\documentclass[a4paper,10pt,french]{article} \linespread{1} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Définitions de la feuille d'exercices \newcommand{\typedoc}{Proposition Bac Blanc TS} %%%%%%%%%%%%%%% 1ere ligne du titre de la feuille \newcommand{\Ch}{Nombres complexes, Suites, Exponentielles, Probabilit\'e} %%%%%%%%%%%%%%%% 2eme ligne et en haut à droite après \newcommand{\ch}{R\'evisions} %%%%%%%%%%%%%%% En haut à gauche (numero chapitre) \newcommand{\Cl}{T$^\text{ale}$S} \newcommand{\Profs}{D.Zancanaro} \newcommand{\Annee}{2015-2016} \newcommand{\serie}{Scientifique} \newcommand{\num}{0} \newcommand{\tps}{2h} \usepackage[np]{numprint} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Packages %\usepackage[french,lined,boxed,commentsnumbered]{algorithm2e} \input macrodwicky.tex \geometry{verbose,letterpaper,tmargin=1.8cm,bmargin=2cm,lmargin=1.5cm,rmargin=1.5cm} \renewcommand{\arraystretch}{1.2} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Début \begin{document} \pagebreak \clearpage \pagenumbering{arabic} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Cadre jaune \fancypagestyle{styleLyc}{% \fancyhf{} \fancyhead{\href{http://www.wicky-math.fr.nf}{wicky-math.fr.nf}} \fancyfoot[LE,LO]{{\scriptsize\textsl{ \Profs \\ Lycée \LyDav }}} \fancyfoot[C]{\scriptsize\textsl{\Cl \\ \Annee}} \fancyfoot[LE,RO]{\bfseries\thepage / \pageref{LastPage}} } \pagestyle{styleLyc} %\fancyhead{\href{http://www.wicky-math.fr.nf}{wicky-math.fr.nf}} %\renewcommand{\chaptermark}[1]{\markboth{#1}{}} \renewcommand{\sectionmark}[1]{\markright{#1}} %\renewcommand{\chaptermark}[1]{\markboth{#1}{}} \renewcommand{\sectionmark}[1]{\markright{#1}} \lhead{Bac rouge} \rhead{Mai 2016} \Cr{BAC Rouge} \newline %\textbf{Vous traiterez au choix au moins un exercice parmi les six suivants. En traiter au moins deux est conseillé. Si vous ne vous sentez pas encore à l'aise avec les suites, il est inutile de tourner la page.} \begin{exoi}\hfill \textbf{3 points} L'objectif de cet exercice est de trouver une méthode pour construire à la règle et au compas un pentagone régulier. \medskip \parbox{0.5\linewidth}{Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormé direct \Ouv, on considère le pentagone régulier $A_0A_1A_2A_3A_4$, de centre $O$ tel que $\vect{OA_0} = \vect{u}$. On rappelle que dans le pentagone régulier $A_0A_1A_2A_3A_4$, ci-contre : \setlength\parindent{1cm} \begin{itemize} \item[$\bullet~~$] les cinq côtés sont de même longueur; \item[$\bullet~~$] les points $A_0,\:A_1,\:A_2,\:A_3$ et $A_4$ appartiennent au cercle trigonométrique ; \item[$\bullet~~$] pour tout entier $k$ appartenant à $\{0~;~1~;~2~;~3\}$ on a $\left(\vect{OA_k}~;~\vect{OA_{k+1}}\right) = \dfrac{2\pi}{5}$. \end{itemize} \setlength\parindent{0cm}}\hfill \parbox{0.49\linewidth}{\psset{unit=2.5cm} \begin{pspicture}(-1.2,-1.1)(1.2,1.1) \psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(-1.2,-1.1)(1,1) \pspolygon(1;0)(1;72)(1;144)(1;216)(1;288) \uput[d](0.5,0){$\vect{u}$}\uput[l](0,0.5){$\vect{v}$} \uput[dl](0,0){O} \uput[ur](1;0){$A_0$} \uput[ur](1;72){$A_1$} \uput[ul](1;144){$A_2$} \uput[dl](1;216){$A_3$} \uput[dr](1;288){$A_4$} \end{pspicture} } \medskip \begin{enumerate} \item On considère les points $B$ d'affixe $- 1$ et $J$ d'affixe $\dfrac{\text{i}}{2}$. Le cercle $(\mathcal{C})$ de centre $J$ et de rayon $\dfrac{1}{2}$ coupe le