0}\right)&=0+k\pi\\ \Longleftrightarrow & arg\left(z_n\right)&=0+k\pi\\ \Longleftrightarrow & arg\left(e^{i\frac{n\pi}{3}}\right)&=0+k\pi\\ \Longleftrightarrow & \frac{n\pi}{3}&=k\pi\\ \Longleftrightarrow & n&=3k\\ \end{align*} \end{enumerate} \begin{footnotesize} On note $L_{n}$ la longueur de la ligne brisée qui relie le point $A_{0}$ au point $A_{n}$ en passant successivement par les points $A_{1}, A_{2}, A_{3}$, etc. Ainsi $L_{n} = \displaystyle\sum_{i=0}^{n-1} A_{i}A_{i+1} = A_{0}A_{1} + A_{1}A_{2} + \ldots + A_{n-1}A_{n}.$ \end{footnotesize} \item \begin{enumerate} \item {\footnotesize Démontrer que pour tout entier naturel $n \::\: A_{n}A_{n+1} = 1$. } On sait que $OA_nA_{n+1}$ est équilatéral donc $A_{n}A_{n+1}=OA_n=|z_n|=r_n=1$. \item {\footnotesize Donner une expression de $L_{n}$ en fonction de $n$. } $$L_{n} = \displaystyle\sum_{i=0}^{n-1} A_{i}A_{i+1} = \displaystyle\sum_{i=0}^{n-1} OA_i=\displaystyle\sum_{i=0}^{n-1} r_i=\displaystyle\sum_{i=0}^{n-1} 1=n$$ \end{enumerate} \end{enumerate} \end{exoi} \pagebreak \begin{exoi} {\footnotesize Sur le graphique ci-dessous, on a tracé, dans le plan muni d'un repère orthonormé \Oij, la courbe représentative $\mathcal{C}$ d'une fonction $f$ définie et dérivable sur l'intervalle $] 0~;~+ \infty[$. } \begin{center} \psset{unit=1.2cm} \begin{pspicture}(-1.5,-2)(9,2.5) \psaxes[linewidth=1pt,Dx=20,Dy=20](0,0)(-1.5,-2)(9,2.5) \psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1) \psline(1,0)(1,2) \psline(-1.5,2)(9,2) \uput[dr](1,0){A}\uput[u](1,2){B}\uput[ul](0,2){C}\uput[dl](0,0){O} \uput[u](8,0.8){\blue $\mathcal{C}$} \uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$}\uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$} \psplot[plotpoints=1000,linewidth=1pt,linecolor=blue]{0.278}{9}{x ln 2 mul 2 add x div} \end{pspicture} \end{center} \begin{footnotesize} On dispose des informations suivantes : \setlength\parindent{6mm} \begin{itemize} \item les points A, B, C ont pour coordonnées respectives (1~;~0), (1~;~2), (0~;~2) ; \item la courbe $\mathcal{C}$ passe par le point B et la droite (BC) est tangente à $\mathcal{C}$ en B ; \item il existe deux réels positifs $a$ et $b$ tels que pour tout réel strictement positif $x$, \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \[f(x) = \dfrac{a + b\ln x}{x}. \] \end{footnotesize} \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item {\footnotesize En utilisant le graphique, donner les valeurs de $f(1)$ et $f'(1)$.} On observe que $f(1)=2$ et $f'(1)=0$. \item {\footnotesize Démontrer que pour tout réel strictement positif $x,\: f'(x) = \dfrac{(b - a) - b \ln x}{x^2}$. } Pour tout réel $x>0$ la fonction $f$ est dérivable et : $$ f'(x)=\dfrac{(a+b\ln x)'x-(a+b\ln x)\times 1}{x^2}=\dfrac{\frac{b}{x}\times x-a-b\ln x}{x^2}=\dfrac{b-a-b\ln x}{x^2}$$ \item {\footnotesize En déduire les réels $a$ et $b$.} $f(1)=2\Longleftrightarrow \dfrac{a+b\ln 1}{1}=2\Longleftrightarrow \dfrac{a+0}{1}=2\Longleftrightarrow a=2$ $f'(1)=0 \Longleftrightarrow \dfrac{b-2-b\ln 1}{1^2}=0\Longleftrightarrow b-2=0\Longleftrightarrow b=2$ \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item {\footnotesize Justifier que pour tout réel $x$ appartenant à l'intervalle $]0~;~+\infty[,\: f'(x)$ a le même signe que $- \ln x$. } On sait d'après les questions qui précèdent que $f'(x)=\dfrac{-2\ln x}{x^2}$. Or, $x^2>0$ pour $x>0$ donc le signe de $f'$ est le même que celui de $-2\ln x$ qui est le même que celui de $-\ln x$. \item\begin{footnotesize} Déterminer les limites de $f$ en 0 et en $+ \infty$. On pourra remarquer que pour tout réel $x$ strictement positif, $f(x) = \dfrac{2}{x} + 2\;\dfrac{\ln x}{x}$. \end{footnotesize} Remarquons que pour $x>0$ on a $\dfrac{2+ 2\ln x}{x}=\dfrac{2}{x}+2\dfrac{\ln x}{x}$, maintenant que nous l'avons remarqué ! poursuivons : $\lim\limits_{x\to+\infty} \dfrac{2}{x}=0$ et $\lim\limits_{x\to+\infty} 2\dfrac{\ln x }{x}=0$, par somme on en déduit que : $$\lim\limits_{x\to+\infty} f(x)=0 $$ $\lim\limits_{x\to 0^+} 2+2\ln x=-\infty$ et $\lim\limits_{x\to 0^+} \dfrac{1}{x}=+\infty $ Par conséquent, par produit : $$ \lim\limits_{x\to 0^+} \dfrac{2+2\ln x}{x}=\lim\limits_{x\to 0^+} (2+2\ln x)\times \dfrac{1}{x}=-\infty$$ \item {\footnotesize En déduire le tableau de variations de la fonction $f$.