\documentclass[a4paper,10pt,french]{article}
\linespread{1}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Définitions de la feuille d'exercices

\newcommand{\typedoc}{Proposition Bac Blanc TS}          %%%%%%%%%%%%%%% 1ere ligne du titre de la feuille
\newcommand{\Ch}{Nombres complexes, Suites, Exponentielles, Probabilit\'e}		   %%%%%%%%%%%%%%%% 2eme ligne et en haut à droite après	
\newcommand{\ch}{R\'evisions}               %%%%%%%%%%%%%%% En haut à gauche (numero chapitre)
\newcommand{\Cl}{T$^\text{ale}$S}

\newcommand{\Profs}{D.Zancanaro}
\newcommand{\Annee}{2015-2016}

\newcommand{\serie}{Scientifique}
\newcommand{\num}{0}	
\newcommand{\tps}{2h}	


\usepackage[np]{numprint}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
%\usepackage[french,lined,boxed,commentsnumbered]{algorithm2e}

\input macrodwicky.tex
\geometry{verbose,letterpaper,tmargin=1.8cm,bmargin=2cm,lmargin=1.5cm,rmargin=1.5cm}
\renewcommand{\arraystretch}{1.2}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Début
\begin{document}



\pagebreak
\clearpage
\pagenumbering{arabic}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune
\fancypagestyle{styleLyc}{%
\fancyhf{} 
\fancyhead{\href{http://www.wicky-math.fr.nf}{wicky-math.fr.nf}}
	\fancyfoot[LE,LO]{{\scriptsize\textsl{ \Profs \\ Lycée \LyDav }}}
	\fancyfoot[C]{\scriptsize\textsl{\Cl \\ \Annee}}
\fancyfoot[LE,RO]{\bfseries\thepage / \pageref{LastPage}}
}
\pagestyle{styleLyc}
%\fancyhead{\href{http://www.wicky-math.fr.nf}{wicky-math.fr.nf}}
%\renewcommand{\chaptermark}[1]{\markboth{#1}{}} \renewcommand{\sectionmark}[1]{\markright{#1}}
%\renewcommand{\chaptermark}[1]{\markboth{#1}{}} \renewcommand{\sectionmark}[1]{\markright{#1}}
\lhead{Bac rouge}
\rhead{Mai 2016}


\Cr{BAC Rouge}
\newline
%\textbf{Vous traiterez au choix au moins un exercice parmi les six suivants. En traiter au moins deux est conseillé. Si vous ne vous sentez pas encore à l'aise avec les suites, il est inutile de tourner la page.}

\begin{exoi}\hfill \textbf{3 points}


L'objectif de cet exercice est de trouver une méthode pour construire à la règle et au compas
un pentagone régulier.

\medskip

\parbox{0.5\linewidth}{Dans le plan complexe muni d'un repère
orthonormé direct \Ouv, on considère le pentagone régulier $A_0A_1A_2A_3A_4$, de centre $O$ tel
que $\vect{OA_0} = \vect{u}$.

On rappelle que dans le pentagone régulier $A_0A_1A_2A_3A_4$, ci-contre :

\setlength\parindent{1cm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] les cinq côtés sont de même longueur;
\item[$\bullet~~$] les points $A_0,\:A_1,\:A_2,\:A_3$ et $A_4$
appartiennent au cercle trigonométrique ;
\item[$\bullet~~$] pour tout entier $k$ appartenant à $\{0~;~1~;~2~;~3\}$ on a 

$\left(\vect{OA_k}~;~\vect{OA_{k+1}}\right) = \dfrac{2\pi}{5}$.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0cm}}\hfill
\parbox{0.49\linewidth}{\psset{unit=2.5cm}
\begin{pspicture}(-1.2,-1.1)(1.2,1.1)
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(-1.2,-1.1)(1,1)
\pspolygon(1;0)(1;72)(1;144)(1;216)(1;288)
\uput[d](0.5,0){$\vect{u}$}\uput[l](0,0.5){$\vect{v}$}
\uput[dl](0,0){O}
\uput[ur](1;0){$A_0$} \uput[ur](1;72){$A_1$} \uput[ul](1;144){$A_2$} \uput[dl](1;216){$A_3$} \uput[dr](1;288){$A_4$} 
\end{pspicture}
}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On considère les points $B$ d'affixe $- 1$ et $J$ d'affixe $\dfrac{\text{i}}{2}$.