segment $[BJ]$ en un point $K$. Calculer $BJ$, puis en déduire $BK$. \item \begin{enumerate} \item Donner sous forme exponentielle l'affixe du point $A_2$. Justifier brièvement. \item Démontrer que $BA_2\,^2 = 2 + 2\cos \left(\dfrac{4\pi}{5}\right)$. \item Un logiciel de calcul formel affiche les résultats ci-dessous, que l'on pourra utiliser sans justification : \begin{center} \begin{tabularx}{0.5\linewidth}{|c|X|}\hline \multicolumn{2}{|l|}{$\blacktriangleright$ Calcul formel}\\\hline 1&cos (4*pi/5)\\ &\rule[-3mm]{0mm}{9mm}$\to \dfrac{1}{4}\left(- \sqrt{5} - 1\right)$\\ \hline 2&sqrt((3 - sqrt(5))/2)\\ &\rule[-3mm]{0mm}{9mm}$\to \dfrac{1}{2}\left(\sqrt{5} - 1\right)$\\ \hline \end{tabularx} \og sqrt \fg signifie \og racine carrée\fg \end{center} En déduire, grâce à ces résultats, que $BA_2 = BK$. \end{enumerate} \item Dans le repère \Ouv{} donné en annexe, construire à la règle et au compas un pentagone régulier. N'utiliser ni le rapporteur ni les graduations de la règle et laisser apparents les traits de construction. \end{enumerate} \end{exoi} \pagebreak \begin{exoi}\hfill \textbf{5 points} Dans un repère orthonormé de l'espace, on considère les points \[\text{A}(5~;~-5~;~2), \text{B} (-1~;~1~;~0), \text{C}(0~;~1~;~2)\quad \text{et D}(6~;~6~;~-1).\] \begin{enumerate} \item Déterminer la nature du triangle BCD et calculer son aire. \item \begin{enumerate} \item Montrer que le vecteur $\overrightarrow{n}\begin{pmatrix}- 2\\3\\1\end{pmatrix}$ est un vecteur normal au plan (BCD). \item Déterminer une équation cartésienne du plan (BCD). \end{enumerate} \item Déterminer une représentation paramétrique de la droite $\mathcal{D}$ orthogonale au plan (BCD) et passant par le point A. \item Déterminer les coordonnées du point H, intersection de la droite $\mathcal{D}$ et du plan (BCD). \item Déterminer le volume du tétraèdre ABCD. \emph{On rappelle que le volume d'un tétraèdre est donné par la formule $\mathcal{V} = \dfrac{1}{3}\mathcal{B} \times h$, où $\mathcal{B}$ est l'aire d'une base du tétraèdre et $h$ la hauteur correspondante.} \item On admet que AB = $\sqrt{76}$ et AC $= \sqrt{61}$. Déterminer une valeur approchée au dixième de degré près de l'angle $\widehat{\text{BAC}}$. \end{enumerate} \end{exoi} \pagebreak \begin{exoi}\hfill \textbf{3 points} Soit $f$ la fonction définie sur ]0~;~14] par \[f(x) = 2 - \ln\left(\dfrac{x}{2}\right).\] La courbe représentative $\mathcal{C}_f$ de la fonction $f$ est donnée dans le repère orthogonal d'origine O ci-dessous : \begin{center} \psset{xunit=0.5cm,yunit=0.75cm} \begin{pspicture}(-1,-0.5)(15,6.5) \psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=2,Dy=2]{->}(0,0)(-1,-0.5)(15,6.5) \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.02}{14}{2 x 2 div ln sub} \uput[u](13,0.2){\blue $\mathcal{C}_f$} \psline[linewidth=0.4pt](1.7,0)(1.7,2.163)(0,2.163) \uput[d](1.7,0){$P$}\uput[ur](1.7,2.163){$M$}\uput[l](0,2.163){$Q$} \end{pspicture} \end{center} À tout point $M$ appartenant à $\mathcal{C}_f$ on associe le point $P$ projeté orthogonal de $M$ sur l'axe des abscisses, et le point $Q$ projeté orthogonal de $M$ sur l'axe des ordonnées. \medskip \setlength\parindent{1cm} \begin{itemize} \item[$\bullet~~$] L'aire du rectangle O$PMQ$ est-elle constante quelle que soit la position du point $M$ sur $\mathcal{C}_f$ ? \item[$\bullet~~$] L'aire du rectangle O$PMQ$ peut-elle