} Souvenons nous que $\ln x>0\Longleftrightarrow x>1$ et donc $-\ln x>0\Longleftrightarrow x<1$, par conséquent $f'(x)>0\Longleftrightarrow x<1$. %\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math} \input tabvar $$\tabvar{% \tx{x}&\tx{0}&&\tx{1}&&\tx{+\infty}\cr \tx{-\ln x}&\doubletraitmilieu&\tx{+}&\tx{0}&\tx{-}&\cr \tx{f'(x)}&\doubletraitmilieu&\tx{+}&\tx{0}&\tx{-}&\cr \tx{f(x)}&\txb{-\infty}&\fm&\txh{2}&\fd&\txb{0}\cr }$$ \end{enumerate} \item \begin{footnotesize} Démontrer que l'équation $f(x) = 1$ admet une unique solution $\alpha$ sur l'intervalle $]0~;~1]$. \textbf{On admet} qu'il existe un unique réel $5<\beta<6$ de l'intervalle $]1~;~+ \infty[$ tel que $f(\beta) = 1$. \end{footnotesize} La fonction $f$ est continue sur $\R^*+$, de plus elle est strictement croissante sur $]0;1]$, et $1\in ]-\infty;2]$, par conséquent d'après le corollaire du TVI l'équation $f(x)=1$ admet une unique solution dans $]0;1]$ que nous noterons $\alpha$ s'il le faut. \item \begin{footnotesize} On donne l'algorithme\index{algorithme} ci-dessous. \begin{center} \begin{tabular}{|l l|}\hline Variables :& $a, b$ et $m$ sont des nombres réels.\\ Initialisation :& Affecter à $a$ la valeur $0$. \\ &Affecter à $b$ la valeur 1.\\ Traitement :& Tant que $b - a > 0,1$\\ &\begin{tabular}{l|l} ~~& Affecter à $m$ la valeur $\dfrac{1}{2}(a + b)$.\\ ~~& Si $f(m) < 1$ alors Affecter à $a$ la valeur $m$.\\ ~~&Sinon Affecter à $b$ la valeur $m$.\\ ~~&Fin de Si.\\ \end{tabular}\\ &Fin de Tant que.\\ Sortie :&Afficher $a$.\\ & Afficher $b$.\\ \hline \end{tabular} \end{center} \end{footnotesize} \begin{enumerate} \item \begin{footnotesize} Faire tourner cet algorithme en complétant le tableau ci-dessous que l'on recopiera sur la copie. \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline &étape 1 &étape 2 &étape 3 &étape 4 &étape 5 \\ \hline $a$&0&0&0.25& 0.375&0.4375\\ \hline $b$&1&0.5&0.5&0.5& 0.5\\ \hline $b - a$&1&0.5&0.25&0.125&0.0625 \\ \hline $m$&0.5&0.25&3/8=0.375&0.4375&\\ \hline $f(m)\simeq$ & 1,23& -3.09 & 0.10 &0.79 &\\ \hline \end{tabularx} \end{center} L'algorithme affichera $a=0,4375$ et $b=0,5$. \end{footnotesize} \item {\footnotesize Que représentent les valeurs affichées par cet algorithme ? } Un encadrement de $\alpha$, ici nous avons : $$ 0,4375<\alpha<0,5$$ \item {\footnotesize Modifier l'algorithme ci-dessus pour qu'il affiche les deux bornes d'un encadrement de $\beta$ d'amplitude $10^{-1}$.} \begin{center} \begin{tabular}{|l l|}\hline Variables :& $a, b$ et $m$ sont des nombres réels.\\ Initialisation :& Affecter à $a$ la valeur $5$. \\ &Affecter à $b$ la valeur 6.\\ Traitement :& Tant que $b - a > 0,1$\\ &\begin{tabular}{l|l} ~~& Affecter à $m$ la valeur $\dfrac{1}{2}(a + b)$.\\ ~~& Si $f(m) < 1$ alors Affecter à $a$ la valeur $m$.\\ ~~&Sinon Affecter à $b$ la valeur $m$.\\ ~~&Fin de Si.\\ \end{tabular}\\ &Fin de Tant que.\\ Sortie :&Afficher $a$.\\ & Afficher $b$.\\ \hline \end{tabular} \end{center} \end{enumerate} \item {\footnotesize Le but de cette question est de démontrer que la courbe $\mathcal{C}$ partage le rectangle OABC en deux domaines d'aires égales. } \begin{enumerate} \item {\footnotesize Justifier que cela revient à démontrer que $\displaystyle\int_{\frac{1}{\text{e}}}^1 f(x)\:\text{d}x = 1$. } Déterminons d'abord la solution de l'équation $f(x)=0 \Longleftrightarrow \dfrac{2+2\ln x}{x}=0 \Longleftrightarrow 2+2\ln x=0 \Longleftrightarrow 2\ln x=-2\Longleftrightarrow \ln x=-1 \Longleftrightarrow x=e^{-1}$. L'aire du rectangle OABC vaut $1\times 2=2$, la moitié de l'aire du rectangle $OABC=1$. Nous cherchons donc à démontrer que l'aire du domaine délimité par la représentation graphique de $\mathscr C_f$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x=e^{-1}$ et $x=1$ vaut $1$. (Remarquons que sur l'intervalle $[e^{-1};1]$ la fonction $f$ est strictement croissante et positive avec pour maximum $2$ donc $\mathscr C_f$ est intérieure au rectangle OABC sur l'intervalle considéré). Bref on veut démontrer que : $\displaystyle\int_{\frac{1}{\text{e}}}^1 f(x)\:\text{d}x = 1$ \item {\footnotesize En remarquant que l'expression de $f(x)$ peut s'écrire $\dfrac{2}{x} + 2 \times \dfrac{1}{x} \times \ln x$, déterminer une primitive de $f(x)$.} Une primitive de $\dfrac{2}{x} + 2 \times \dfrac{1}{x} \times \ln x$ est la fonction $F$ définie par $F(x)=2\ln x+(\ln x)^2$ (en effet la dérivée de $(\ln x)^2=2\dfrac{1}{x}\ln x$) \item {\footnotesize Terminer la démonstration.