\documentclass[a4paper,10pt,french]{article} \linespread{1} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Définitions de la feuille d'exercices \newcommand{\typedoc}{Proposition Bac Blanc TS} %%%%%%%%%%%%%%% 1ere ligne du titre de la feuille \newcommand{\Ch}{Nombres complexes, Suites, Exponentielles, Probabilit\'e} %%%%%%%%%%%%%%%% 2eme ligne et en haut à droite après \newcommand{\ch}{R\'evisions} %%%%%%%%%%%%%%% En haut à gauche (numero chapitre) \newcommand{\Cl}{T$^\text{ale}$S} \newcommand{\Profs}{D.Zancanaro} \newcommand{\Annee}{2015-2016} \newcommand{\serie}{Scientifique} \newcommand{\num}{0} \newcommand{\tps}{2h} \usepackage[np]{numprint} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Packages %\usepackage[french,lined,boxed,commentsnumbered]{algorithm2e} \input macrodwicky.tex \geometry{verbose,letterpaper,tmargin=1.8cm,bmargin=2cm,lmargin=1.5cm,rmargin=1.5cm} \renewcommand{\arraystretch}{1.2} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Début \begin{document} \pagebreak \clearpage \pagenumbering{arabic} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Cadre jaune \fancypagestyle{styleLyc}{% \fancyhf{} \fancyhead{\href{http://www.wicky-math.fr.nf}{wicky-math.fr.nf}} \fancyfoot[LE,LO]{{\scriptsize\textsl{ \Profs \\ Lycée \LyDav }}} \fancyfoot[C]{\scriptsize\textsl{\Cl \\ \Annee}} \fancyfoot[LE,RO]{\bfseries\thepage / \pageref{LastPage}} } \pagestyle{styleLyc} %\fancyhead{\href{http://www.wicky-math.fr.nf}{wicky-math.fr.nf}} %\renewcommand{\chaptermark}[1]{\markboth{#1}{}} \renewcommand{\sectionmark}[1]{\markright{#1}} %\renewcommand{\chaptermark}[1]{\markboth{#1}{}} \renewcommand{\sectionmark}[1]{\markright{#1}} \lhead{Bac Gris} \rhead{Avril 2016} \Cr{BAC Gris} \newline %\textbf{Vous traiterez au choix au moins un exercice parmi les six suivants. En traiter au moins deux est conseillé. Si vous ne vous sentez pas encore à l'aise avec les suites, il est inutile de tourner la page.} \begin{exoi}\hfill \textbf{Commun à tous les candidats} On définit, pour tout entier naturel $n$, les nombres complexes $z$ par : \[\left\{\begin{array}{l c l} z_{0}&=& 1\\ z_{n+1}&=&\left(\dfrac{1}{2}+i\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right) z_{n},\: \text{pour tout entier naturel} \: n. \end{array}\right.\] On note $r_{n}$ le module du nombre complexe $z_{n}\: : r_{n} =\left|z_{n}\right|$. Dans le plan muni d'un repère orthonormé direct d'origine O, on considère les points $A_{n}$ d'affixes $z_{n}$. \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Calculer $z_{1}, z_{2}$ et $z_{3}$. On vérifiera que $z_3=-1$. \item Placer les points $A_{1}$ et $A_{2}$ sur le graphique de l'\textbf{annexe, à rendre avec la copie}. On prendra soin d'effectuer les constructions à l'aide d'un compas et d'une règle non graduée (on laissera les traits de construction apparent). \item Démontrer que le triangle O$A_{0}A_{1}$ est équilatéral. \item Écrire le nombre complexe $\dfrac{1}{2}+i\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ sous forme exponentielle. \item \begin{enumerate} \item Déterminer le module et un argument du quotient $\dfrac{z_{n+1}}{z_n}$ . \item Que peut-on en déduire quant à la nature du triangle $OA_nA_{n+1}$. \end{enumerate} \end{enumerate} \item Démontrer que pour tout entier naturel $n$ on a $r_{n+1}=r_n$. En déduire une formule donnant $r_n$ en fonction de $n$. Interpréter géométriquement le résultat précédent. \item \begin{enumerate} \item Démontrer que pour tout entier naturel $n$ on a $z_n=e^{i\frac{n\pi}{3}}$. \item Déterminer l'ensemble des valeurs de $n$ telles que $O$, $A_0$ et $A_n$ sont alignés. \end{enumerate} On note $L_{n}$ la longueur de la ligne brisée qui relie le point $A_{0}$ au point $A_{n}$ en passant successivement par les points $A_{1}, A_{2}, A_{3}$, etc. Ainsi $L_{n} = \displaystyle\sum_{i=0}^{n-1} A_{i}A_{i+1} = A_{0}A_{1} + A_{1}A_{2} + \ldots + A_{n-1}A_{n}.