Le cercle $(\mathcal{C})$ de centre $J$ et de rayon $\dfrac{1}{2}$ coupe le segment $[BJ]$ en un point $K$.

Calculer $BJ$, puis en déduire $BK$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Donner sous forme exponentielle l'affixe du point $A_2$. Justifier brièvement.
		\item Démontrer que $BA_2\,^2 = 2 +  2\cos \left(\dfrac{4\pi}{5}\right)$.
		\item Un logiciel de calcul formel affiche les résultats ci-dessous, que l'on pourra utiliser
sans justification :
\begin{center}
\begin{tabularx}{0.5\linewidth}{|c|X|}\hline
\multicolumn{2}{|l|}{$\blacktriangleright$ Calcul formel}\\\hline
1&cos (4*pi/5)\\
&\rule[-3mm]{0mm}{9mm}$\to \dfrac{1}{4}\left(- \sqrt{5} - 1\right)$\\ \hline
2&sqrt((3 - sqrt(5))/2)\\ 
&\rule[-3mm]{0mm}{9mm}$\to \dfrac{1}{2}\left(\sqrt{5} - 1\right)$\\ \hline
\end{tabularx}

\og sqrt \fg signifie \og racine carrée\fg
\end{center}

En   déduire, grâce à ces résultats, que $BA_2 = BK$.
 	\end{enumerate}
\item  Dans le repère \Ouv{} donné en annexe, construire à la règle et au compas un
pentagone régulier. N'utiliser ni le rapporteur ni les graduations de la règle et laisser
apparents les traits de construction.
\end{enumerate}

\end{exoi}


\pagebreak

\begin{exoi}\hfill \textbf{5 points}

Dans un repère orthonormé de l'espace, on considère les points 

\[\text{A}(5~;~-5~;~2), \text{B} (-1~;~1~;~0), \text{C}(0~;~1~;~2)\quad  \text{et D}(6~;~6~;~-1).\]
 
\begin{enumerate}
\item Déterminer la nature du triangle BCD et calculer son aire. 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que le vecteur $\overrightarrow{n}\begin{pmatrix}- 2\\3\\1\end{pmatrix}$  est un vecteur normal au plan (BCD). 
		\item Déterminer une équation cartésienne du plan (BCD).
	\end{enumerate} 
\item Déterminer une représentation paramétrique de la droite $\mathcal{D}$ orthogonale au plan (BCD) et passant par le point A. 
\item Déterminer les coordonnées du point H, intersection de la droite $\mathcal{D}$ et du plan (BCD). 
\item Déterminer le volume du tétraèdre ABCD. 

\emph{On rappelle que le volume d'un tétraèdre est donné par la formule  $\mathcal{V} = \dfrac{1}{3}\mathcal{B} \times  h$, où $\mathcal{B}$ est  
l'aire d'une base du tétraèdre et $h$ la hauteur correspondante.} 
\item On admet que AB = $\sqrt{76}$ et AC $= \sqrt{61}$.
 
Déterminer une valeur approchée au dixième de degré près de l'angle 
$\widehat{\text{BAC}}$. 
\end{enumerate}
\end{exoi}


\pagebreak
\begin{exoi}\hfill \textbf{3 points}


Soit $f$ la fonction définie sur ]0~;~14] par 

\[f(x) = 2 - \ln\left(\dfrac{x}{2}\right).\]

La courbe représentative $\mathcal{C}_f$ de la fonction $f$ est donnée dans le repère orthogonal d'origine O ci-dessous :

\begin{center}
\psset{xunit=0.5cm,yunit=0.75cm}
\begin{pspicture}(-1,-0.5)(15,6.5)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=2,Dy=2]{->}(0,0)(-1,-0.5)(15,6.5)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.02}{14}{2 x 2 div ln sub}
\uput[u](13,0.2){\blue $\mathcal{C}_f$}
\psline[linewidth=0.4pt](1.7,0)(1.7,2.163)(0,2.163)
\uput[d](1.7,0){$P$}\uput[ur](1.7,2.163){$M$}\uput[l](0,2.163){$Q$}
\end{pspicture}
\end{center}

À tout point $M$ appartenant à $\mathcal{C}_f$ on associe le point $P$ projeté orthogonal de $M$ sur l'axe des abscisses, et le point $Q$ projeté orthogonal de $M$ sur l'axe des ordonnées.