} $$ \displaystyle\int_{e^{-1}}^1 f(x)\:\text{d}x =[F(x)]_{e^{-1}}^1=F(1)-F(e^{-1})=2\ln 1+(\ln 1)^2-(2\ln e^{-1}+(\ln e^{-1})^2)=-(-2+(-1)^2)=-(-2+1)=1$$ \end{enumerate} \end{enumerate} \end{exoi} \begin{exoi} \begin{footnotesize} On considère deux suites de nombres réels $\left(d_n\right)$ et $\left(a_n\right)$ définies par $d_0 = 300$, $a_0 = 450$ et, pour tout entier naturel $n \geqslant 0$ \[\renewcommand\arraystretch{1.8}\left\{\begin{array}{l c l} d_{n+1} &=&\dfrac{1}{2}d_n + 100\\ a_{n+1} &=&\dfrac{1}{2}d_n + \dfrac{1}{2}a_n + 70 \end{array}\right.\renewcommand\arraystretch{1}\] \end{footnotesize} \begin{enumerate} \item {\footnotesize Calculer $d_1$ et $a_1$.} $d_1=\dfrac{1}{2}d_0+100=\dfrac{1}{2}300+100=150+100=250$ et $a_1=\dfrac{1}{2}300+\dfrac{1}{2}450+70=150+225+70=220+225=445$. \item \begin{enumerate} \item \begin{footnotesize} Pour tout entier naturel $n$, on pose $e_n = d_n - 200$. Montrer que la suite $\left(e_n\right)$ est géométrique. \end{footnotesize} Pour tout entier naturel $n$ on a : $$ e_{n+1}=d_{n+1}-200=\dfrac{1}{2}d_n + 100-200=\dfrac{1}{2}d_n - 100=\dfrac{1}{2}\left(d_n-200\right)\dfrac{1}{2}e_n$$ Par conséquent $(e_n)$ est une suite géométrique de raison $\dfrac{1}{2}$ et de premier terme $e_0=d_0-200=300-200=100$. \item {\footnotesize En déduire l'expression de $d_n$ en fonction de $n$.} Puisque $(e_n)$ est géométrique on a : $$ e_n=e_0\times q^n=100 \times \left(\dfrac{1}{2}\right)^2=\dfrac{100}{2^n}$$ Puisque $e_n=d_n-200$ alors il suit que $$d_n=e_n+200=\dfrac{100}{2^n}+200$$ \item {\footnotesize La suite $\left(d_n\right)$ est-elle convergente ? Justifier.} On sait que $d_n=e_n+200=\dfrac{100}{2^n}+200=100\times (0.5)^n+200$ Comme $-1<0.5<1$ alors $\lim\limits_{n\to+\infty} 0.5^n=0$ donc : $$\lim\limits_{n\to+\infty} d_n=100\times 0+200=200 $$ \end{enumerate} \item \begin{footnotesize} On admet que pour tout entier naturel $n$, \[a_n = 100n\left(\dfrac{1}{2}\right)^n + 110\left(\dfrac{1}{2}\right)^n + 340.\] \end{footnotesize} \begin{enumerate} \item {\footnotesize Montrer que pour tout entier $n$ supérieur ou égal à 3, on a $2n^2 \geqslant (n + 1)^2$.} $2n^2\geqslant (n+1)^2\Longleftrightarrow 2n^2\geqslant n^2+2n+1\Longleftrightarrow n^2-2n-1\geqslant 0$ Etudions le signe du trinôme $n^2-2n-1$ : $\Delta=b^2-4ac=4-4\times 1\times (-1)=8$, trinôme qui admet donc deux racines que voici : $$ n_1=\dfrac{2-2\sqrt{2}}{2}=1-\sqrt{2}\qquad \text{et}\qquad n_2=1+\sqrt{2}$$ On obtient alors le tableau de signe de $n^2-2n-1$ : %\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math} \input tabvar $$\tabvar{% \tx{x}&\tx{-\infty}&&\tx{1-\sqrt{2}}&&\tx{1+\sqrt{2}}&&\tx{+\infty}\cr \tx{n^2-2n-1}&&\tx{+}&\tx{0}&\tx{-}&\tx{0}&\tx{+}&\cr }$$ Ainsi dès que $n\geq 3$ on a $n^2-2n-1>0$ \item \begin{footnotesize} Montrer par récurrence que pour tout entier $n$ supérieur ou égal à 4, $2^n \geqslant n^2$. \end{footnotesize} Notons $\mathscr P(n) : 2^n\geqslant n^2$. \begin{itemize} \item \textit{Initialisation} : pour $n=4$ alors $2^4=16$ et $4^2=16$ et on a bien $16\geqslant 16$ donc $\mathscr P$ est vraie pour $n=4$. \item \textit{Hérédité} : Montrons que si $2^n\geqslant n^2$ alors $2^{n+1}\geqslant (n+1)^2$ $2^{n+1}=2^n\times 2\geqslant n^2\times 2$ Et d'après la question précédente pour $n\geq 3$ on a $2n^2\geq (n+1)^2$ d'où : $$2^{n+1}\geq (n+1)^2 $$ $\mathscr P$ est héréditaire et initialisée à partir de $n=4$, donc pour tout entier $n$ supérieur ou égal à 4, $2^n \geqslant n^2$. \end{itemize} \item \begin{footnotesize} En déduire que pour tout entier $n$ supérieur ou égal à 4, $0 \leqslant 100n\left(\dfrac{1}{2}\right)^n \leqslant \dfrac{100}{n}$. \end{footnotesize} $ 100n\left(\dfrac{1}{2}\right)^n=\dfrac{100n}{2^n}$ Nous savons d'après la question précédente que, pour $n\geq 4$ : $$ 2^n\geq n^2 \Longleftrightarrow \dfrac{1}{2^n}\leq \dfrac{1}{n^2}$$ et donc : $$ \dfrac{100n}{2^n}\leq \dfrac{100n}{n^2}=\dfrac{100}{n}$$ De plus $0 \leqslant 100n\left(\dfrac{1}{2}\right)^n$ de manière évidente d'où : $$0 \leqslant 100n\left(\dfrac{1}{2}\right)^n \leqslant \dfrac{100}{n}$$ \item {\footnotesize Étudier la convergence de la suite $\left(a_n\right)$.