$ \item \begin{enumerate} \item Démontrer que pour tout entier naturel $n \::\: A_{n}A_{n+1} = 1$. \item Donner une expression de $L_{n}$ en fonction de $n$. \end{enumerate} \end{enumerate} \end{exoi} \begin{center} \psset{xunit=3.0cm,yunit=3.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25} \begin{pspicture*}(-1.56,-1.35)(1.9,1.3) \psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=0.5,Dy=0.5,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-1.56,-1.35)(1.9,1.3) \psline(0,0)(1,0) \begin{scriptsize} \psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](1,0) \rput[bl](1.02,0.04){\blue{$A_0$}} \psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](0,0) \rput[bl](0.03,0.04){\blue{$O$}} \psdots[dotstyle=*,linecolor=darkgray](-1,0) \rput[bl](-0.98,0.04){\darkgray{$A_3$}} \psdots[dotstyle=*,linecolor=darkgray](-0.5,-0.87) \rput[bl](-0.48,-0.83){\darkgray{$A_4$}} \psdots[dotstyle=*,linecolor=darkgray](0.5,-0.87) \rput[bl](0.52,-0.83){\darkgray{$A_5$}} \end{scriptsize} \end{pspicture*} \end{center} \pagebreak \begin{exoi}\hfill \textbf{Commun à tous les candidats} Sur le graphique ci-dessous, on a tracé, dans le plan muni d'un repère orthonormé \Oij, la courbe représentative $\mathcal{C}$ d'une fonction $f$ définie et dérivable sur l'intervalle $] 0~;~+ \infty[$. \begin{center} \psset{unit=1.2cm} \begin{pspicture}(-1.5,-2)(9,2.5) \psaxes[linewidth=1pt,Dx=20,Dy=20](0,0)(-1.5,-2)(9,2.5) \psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1) \psline(1,0)(1,2) \psline(-1.5,2)(9,2) \uput[dr](1,0){A}\uput[u](1,2){B}\uput[ul](0,2){C}\uput[dl](0,0){O} \uput[u](8,0.8){\blue $\mathcal{C}$} \uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$}\uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$} \psplot[plotpoints=1000,linewidth=1pt,linecolor=blue]{0.278}{9}{x ln 2 mul 2 add x div} \end{pspicture} \end{center} On dispose des informations suivantes : \setlength\parindent{6mm} \begin{itemize} \item les points A, B, C ont pour coordonnées respectives (1~;~0), (1~;~2), (0~;~2) ; \item la courbe $\mathcal{C}$ passe par le point B et la droite (BC) est tangente à $\mathcal{C}$ en B ; \item il existe deux réels positifs $a$ et $b$ tels que pour tout réel strictement positif $x$, \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \[f(x) = \dfrac{a + b\ln x}{x}. \] \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item En utilisant le graphique, donner les valeurs de $f(1)$ et $f'(1)$. \item Démontrer que pour tout réel strictement positif $x,\: f'(x) = \dfrac{(b - a) - b \ln x}{x^2}$. \item En déduire les réels $a$ et $b$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Justifier que pour tout réel $x$ appartenant à l'intervalle $]0~;~+\infty[,\: f'(x)$ a le même signe que $- \ln x$. \item Déterminer les limites de $f$ en 0 et en $+ \infty$. \textit{On pourra remarquer que pour tout réel $x$ strictement positif, $f(x) = \dfrac{2}{x} + 2\;\dfrac{\ln x}{x}$} \item En déduire le tableau de variations de la fonction $f$. \end{enumerate} \item Démontrer que l'équation $f(x) = 1$ admet une unique solution $\alpha$ sur l'intervalle $]0~;~1]$. \textbf{On admet} qu'il existe un unique réel $5<\beta<6$ de l'intervalle $]1~;~+ \infty[$ tel que $f(\beta) = 1$. \textit{Les élèves qui s'autorisent l'usage de la calculatrice vérifieront que $5<\beta<6$.} \item On donne l'algorithme\index{algorithme} ci-dessous. \begin{center} \begin{tabular}{|l l|}\hline Variables :& $a, b$ et $m$ sont des nombres réels.\\ Initialisation :& Affecter à $a$ la valeur $0$. \\ &Affecter à $b$ la valeur 1.