être maximale ? Si oui, préciser les coordonnées du point $M$ correspondant. \end{itemize} \setlength\parindent{0cm} Justifier les réponses. \end{exoi} \begin{exoi}\hfill \textbf{4 points} Le test de dépistage d'une maladie possède les caractéristiques suivantes : \begin{itemize} \item la probabilité qu'un individu malade ait un test positif est $0,99$ ; \item la probabilité qu'un individu sain ait un test négatif est $0,99$. \end{itemize} On note $p$ la proportion de malade dans la population puis on note : \begin{itemize} \item $T$ l'événement : \og le test est positif \fg{} \item $M$ l'événement : \og l'individu est malade \fg{} \end{itemize} On croise au hasard un individu ayant effectué le dépistage. \begin{enumerate} \item Modéliser la situation par un arbre de probabilité. \item Calculer la probabilité qu'un individu ait un test positif. \item \begin{enumerate} \item Exprimer en fonction de $p$ la probabilité qu'un individu, dont le test est positif, soit malade. \item Quelle doit être la proportion $p$ de malades pour que la probabilité précédente (i.e. la probabilité qu'un individu, dont le test est positif, soit malade) soit supérieure à $0,90$ ? \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Déterminer, en fonction de $p$, la probabilité qu'un individu, dont le test est négatif, soit malade. \item Quelle doit être la proportion $p$ de malades pour que la probabilité précédente soit inférieure à $0,1$ ? \end{enumerate} \item Le test de dépistage d'une maladie est acceptable si et seulement si la probabilité qu'un individu, dont le test est positif, soit malade est supérieure à $0,90$ et la probabilité qu'un individu, dont le test est négatif, soit malade est inférieure à $0,1$. Dans ce cas pour quelle proportion $p$ de malades le test est-il acceptable ? \end{enumerate} \end{exoi} \pagebreak \begin{exoi}\hfill \textbf{5 points} On souhaite stériliser une boîte de conserve. Pour cela, on la prend à la température ambiante $T_0 = 25$\,\degres C et on la place dans un four à température constante $T_F = 100$\,\degres C. La stérilisation débute dès lors que la température de la boîte est supérieure à 85\,\degres C. \smallskip \emph{Les deux parties de cet exercice sont indépendantes} \partieBac{ Modélisation discrète} Pour $n$ entier naturel, on note $T_n$ la température en degré Celsius de la boîte au bout de $n$ minutes. On a donc $T_0 = 25$. Pour $n$ non nul, la valeur $T_n$ est calculée puis affichée par l'algorithme suivant : \begin{center} \begin{tabularx}{0.7\linewidth}{|l|X|}\hline Initialisation : &$T$ prend la valeur 25\\ \hline Traitement : & Demander la valeur de $n$\\ &Pour $i$ allant de 1 à $n$ faire\\ &\hspace{0,5cm}$T$ prend la valeur $0,85 \times T + 15$\\ &Fin Pour\\ \hline Sortie : &Afficher T\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \begin{enumerate} \item Déterminer la température de la boîte de conserve au bout de 3 minutes. Arrondir à l'unité. \item Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, on a $T_n = 100 - 75 \times 0,85^n$. \item Au bout de combien de minutes la stérilisation débute-elle ? \end{enumerate} \partieBac{ Modélisation continue} Dans cette partie, $t$ désigne un réel positif. On suppose désormais qu'à l'instant $t$ (exprimé en minutes), la température de la boîte est donnée par $f(t)$ (exprimée en degré Celsius) avec : \[f(t) = 100 - 75\text{e}^{- \frac{\ln 5}{10}t}.