} Puisque $\lim\limits_{n\to+\infty} \dfrac{100}{n}=0$ et puisque $0 \leqslant 100n\left(\dfrac{1}{2}\right)^n \leqslant \dfrac{100}{n}$ on obtient d'après le théorème des gendarmes que : $$ \lim\limits_{n\to+\infty} 100n\left(\dfrac{1}{2}\right)^n =0$$ De plus $110\left(\dfrac{1}{2}\right)^2=110\times 0.5^n$, or $-1<0.5<1$ donc $$ \lim\limits_{n\to+\infty} 110\times 0.5^n=110\times 0=0$$ Finalement, $$ \lim\limits_{n\to+\infty} a_n= \lim\limits_{n\to+\infty} 100n\left(\dfrac{1}{2}\right)^n + 110\left(\dfrac{1}{2}\right)^n + 340=0+0+340=340$$ \end{enumerate} \end{enumerate} \end{exoi} \pagebreak \begin{exoi}\hfill \textbf{Loi de Hardy-Weinberg} \begin{footnotesize} Certains gènes peuvent avoir deux états : $A$ (allèle dominant) ou $a$ (allèle récessif). Les couples de gènes sur des paires de chromosomes n'ayant pas forcément les mêmes allèles, un individu donné peut avoir l'un des trois génotypes suivants : $$AA\qquad\text{ou}\qquad Aa\qquad\text{ou}\qquad aa$$ Lors d'un appariement entre deux individus, l'enfant récupère un allèle de chacun de ses deux parents. Par exemple si un parent a le génotype $AA$ et l'autre $Aa$, l'enfant sera du type $AA$ ou $Aa$. \textbf{On pourra utiliser l'arbre fournit en annexe pour répondre aux questions qui suivent.} \end{footnotesize} %\partieBac{Sur un exemple} \begin{footnotesize} On considère une population dont les proportions des génotypes sont données par le tableau suivant : \begin{center} \begin{tabular}{|c|c|c|c|c|} \hline Génotype & AA & Aa & aa & Total\tabularnewline \hline Proportion & $p_0=0.4$ & $q_0=0.3$ & $r_0=0.3$ & 1\tabularnewline \hline \end{tabular} \end{center} On se place dans l'hypothèse selon laquelle les couples se forment au hasard relativement à ces deux allèles (appariement aléatoire). \end{footnotesize} \begin{enumerate} \item{\footnotesize Calculer les probabilités des événements suivants :} \begin{enumerate} \item {\footnotesize $E$ : \og un enfant a deux parents de type AA \fg{} ;} $$ p(E)=0,4\times 0,4=0,4^2=\dfrac{16}{100}=0,16$$ \item {\footnotesize $F$ : \og un enfant a un parent de type AA et un parent de type Aa \fg{}} $$ p(F)=0,4\times 0,3+0,3\times 0,4=\dfrac{12}{100}\times 2=0,24$$ \item {\footnotesize $G$ : \og un enfant a deux parents de type $aa$ \fg{}} $$ p(G)=0,3\times 0,3=0,09$$ \end{enumerate} \item {\footnotesize Quelle est la probabilité pour que l’enfant soit de type AA sachant que :} \begin{enumerate} \item {\footnotesize les deux parents sont de type AA ?} Ceci est une certitude, cette probabilité vaut $1$. \item {\footnotesize un des parents est de type Aa et l'autre de type AA ?} Il y a une chance sur deux d’hériter A ou a du premier parent, et il est totalement certain d'hériter A du second parent la probabilité cherchée vaut donc $\dfrac{1}{2}$. \item {\footnotesize les deux parents sont de type Aa ?} Cette probabilité vaut $\dfrac{1}{2}\times \dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{4}$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item{\footnotesize Démontrer que $p_1=\left(p_0+\dfrac{1}{2}q_0\right)^2$. Proposer une relation similaire pour $r_1$.} $$ p_1=p_0^2+2\times \dfrac{1}{2}p_0q_0+\dfrac{1}{4}q_0^2=\left(p_0+\dfrac{1}{2}q_0\right)^2$$ De même : $$ r_1=r_0^2+2\times \dfrac{1}{2}r_0q_0+\dfrac{1}{4}q_0^2=\left(r_0+\dfrac{1}{2}q_0\right)^2$$ \item {\footnotesize Calculer la probabilité $p_1$ pour que l’enfant soit de type AA.} $$ p_1=0,4\times 0,4+0,4\times 0,3\times \dfrac{1}{2}+0,3\times 0,4\times \dfrac{1}{2}+0,3\times 0,3\times \dfrac{1}{4}=0,16+0,12+0,0225=0,3025$$ \item {\footnotesize Calculer de même la probabilité $r_1$ pour que l’enfant soit de type aa.} $$ r_1=0,3\times 0,3+0,3\times 0,3\times \dfrac{1}{2}\times 2+\dfrac{1}{4}\times 0,3\times 0,3=0.09+0.09+0.0225=0.2025$$ \item {\footnotesize En déduire la probabilité $q_1$ pour que l’enfant soit de type Aa.} $$ q_1=1-r_1-p_1=1-0,2025-0,3025=1-0,5050=0,4950$$ \end{enumerate} \item {\footnotesize Calculer de même les probabilités $p_2$, $q_2$ et $r_2$ pour qu’un enfant de seconde génération soit de type AA, Aa et aa. Que remarque-t-on ?} $$ p_2=p_1^2+2\times \dfrac{1}{2}p_1q_1+\dfrac{1}{4}q_1^2=\left(p_1+\dfrac{1}{2}q_1\right)^2=\left(0.3025+0.5\times 0.4950\right)^2=(0.3025+0.2475)^2=0.55^2=0.3025$$ De même on trouve : $$ r_2=r_1^2+2\times \dfrac{1}{2}r_1q_1+\dfrac{1}{4}q_1^2=\left(r_1+\dfrac{1}{2}q_1\right)^2=\left(0.2025+0.2475\right)^2=0.45^2=0.2025$$ et donc enfin $q_2=1-r_2-p_2=0,4950$ On constate que $p_2=p_1$, $q_2=q_1$ et $r_2=r_1$. \end{enumerate} % %\partieBac{Généralisation} %$p_0$, $q_0$ et $r_0$ sont maintenant des nombres positifs de somme égale à 1. %\begin{enumerate} %\item % Montrer que la probabilité pour qu’enfant soit de type AA est : %$$p_1=\left(p_0+\dfrac{1}{2}q_0\right)^2 $$ %\item On admet que $r_1=\left(r_0+\dfrac{1}{2}q_0\right)^2$ et on note $\alpha=p_0-r_0$. %\begin{enumerate} %\item Montrer que $$ p_1=\dfrac{(1+\alpha)^2}{4}$$ %\item En déduire les expressions de $r_1$ puis de $q_1$ en fonction de $\alpha$. %\item Démontrer que $p_1-r_1=\dfrac{\alpha}{2}$. %\end{enumerate} %\item