\\ Traitement :& Tant que $b - a > 0,1$\\ &\begin{tabular}{l|l} ~~& Affecter à $m$ la valeur $\dfrac{1}{2}(a + b)$.\\ ~~& Si $f(m) < 1$ alors Affecter à $a$ la valeur $m$.\\ ~~&Sinon Affecter à $b$ la valeur $m$.\\ ~~&Fin de Si.\\ \end{tabular}\\ &Fin de Tant que.\\ Sortie :&Afficher $a$.\\ & Afficher $b$.\\ \hline \end{tabular} \end{center} \begin{enumerate} \item Faire tourner cet algorithme en complétant le tableau ci-dessous que l'on recopiera sur la copie. \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline &étape 1 &étape 2 &étape 3 &étape 4 &étape 5 \\ \hline $a$&0&&&&\\ \hline $b$&1&&&&\\ \hline $b - a$&&&&&\\ \hline $m$&&&&&\\ \hline $f(m)\simeq$ & 1,23& -3.09 & 0.10 &0.79 &\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \item Que représentent les valeurs affichées par cet algorithme ? \item Modifier l'algorithme ci-dessus pour qu'il affiche les deux bornes d'un encadrement de $\beta$ d'amplitude $10^{-1}$. \end{enumerate} \item Le but de cette question est de démontrer que la courbe $\mathcal{C}$ partage le rectangle OABC en deux domaines d'aires égales. \begin{enumerate} \item Justifier que cela revient à démontrer que $\displaystyle\int_{\frac{1}{\text{e}}}^1 f(x)\:\text{d}x = 1$. \item En remarquant que l'expression de $f(x)$ peut s'écrire $\dfrac{2}{x} + 2 \times \dfrac{1}{x} \times \ln x$, déterminer une primitive de $f(x)$. \item Terminer la démonstration. \end{enumerate} \end{enumerate} \end{exoi} \begin{exoi}\hfill \textbf{Réservé aux élèves qui n'ont pas choisit l'enseignement de spécialité.} On considère deux suites de nombres réels $\left(d_n\right)$ et $\left(a_n\right)$ définies par $d_0 = 300$, $a_0 = 450$ et, pour tout entier naturel $n \geqslant 0$ \[\renewcommand\arraystretch{1.8}\left\{\begin{array}{l c l} d_{n+1} &=&\dfrac{1}{2}d_n + 100\\ a_{n+1} &=&\dfrac{1}{2}d_n + \dfrac{1}{2}a_n + 70 \end{array}\right.\renewcommand\arraystretch{1}\] \begin{enumerate} \item Calculer $d_1$ et $a_1$. \item \begin{enumerate} \item Pour tout entier naturel $n$, on pose $e_n = d_n - 200$. Montrer que la suite $\left(e_n\right)$ est géométrique. \item En déduire l'expression de $d_n$ en fonction de $n$. \item La suite $\left(d_n\right)$ est-elle convergente ? Justifier. \end{enumerate} \item On admet que pour tout entier naturel $n$, \[a_n = 100n\left(\dfrac{1}{2}\right)^n + 110\left(\dfrac{1}{2}\right)^n + 340.\] \begin{enumerate} \item Montrer que pour tout entier $n$ supérieur ou égal à 3, on a $2n^2 \geqslant (n + 1)^2$. \item Montrer par récurrence que pour tout entier $n$ supérieur ou égal à 4, $2^n \geqslant n^2$. \item En déduire que pour tout entier $n$ supérieur ou égal à 4, $0 \leqslant 100n\left(\dfrac{1}{2}\right)^n \leqslant \dfrac{100}{n}$. \item Étudier la convergence de la suite $\left(a_n\right)$. \end{enumerate} \end{enumerate} \end{exoi} \pagebreak \begin{exoi}\hfill \textbf{Commun à tous les candidats - Loi de Hardy-Weinberg} Certains gènes peuvent avoir deux états : $A$ (allèle dominant) ou $a$ (allèle récessif). Les couples de gènes sur des paires de chromosomes n'ayant pas forcément les mêmes allèles, un individu donné peut avoir l'un des trois génotypes suivants : $$AA\qquad\text{ou}\qquad Aa\qquad\text{ou}\qquad aa$$ Lors d'un appariement entre deux individus, l'enfant récupère un allèle de chacun de ses deux parents. Par exemple si un parent a le génotype $AA$ et l'autre $Aa$, l'enfant sera du type $AA$ ou $Aa$. \textbf{On pourra utiliser l'arbre fournit en annexe pour répondre aux questions qui suivent.