\] \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Étudier le sens de variations de $f$ sur $[0~;~+ \infty[$. \item Justifier que si $t \geqslant 10$ alors $f(t) \geqslant 85$. \end{enumerate} \item Soit $\theta$ un réel supérieur ou égal à 10. On note $\mathcal{A}(\theta)$ le domaine délimité par les droites d'équation $t = 10,\: t = \theta,\:$ $y = 85$ et la courbe représentative $\mathcal{C}_f$ de $f$. On considère que la stérilisation est finie au bout d'un temps $\theta$, si l'aire, exprimée en unité d'aire du domaine $\mathcal{A}(\theta)$ est supérieure à $80$. \begin{enumerate} \item Justifier, à l'aide du graphique donné en annexe , que l'on a $\mathcal{A}(25) > 80$. \item Justifier que, pour $\theta \geqslant 10$, on a $\mathcal{A}(\theta) = 15(\theta - 10) - 75 \displaystyle\int_{10}^{\theta} \text{e}^{- \frac{\ln 5}{10}t}\:\text{d}t$. \item La stérilisation est-elle finie au bout de 20 minutes ? \end{enumerate} \end{enumerate} \end{exoi} \pagebreak \begin{center} \textbf{Nom} : $\dots\dots\dots\dots\dots\dots$\hfill \textbf{Prénom} : $\dots\dots\dots\dots\dots\dots$\hfill \textbf{Classe} : $\dots\dots\dots$ \vspace*{1cm} \hrule \vspace*{1cm} \begin{LARGE} Annexe (complexe) : Construction du pentagone régulier à la règle non graduée et au compas \end{LARGE}\end{center} \begin{center} \psset{unit=3.5cm} \begin{pspicture}(-1.25,-1.25)(1.25,1.25) \psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(-1.25,-1.25)(1.25,1.25) \uput[d](0.5,0){$\vec{u}$} \uput[l](0,0.5){$\vec{v}$} \uput[dl](0,0){O} \end{pspicture} \end{center} \hrule \vspace*{1cm} %\begin{center} %\begin{LARGE} %Annexe (espace) : Section du cube. % %\end{LARGE}\end{center} % %\begin{center} %\psset{unit=0.75cm} %\begin{pspicture}(8,7.8) %\psframe(0.5,0.5)(5,5)%BCGF %\psline(5,0.5)(7.2,2.7)(7.2,7.2)(2.7,7.2)(0.5,5)%CDHEF %\psline(7.2,7.2)(5,5) %\psline[linestyle=dashed](0.5,0.5)(2.7,2.7)(2.7,7.2)%BAE %\psline[linestyle=dashed](2.7,2.7)(7.2,2.7)%AD %\uput[l](2.7,2.7){A} \uput[d](0.5,0.5){B} \uput[d](5,0.5){C} %\uput[r](7.2,2.7){D} \uput[u](2.7,7.2){E} \uput[l](0.5,5){F} %\uput[r](5,5){G} \uput[u](7.2,7.2){H} \uput[l](0.5,2.75){I} %\uput[d](2.75,0.5){J} \uput[dr](6.1,1.6){K} %\psdots(0.5,2.75)(2.75,0.5)(6.1,1.6) %\end{pspicture} % %\end{center} % %\pagebreak % % % % %\textbf{Nom} : $\dots\dots\dots\dots\dots\dots$\hfill \textbf{Prénom} : $\dots\dots\dots\dots\dots\dots$\hfill \textbf{Classe} : $\dots\dots\dots$ %\vspace*{1cm} % %\hrule %\vspace*{1cm} \begin{center} \begin{LARGE} Annexe (fonctions) : Une aire. \end{LARGE}\end{center} \begin{center} \psset{xunit=0.35cm,yunit=0.05cm} \begin{pspicture}(-0.5,-5)(32,110) \multido{\n=0+5}{7}{\psline[linestyle=dashed,linewidth=0.3pt](\n,0)(\n,110)} \multido{\n=0+5}{21}{\psline[linestyle=dashed,linewidth=0.3pt](0,\n)(32,\n)} \psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=5,Dy=10]{->}(0,0)(-0.5,-5)(32,110) \psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=5,Dy=10](0,0)(0,0)(32,110) \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{32}{100 2.71828 5 ln 10 div x mul neg exp 75 mul sub} \uput[u](29,0){temps (en minutes)} \uput[r](0,105){température (en degré Celsius)} \uput[u](2,46){\blue $\mathcal{C}_f$} \psline[linestyle=dashed,linewidth=1.5pt](0,85)(32,85) \uput[d](27.5,85){$y = 85$} \end{pspicture} \end{center} \end{document}