Donner les expressions de $p_2$, $q_2$ et $r_2$ en fonction de $\alpha$. %\end{enumerate} \end{exoi} \begin{center} %:-+-+-+- Engendré par : http://math.et.info.free.fr/TikZ/Arbre/ \begin{center} % Racine en Haut, développement vers le bas \begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1] % Styles (MODIFIABLES) \tikzstyle{fleche}=[->,>=latex,thick] \tikzstyle{noeud}=[fill=yellow,circle,draw] \tikzstyle{feuille}=[fill=yellow,circle,draw] \tikzstyle{etiquette}=[midway,fill=white,draw] % Dimensions (MODIFIABLES) \def\DistanceInterNiveaux{2.4} \def\DistanceInterFeuilles{1.3} % Dimensions calculées (NON MODIFIABLES) \def\NiveauA{(-0)*\DistanceInterNiveaux} \def\NiveauB{(-1)*\DistanceInterNiveaux} \def\NiveauC{(-2)*\DistanceInterNiveaux} \def\NiveauD{(-3)*\DistanceInterNiveaux} \def\InterFeuilles{(1)*\DistanceInterFeuilles} % Noeuds (MODIFIABLES : Styles et Coefficients d'InterFeuilles) \node[noeud] (R) at ({(7)*\InterFeuilles},{\NiveauA}) {$ $}; \node[noeud] (Ra) at ({(1.5)*\InterFeuilles},{\NiveauB}) {$AA$}; \node[noeud] (Raa) at ({(0)*\InterFeuilles},{\NiveauC}) {$AA$}; \node[feuille] (Raaa) at ({(0)*\InterFeuilles},{\NiveauD}) {$AA$}; \node[noeud] (Rab) at ({(1.5)*\InterFeuilles},{\NiveauC}) {$Aa$}; \node[feuille] (Raba) at ({(1)*\InterFeuilles},{\NiveauD}) {$AA$}; \node[feuille] (Rabb) at ({(2)*\InterFeuilles},{\NiveauD}) {$Aa$}; \node[noeud] (Rac) at ({(3)*\InterFeuilles},{\NiveauC}) {$aa$}; \node[feuille] (Raca) at ({(3)*\InterFeuilles},{\NiveauD}) {$Aa$}; \node[noeud] (Rb) at ({(7)*\InterFeuilles},{\NiveauB}) {$Aa$}; \node[noeud] (Rba) at ({(4.5)*\InterFeuilles},{\NiveauC}) {$AA$}; \node[feuille] (Rbaa) at ({(4)*\InterFeuilles},{\NiveauD}) {$AA$}; \node[feuille] (Rbab) at ({(5)*\InterFeuilles},{\NiveauD}) {$Aa$}; \node[noeud] (Rbb) at ({(7)*\InterFeuilles},{\NiveauC}) {$Aa$}; \node[feuille] (Rbba) at ({(6)*\InterFeuilles},{\NiveauD}) {$AA$}; \node[feuille] (Rbbb) at ({(7)*\InterFeuilles},{\NiveauD}) {$Aa$}; \node[feuille] (Rbbc) at ({(8)*\InterFeuilles},{\NiveauD}) {$aa$}; \node[noeud] (Rbc) at ({(9.5)*\InterFeuilles},{\NiveauC}) {$aa$}; \node[feuille] (Rbca) at ({(9)*\InterFeuilles},{\NiveauD}) {$Aa$}; \node[feuille] (Rbcb) at ({(10)*\InterFeuilles},{\NiveauD}) {$aa$}; \node[noeud] (Rc) at ({(12.5)*\InterFeuilles},{\NiveauB}) {$aa$}; \node[noeud] (Rca) at ({(11)*\InterFeuilles},{\NiveauC}) {$AA$}; \node[feuille] (Rcaa) at ({(11)*\InterFeuilles},{\NiveauD}) {$Aa$}; \node[noeud] (Rcb) at ({(12.5)*\InterFeuilles},{\NiveauC}) {$Aa$}; \node[feuille] (Rcba) at ({(12)*\InterFeuilles},{\NiveauD}) {$Aa$}; \node[feuille] (Rcbb) at ({(13)*\InterFeuilles},{\NiveauD}) {$aa$}; \node[noeud] (Rcc) at ({(14)*\InterFeuilles},{\NiveauC}) {$aa$}; \node[feuille] (Rcca) at ({(14)*\InterFeuilles},{\NiveauD}) {$aa$}; % Arcs (MODIFIABLES : Styles) \draw[fleche] (R)--(Ra) node[etiquette] {$ p_0$}; \draw[fleche] (Ra)--(Raa) node[etiquette] {$ p_0$}; \draw[fleche] (Raa)--(Raaa) node[etiquette] {$1$}; \draw[fleche] (Ra)--(Rab) node[etiquette] {$ q_0$}; \draw[fleche] (Rab)--(Raba) node[etiquette] {$1/2$}; \draw[fleche] (Rab)--(Rabb) node[etiquette] {$1/2$}; \draw[fleche] (Ra)--(Rac) node[etiquette] {$r_0 $}; \draw[fleche] (Rac)--(Raca) node[etiquette] {$1$}; \draw[fleche] (R)--(Rb) node[etiquette] {$ q_0$}; \draw[fleche] (Rb)--(Rba) node[etiquette] { $p_0 $}; \draw[fleche] (Rba)--(Rbaa) node[etiquette] {$1/2$}; \draw[fleche] (Rba)--(Rbab) node[etiquette] {$1/2$}; \draw[fleche] (Rb)--(Rbb) node[etiquette] {$ q_0$}; \draw[fleche] (Rbb)--(Rbba) node[etiquette] {$1/4$}; \draw[fleche] (Rbb)--(Rbbb) node[etiquette] {$1/2$}; \draw[fleche] (Rbb)--(Rbbc) node[etiquette] {$1/4$}; \draw[fleche] (Rb)--(Rbc) node[etiquette] {$ r_0$}; \draw[fleche] (Rbc)--(Rbca) node[etiquette] {$1/2$}; \draw[fleche] (Rbc)--(Rbcb) node[etiquette] {$1/2$}; \draw[fleche] (R)--(Rc) node[etiquette] {$ r_0$}; \draw[fleche] (Rc)--(Rca) node[etiquette] {$ p_0$}; \draw[fleche] (Rca)--(Rcaa) node[etiquette] {$1$}; \draw[fleche] (Rc)--(Rcb) node[etiquette] {$ q_0$}; \draw[fleche] (Rcb)--(Rcba) node[etiquette] {$1/2$}; \draw[fleche] (Rcb)--(Rcbb) node[etiquette] {$1/2$}; \draw[fleche] (Rc)--(Rcc) node[etiquette] {$ r_0$}; \draw[fleche] (Rcc)--(Rcca) node[etiquette] {$1$}; \end{tikzpicture} \end{center} %:-+-+-+-+- Fin \end{center} \pagebreak % % \begin{exoi} % % Une entreprise cherche à recruter une secrétaire. Alice, Bob et Carole ont envoyé leur candidature pour occuper ce poste. La directrice des ressources humaines, Danièle, est chargé du