\medskip
\setlength\parindent{1cm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] L'aire du rectangle O$PMQ$ est-elle constante quelle que soit la position du
point $M$ sur $\mathcal{C}_f$ ?
\item[$\bullet~~$] L'aire du rectangle O$PMQ$ peut-elle être maximale ?

Si oui, préciser les coordonnées du point $M$ correspondant.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0cm}

Justifier les réponses.

\end{exoi}


\begin{exoi}\hfill \textbf{4 points}


Le test de dépistage d'une maladie possède les caractéristiques suivantes :

\begin{itemize}
\item la probabilité qu'un individu malade ait un test positif est $0,99$ ;
\item la probabilité qu'un individu sain ait un test négatif est $0,99$.
\end{itemize}

On note $p$ la proportion de malade dans la population puis on note :
\begin{itemize}
\item $T$ l'événement : \og le test est positif \fg{}
\item $M$ l'événement : \og l'individu est malade \fg{}
\end{itemize}


On croise au hasard un individu ayant effectué le dépistage.
\begin{enumerate}
\item Modéliser la situation par un arbre de probabilité.
\item Calculer la probabilité qu'un individu ait un test positif.
\item \begin{enumerate}
\item Exprimer en fonction de $p$ la probabilité qu'un individu, dont le test est positif, soit malade.
\item Quelle doit être la proportion $p$ de malades pour que la probabilité précédente (i.e. la probabilité qu'un individu, dont le test est positif, soit malade) soit supérieure à $0,90$ ?
\end{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item Déterminer, en fonction de $p$, la probabilité qu'un individu, dont le test est négatif, soit malade.
\item Quelle doit être la proportion $p$ de malades pour que la probabilité précédente soit inférieure à $0,1$ ?
\end{enumerate}
\item Le test de dépistage d'une maladie est acceptable si et seulement si la probabilité qu'un individu, dont le test est positif, soit malade est supérieure à $0,90$ et la probabilité qu'un individu, dont le test est négatif, soit malade est inférieure à $0,1$. Dans ce cas pour quelle proportion $p$ de malades le test est-il acceptable ?
\end{enumerate}
\end{exoi}
\pagebreak


\begin{exoi}\hfill \textbf{5 points}



On souhaite stériliser une boîte de conserve.

Pour cela, on la prend à la température ambiante $T_0 = 25$\,\degres C et on la place dans un four à
température constante $T_F = 100$\,\degres C.

La stérilisation débute dès lors que la température de la boîte est supérieure à 85\,\degres C.

\smallskip

\emph{Les deux parties de cet exercice sont indépendantes}

\partieBac{ Modélisation discrète}


Pour $n$ entier naturel, on note $T_n$ la température en degré Celsius de la boîte au bout de $n$
minutes. On a donc $T_0 = 25$.

Pour $n$ non nul, la valeur $T_n$ est calculée puis affichée par l'algorithme suivant :

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.7\linewidth}{|l|X|}\hline
Initialisation : 	&$T$ prend la valeur 25\\ \hline
Traitement :		& Demander la valeur de $n$\\
					&Pour $i$ allant de 1 à $n$ faire\\
					&\hspace{0,5cm}$T$ prend la valeur $0,85 \times  T + 15$\\
					&Fin Pour\\ \hline
Sortie : 			&Afficher T\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Déterminer la température de la boîte de conserve au bout de 3 minutes.

Arrondir à l'unité.
\item Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, on a $T_n = 100 - 75 \times 0,85^n$.
\item Au bout de combien de minutes la stérilisation débute-elle ?
\end{enumerate}

\partieBac{ Modélisation continue}


Dans cette partie, $t$ désigne un réel positif.

On suppose désormais qu'à l'instant $t$ (exprimé en minutes), la température de la boîte est
donnée par $f(t)$ (exprimée en degré Celsius) avec :

\[f(t) = 100 - 75\text{e}^{- \frac{\ln 5}{10}t}.\]

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Étudier le sens de variations de $f$ sur $[0~;~+ \infty[$.
		\item Justifier que si $t \geqslant 10$ alors $f(t) \geqslant 85$.
	\end{enumerate}
\item Soit $\theta$ un réel supérieur ou égal à 10.
		
On note $\mathcal{A}(\theta)$ le domaine délimité par les droites d'équation $t =  10,\: t = \theta,\:$
		 
$y = 85$ et la courbe représentative $\mathcal{C}_f$ de $f$.
		