recrutement. Débordé comme chaque semaine, Danièle décide de mettre en place la stratégie suivante pour effectuer son choix : % \begin{itemize} % \item Elle tire au sort l'ordre dans lequel elle va recevoir ses candidats ; ainsi il y a une chance sur trois qu'elle décide de recevoir Alice en premier, en deuxième ou en troisième. % \item A l'issue de chaque entretien, elle choisit si elle engage le candidat ou si elle le refuse pour le poste. % \item Dès qu'elle choisit d'engager un candidat elle ne reçoit pas les suivants. % \item Dès qu'elle refuse un candidat, elle ne revient plus sur son choix et celui-ci peut aller chercher un travail ailleurs. % \item Si elle fait passer le troisième entretien, alors elle a refusé les deux premiers candidats, auquel cas elle se retrouve obliger d'engager cet ultime candidat. % \item Elle a la capacité de classer les candidats dès qu'elle les a rencontré. % \end{itemize} % % % Pour mieux comprendre voici trois exemples de ce qui peut arriver : % % \textit{Exemple 1} : Danièle a choisit de recevoir Alice, Bob et Carole dans cet ordre (après tirage au sort). Suite à son entretien avec Alice, elle a choisit de refuser sa candidature et a donc reçu Bob. Elle s'est alors rendu compte qu'Alice était plus adapté pour le poste mais c'est Bob qu'elle a engagé. Elle n'a donc jamais rencontré Carole. % % \textit{Exemple 2} : Danièle a choisit de recevoir Carole, Bob et Alice dans cet ordre (après tirage au sort). Suite à son entretien avec Carole, elle a choisit de refuser sa candidature et a donc reçu Bob. Moins convaincant que Carole qu'elle venait de refuser, elle a choisit de refuser Bob aussi. Elle a alors reçu Alice qu'elle n'a eu d'autre choix que d'engager. Quoiqu'elle ait engagé Alice, suite à ses trois entretiens elle juge que Carole était plus convaincante qu'Alice, elle même plus convaincante que Bob. % % \textit{Exemple 3} : Danièle a choisit de recevoir Bob, Carole et Alice dans cet ordre (après tirage au sort). Elle a engagé Bob suite à son entretien et n'a donc jamais rencontré Carole et Alice. % % \textbf{But du problème} : Le but du problème est de comparer deux stratégies et de déterminer laquelle permet à Danièle de s'assurer le meilleur recrutement. % % \partieBac{Première stratégie} % % Danièle adopte la stratégie suivante : à l'issue de chaque entretien, elle lance une pièce de monnaie, recrute le candidat si celle ci tombe sur pile. % % % On note $R$ l'événement : \og Alice est recruté \fg{} ; % % On note $E_1$ l'événement \og A l'issue du premier entretien, un candidat est engagé \fg{} % % On note $E_2$ l'événement \og A l'issue du deuxième entretien, un candidat est engagé \fg{} % % On note $E_3$ l'événement \og A l'issue du troisième entretien, un candidat est engagé \fg{} % % \begin{enumerate} % %\item Donner $p(R)$. % \item Recopier et compléter l'arbre suivant : % \begin{center} %%\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math} %\psset{nodesep=0mm,levelsep=20mm,treesep=10mm} %\pstree[treemode=R]{\Tdot} %{ %\Tdot~[tnpos=r]{$E_1$}\taput{\small $\dots$} %\pstree %{\Tdot~[tnpos=a]{$\overline{E_1}$}\tbput{\small $\dots$}} %{ %\Tdot~[tnpos=r]{$E_2$}\taput{\small $\dots$} %\pstree %{\Tdot~[tnpos=a]{$\overline{E_2}$}\tbput{\small $\dots$}} %{ %\Tdot~[tnpos=r]{$E_3$}\taput{\small $\dots$} %} %} %} % \end{center} % \item Déterminer les probabilités suivantes : % \begin{enumerate} % \item $p(E_1)$ ; % \item $p(\overline{E_1}\cap E_2)$ ; % \item $p(\overline{E_1}\cap \overline{E_2}\cap E_3)$. % \end{enumerate} %% \item Démontrer que la probabilité qu'Alice ait passé son entretien en deuxième position sachant qu'elle a été engagé vaut $\dfrac{1}{4}$. % \item qu'elle est la probabilité que Danièle ait effectué le meilleur choix ? % \end{enumerate} % % \partieBac{Deuxième stratégie} % % Dans cette partie, on suppose que Danièle refuse systématiquement le premier candidat, accepte le second si celui-ci est meilleur que le premier et accepte le troisième si le second candidat est moins bon que le premier. % % Qu'elle est la probabilité que Danièle ait recruté le meilleur candidat ? % %\partieBac{Prolongement} % %Danièle reçoit au dernier moment la candidature de Félipé, proposer la meilleure stratégie possible pour que le probabilité que Danièle le meilleur candidat soit la plus importante possible. % \end{exoi} % %\pagebreak \begin{exoi} \textit{Les parties $A$ et $B$ peuvent être traitées de manière indépendante} \partieBac{} \begin{footnotesize} Afin de crypter un message, on utilise un chiffrement affine. Chaque lettre de l'alphabet est associée à un nombre entier comme indiqué dans le tableau ci-dessous : \end{footnotesize} \begin{center} % Visionner le code LaTeX du paragraphe 0 \begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline A & B & C & D & E & F & G & H & I & J & K & L & M & N & O & P & Q & R & S & T & U & V & W & X & Y & Z\tabularnewline \hline 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12 & 13 & 14 & 15 & 16 & 17 & 18 & 19 & 20 & 21 & 22 & 23 & 24 & 25\tabularnewline \hline \end{tabular} \end{center} \begin{footnotesize} Soit $x$ le nombre associé à la lettre à coder. On détermine le reste $y$ de la division euclidienne de $7x+5$ par $26$, puis on en déduit la lettre associé à $y$ (c'est elle qui code la lettre d'origine). \end{footnotesize} \textit{Exemple} : \begin{footnotesize} $M$ correspond à $x=12$ $7\times 12+5=89$ Or, $89\equiv 11[26]$ et $11$ correspond à la lettre $L$, donc la lettre $M$ est codée par la lettre $L$. \end{footnotesize} \begin{enumerate} \item {\footnotesize Coder la lettre $L$.} $7\times 11+5=82$ et $82\equiv 82-52[26]\Longleftrightarrow 82\equiv 30-26[26]\Longleftrightarrow 82\equiv 4[26]$ La lettre L est transformé en E. \item \begin{enumerate} \item {\footnotesize Soit $k$ un entier relatif. Montrer que si $k\equiv 7x[26]$ alors $15k\equiv x[26]$.} Si $k\equiv 7x[26]$ alors $15k\equiv 15\times 7x[26]$. Or, $15\times 7=105=4\times 26+1$, donc $15\times 7\equiv 1[26] \Longrightarrow 15\times 7x\equiv x[26]$ Par conséquent $15k\equiv x[26]$. \item {\footnotesize Démontrer la réciproque de l'implication précédente.} Si $15k\equiv x[26]$ alors $7\times 15k\equiv 7x[26]$ Or, $7\times 15\equiv 1[26]$ donc $7\times 15k\equiv k[26]$ Par conséquent $k\equiv 7x[26]$. \item {\footnotesize En déduire que $y\equiv 7x+5[26]$ équivaut à $x\equiv 15y+3[26]$.} $y\equiv 7x+5[26]\Longleftrightarrow y-5\equiv 7x[26]$ En posant $k=y-5$ et en utilisant le résultat des deux questions précédentes, on obtient : $$y-5\equiv 7x[26]\Longleftrightarrow k\equiv 7x[26] \Longleftrightarrow 15k\equiv x[26]\Longleftrightarrow 15(y-5)\equiv x[26]\Longleftrightarrow 15y-75\equiv x[26]\Longleftrightarrow 15y\equiv x+75[26] $$ Or, $75=3\times 26-3$ donc $75\equiv -3[26]\Longleftrightarrow x+75\equiv x-3[26]$ Au final nous avons démontré que $$y\equiv 7x+5[26]\Longleftrightarrow 15y\equiv x+75[26] \Longleftrightarrow 15y\equiv x-3[26] \Longleftrightarrow x\equiv 15y+3[26]$$ \end{enumerate} \item {\footnotesize A l'aide de la question précédente décoder la lettre $F$.} Si la lettre une fois codée est F alors $y=5$, et donc d'après la question précédente $x\equiv 15\times 5+3[26]\Longleftrightarrow x\equiv 78[26]\Longleftrightarrow x\equiv 0[26]$. A est la lettre qui une fois codé vaut F. \end{enumerate} \partieBac{} \begin{footnotesize} On considère les suites $(a_n)$ et $(b_n)$ telles que $a_0$ et $b_0$ sont des entiers compris entre $0$ et $25$ inclus et pour tout entier naturel $n$, $$ a_{n+1}=7a_n+5\qquad \text{et}\qquad b_{n+1}=15b_n+3$$ \end{footnotesize} \begin{enumerate} \item \begin{footnotesize} Soit $X_n$ et $b$ les vecteurs colonnes $ X_n=\begin{pmatrix} a_n\\ b_n \end{pmatrix} \qquad \text{et}\qquad b=\begin{pmatrix} 5\\ 3 \end{pmatrix}$ Déterminer la matrice diagonale $A$ d'ordre $2$ telle que pour tout entier naturel $n$ on ait :$$X_{n+1}=AX_n+b$$ \end{footnotesize} Notons $A=\begin{pmatrix} \alpha & 0\\ 0 & \beta \end{pmatrix}$, $A$ vérifie : $$\begin{pmatrix} a_{n+1}\\ b_{n+1} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \alpha & 0\\ 0 & \beta \end{pmatrix}\times \begin{pmatrix} a_n\\ b_n \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 5\\ 3 \end{pmatrix}\Longleftrightarrow \begin{pmatrix} a_{n+1}\\ b_{n+1} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \alpha a_n+5\\ \beta b_n+3 \end{pmatrix}$$ Puisque $ a_{n+1}=7a_n+5 \text{ et } b_{n+1}=15b_n+3$, on a $\alpha=7$ et $\beta=15$, donc la matrice $A$ vaut : $$ A=\begin{pmatrix} 7&0\\ 0&15 \end{pmatrix}$$ \item \begin{footnotesize} Soit $S=\begin{pmatrix} -\frac{5}{6}\\ -\frac{3}{14} \end{pmatrix}$. Vérifier que $AS+b=S$. \end{footnotesize} Soit vérifions le : $$ AS+b=\begin{pmatrix} 7&0\\ 0&15 \end{pmatrix}\times \begin{pmatrix} -\frac{5}{6}\\ -\frac{3}{14} \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 5\\ 3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -\dfrac{35}{6}\\ -\dfrac{45}{14} \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 5\\ 3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -\dfrac{35}{6}+5\\ -\dfrac{45}{14}+3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -\dfrac{5}{6}\\ -\dfrac{3}{14} \end{pmatrix}=S$$ \item {\footnotesize Pour tout entier naturel $n$, on définit le vecteur $Y_n$ tel que $Y_n=X_n-S$.