On considère que la stérilisation est finie au bout d'un temps $\theta$, si l'aire, exprimée en unité
d'aire du domaine $\mathcal{A}(\theta)$ est supérieure à $80$.
	\begin{enumerate}
		\item Justifier, à l'aide du graphique donné en annexe , que l'on a $\mathcal{A}(25) > 80$.
		\item Justifier que, pour $\theta \geqslant 10$, on a $\mathcal{A}(\theta) = 15(\theta - 10) - 75 \displaystyle\int_{10}^{\theta} \text{e}^{- \frac{\ln 5}{10}t}\:\text{d}t$.
		\item La stérilisation est-elle finie au bout de 20 minutes ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{exoi}

\pagebreak
\begin{center}



\textbf{Nom} : $\dots\dots\dots\dots\dots\dots$\hfill \textbf{Prénom} : $\dots\dots\dots\dots\dots\dots$\hfill \textbf{Classe} : $\dots\dots\dots$
\vspace*{1cm}

\hrule
\vspace*{1cm}
\begin{LARGE}
Annexe  (complexe) : Construction du pentagone régulier à la règle non graduée et au compas

\end{LARGE}\end{center}

\begin{center}

\psset{unit=3.5cm}
\begin{pspicture}(-1.25,-1.25)(1.25,1.25)
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(-1.25,-1.25)(1.25,1.25)
\uput[d](0.5,0){$\vec{u}$}
\uput[l](0,0.5){$\vec{v}$}
\uput[dl](0,0){O}
\end{pspicture}
\end{center}
\hrule
\vspace*{1cm}
%\begin{center}
%\begin{LARGE}
%Annexe (espace) : Section du cube.
%
%\end{LARGE}\end{center}
%
%\begin{center}
%\psset{unit=0.75cm}
%\begin{pspicture}(8,7.8)
%\psframe(0.5,0.5)(5,5)%BCGF
%\psline(5,0.5)(7.2,2.7)(7.2,7.2)(2.7,7.2)(0.5,5)%CDHEF
%\psline(7.2,7.2)(5,5)
%\psline[linestyle=dashed](0.5,0.5)(2.7,2.7)(2.7,7.2)%BAE
%\psline[linestyle=dashed](2.7,2.7)(7.2,2.7)%AD
%\uput[l](2.7,2.7){A} \uput[d](0.5,0.5){B} \uput[d](5,0.5){C} 
%\uput[r](7.2,2.7){D} \uput[u](2.7,7.2){E} \uput[l](0.5,5){F} 
%\uput[r](5,5){G} \uput[u](7.2,7.2){H} \uput[l](0.5,2.75){I} 
%\uput[d](2.75,0.5){J} \uput[dr](6.1,1.6){K}
%\psdots(0.5,2.75)(2.75,0.5)(6.1,1.6) 
%\end{pspicture}
%
%\end{center}
%
%\pagebreak
%
%
%
%
%\textbf{Nom} : $\dots\dots\dots\dots\dots\dots$\hfill \textbf{Prénom} : $\dots\dots\dots\dots\dots\dots$\hfill \textbf{Classe} : $\dots\dots\dots$
%\vspace*{1cm}
%
%\hrule
%\vspace*{1cm}
\begin{center}
\begin{LARGE}
Annexe (fonctions) : Une aire.

\end{LARGE}\end{center}

\begin{center}
\psset{xunit=0.35cm,yunit=0.05cm}
\begin{pspicture}(-0.5,-5)(32,110)
\multido{\n=0+5}{7}{\psline[linestyle=dashed,linewidth=0.3pt](\n,0)(\n,110)}
\multido{\n=0+5}{21}{\psline[linestyle=dashed,linewidth=0.3pt](0,\n)(32,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=5,Dy=10]{->}(0,0)(-0.5,-5)(32,110)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=5,Dy=10](0,0)(0,0)(32,110)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{32}{100 2.71828 5 ln 10 div x mul  neg exp 75 mul sub}
\uput[u](29,0){temps (en minutes)}
\uput[r](0,105){température (en degré Celsius)}
\uput[u](2,46){\blue $\mathcal{C}_f$}
\psline[linestyle=dashed,linewidth=1.5pt](0,85)(32,85)
\uput[d](27.5,85){$y = 85$}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}