} \begin{enumerate} \item \begin{footnotesize} Montrer que pour tout entier naturel $n$, $$ Y_{n+1}=AY_n$$ \end{footnotesize} Pour tout entier naturel $n$, $$ Y_{n+1}=X_{n+1}-S=AX_n+b-S$$ puisque $X_{n+1 }=AX_n+b$, et puisque $Y_n=X_n-S\Longleftrightarrow X_n=Y_n+S$ on obtient : $$ Y_{n+1}=A(Y_n+S)+b-S=AY_n+AS+b-S=AY_n+S-S=AY_n$$ \item \begin{footnotesize} En déduire que pour tout entier naturel $n$, $$ Y_n=A^nY_0$$ \end{footnotesize} Notons $\mathscr P(n) : Y_n=A^nY_0$ et démontrons cette propriété par récurrence : \begin{itemize} \item \textbf{\textit{Initialisation}} : pour $n=0$ : $A^0\times Y_0=Y_0$ donc la propriété $\mathscr P$ est vraie pour $n=0$. \item \textbf{\textit{Hérédité}} : Montrons que $Y_n=A^nY_0$ alors $Y_{n+1}=A^{n+1}Y_0$ On sait que $Y_{n+1}=AY_n$ et que $Y_n=A^nY_0$ d'où : $$Y_{n+1}=A\times A^nY_0=A^{n+1}Y_0 $$ $\mathscr P$ est héréditaire et initialisation à partir de $n=0$, par conséquent pour tout entier naturel $n$ on a $Y_n=A^nY_0$. \end{itemize} \end{enumerate} \item \begin{footnotesize} Montrer que pour tout entier naturel $n$, $$ a_n=\left(a_0+\dfrac{5}{6}\right)\times 7^n-\dfrac{5}{6}\qquad \text{et}\qquad b_n=\left(b_0+\dfrac{3}{14}\right)\times 15^n-\dfrac{3}{14}$$ \end{footnotesize} Exploitons l'égalité précédemment démontrée : $$Y_n=A^nY_0\Longleftrightarrow X_n-S=\begin{pmatrix} 7&0\\ 0& 15 \end{pmatrix}^n(X_0-S) \Longleftrightarrow \begin{pmatrix} a_n+\dfrac{5}{6}\\ b_n+\dfrac{3}{14} \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 7^n&0\\ 0& 15^n \end{pmatrix}\times \begin{pmatrix} a_0+\dfrac{5}{6}\\ b_0+\dfrac{3}{14} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 7^n\left(a_0+\dfrac{5}{6}\right)\\ 15^n\left(b_0+\dfrac{3}{14}\right) \end{pmatrix} $$ On obtient alors pour tout entier naturel $n$ : $$ a_n+\dfrac{5}{6}=\left(a_0+\dfrac{5}{6}\right)\times 7^n\qquad \text{et}\qquad b_n+\dfrac{3}{14}=\left(b_0+\dfrac{3}{14}\right)\times 15^n$$ et donc, pour tout entier naturel $n$ : $$ a_n=\left(a_0+\dfrac{5}{6}\right)\times 7^n-\dfrac{5}{6}\qquad \text{et}\qquad b_n=\left(b_0+\dfrac{3}{14}\right)\times 15^n-\dfrac{3}{14}$$ \end{enumerate} \partieBac{Hors Barème} \begin{footnotesize} Déchiffrer un message codé avec un chiffrement affine ne pose pas de difficulté (on peut tester les $312$ couples de coefficients possibles). Afin d'augmenter cette difficulté de décryptage, on propose d'utiliser une clé qui indiquera pour chaque lettre le nombre de fois où on lui applique le chiffrement affine de la partie A. Par exemple, pour coder le mot MATH avec la clé 2-2-5-6, on applique \og 2 \fg{} fois le chiffrement affine avec la lettre M (cela donne E), \og 2 \fg{} fois le chiffrement affine à la lettre A, \og 5 \fg{} fois le chiffrement affine à la lettre T et \og 6 \fg{} fois le chiffrement affine à la lettre H. Dans cette partie, on utilisera la clé 2-2-5-6 Décoder la lettre Q dans le mot IYYQ. \end{footnotesize} Il s'agit d'appliquer $6$ fois la fonction permettant de décoder trouvée dans la partie A : $y=16$ donc $x\equiv 15\times 16+3[26]$ donc $x\equiv 243[26] \Longrightarrow x\equiv 243-260+26[26] \Longrightarrow x\equiv -17+26[26]\Longrightarrow x\equiv 9[26]$ Après le 5 ème codage la lettre était un $J$. $y=9$ donc $x\equiv 15\times 9+3[26]$ donc $x\equiv 138[26] \Longrightarrow x\equiv 138-104-26[26] \Longrightarrow x\equiv 134-26[26]\Longrightarrow x\equiv 8[26]$ Après le 4 ème codage la lettre était un $I$. $y=8$ donc $x\equiv 15\times 8+3[26]$ donc $x\equiv 123[26] \Longrightarrow x\equiv 123-104[26] \Longrightarrow x\equiv 19[26]$ Après le 3 ème codage la lettre était un $T$. $y=19$ donc $x\equiv 15\times 19+3[26]$ donc $x\equiv 150+150-15+3[26] \Longrightarrow x\equiv 288[26] \Longrightarrow x\equiv 288-260-26[26]\Longleftrightarrow x\equiv 2[26]$ Après le 2 ème codage la lettre était un $C$. $y=2$ donc $x\equiv 15\times 2+3[26]$ donc $x\equiv 33[26] \Longrightarrow x\equiv 33-26[26] \Longrightarrow x\equiv 7[26]$ Après le 1 er codage la lettre était un $H$ $y=7$ donc $x\equiv 15\times 7+3[26]$ donc $x\equiv 108[26] \Longrightarrow x\equiv 108-104[26] \Longrightarrow x\equiv 4[26]$ A l'origine la lettre était un $E$. $E-H-C-T-I-J-Q$ \end{exoi} \end{document}