} %\partieBac{Sur un exemple} On considère une population dont les proportions des génotypes sont données par le tableau suivant : \begin{center} \begin{tabular}{|c|c|c|c|c|} \hline Génotype & AA & Aa & aa & Total\tabularnewline \hline Proportion & $p_0=0.4$ & $q_0=0.3$ & $r_0=0.3$ & 1\tabularnewline \hline \end{tabular} \end{center} On se place dans l'hypothèse selon laquelle les couples se forment au hasard relativement à ces deux allèles (appariement aléatoire). \begin{enumerate} \item Calculer les probabilités des événements suivants : \begin{enumerate} \item $E$ : \og un enfant a deux parents de type AA \fg{} ; \item $F$ : \og un enfant a un parent de type AA et un parent de type Aa \fg{} \item $G$ : \og un enfant a deux parents de type $aa$ \fg{} \end{enumerate} \item Quelle est la probabilité pour que l’enfant soit de type AA sachant que : \textit{On pourra effectuer un arbre de probabilité dans chacun des cas suivants} \begin{enumerate} \item les deux parents sont de type AA ? \item un des parents est de type Aa et l'autre de type AA ? \item les deux parents sont de type Aa ? \end{enumerate} \item On pourra utiliser l'arbre de probabilité fournit avec le sujet.\begin{enumerate} \item Démontrer que $p_1=\left(p_0+\dfrac{1}{2}q_0\right)^2$. Proposer une relation similaire pour $r_1$. \item Calculer la probabilité $p_1$ pour que l’enfant soit de type AA. \item Calculer de même la probabilité $r_1$ pour que l’enfant soit de type aa. \item En déduire la probabilité $q_1$ pour que l’enfant soit de type Aa. \end{enumerate} \item Calculer de même les probabilités $p_2$, $q_2$ et $r_2$ pour qu’un enfant de seconde génération soit de type AA, Aa et aa. Que remarque-t-on ? \end{enumerate} % %\partieBac{Généralisation} %$p_0$, $q_0$ et $r_0$ sont maintenant des nombres positifs de somme égale à 1. %\begin{enumerate} %\item % Montrer que la probabilité pour qu’enfant soit de type AA est : %$$p_1=\left(p_0+\dfrac{1}{2}q_0\right)^2 $$ %\item On admet que $r_1=\left(r_0+\dfrac{1}{2}q_0\right)^2$ et on note $\alpha=p_0-r_0$. %\begin{enumerate} %\item Montrer que $$ p_1=\dfrac{(1+\alpha)^2}{4}$$ %\item En déduire les expressions de $r_1$ puis de $q_1$ en fonction de $\alpha$. %\item Démontrer que $p_1-r_1=\dfrac{\alpha}{2}$. %\end{enumerate} %\item Donner les expressions de $p_2$, $q_2$ et $r_2$ en fonction de $\alpha$. %\end{enumerate} \end{exoi} \begin{center} %:-+-+-+- Engendré par : http://math.et.info.free.fr/TikZ/Arbre/ \begin{center} % Racine en Haut, développement vers le bas \begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1] % Styles (MODIFIABLES) \tikzstyle{fleche}=[->,>=latex,thick] \tikzstyle{noeud}=[fill=yellow,circle,draw] \tikzstyle{feuille}=[fill=yellow,circle,draw] \tikzstyle{etiquette}=[midway,fill=white,draw] % Dimensions (MODIFIABLES) \def\DistanceInterNiveaux{2.4} \def\DistanceInterFeuilles{1.3} % Dimensions calculées (NON MODIFIABLES) \def\NiveauA{(-0)*\DistanceInterNiveaux} \def\NiveauB{(-1)*\DistanceInterNiveaux} \def\NiveauC{(-2)*\DistanceInterNiveaux} \def\NiveauD{(-3)*\DistanceInterNiveaux} \def\InterFeuilles{(1)*\DistanceInterFeuilles} % Noeuds (MODIFIABLES : Styles et Coefficients d'InterFeuilles) \node[noeud] (R) at ({(7)*\InterFeuilles},{\NiveauA}) {$ $}; \node[noeud] (Ra) at ({(1.5)*\InterFeuilles},{\NiveauB}) {$AA$}; \node[noeud] (Raa) at ({(0)*\InterFeuilles},{\NiveauC}) {$AA$}; \node[feuille] (Raaa) at ({(0)*\InterFeuilles},{\NiveauD}) {$AA$}; \node[noeud] (Rab) at ({(1.5)*\InterFeuilles},{\NiveauC}) {$Aa$}; \node[feuille] (Raba) at ({(1)*\InterFeuilles},{\NiveauD}) {$AA$}; \node[feuille] (Rabb) at ({(2)*\InterFeuilles},{\NiveauD}) {$Aa$}; \node[noeud] (Rac) at ({(3)*\InterFeuilles},{\NiveauC}) {$aa$}; \node[feuille] (Raca) at ({(3)*\InterFeuilles},{\NiveauD}) {$Aa$}; \node[noeud] (Rb) at ({(7)*\InterFeuilles},{\NiveauB}) {$Aa$}; \node[noeud] (Rba) at ({(4.5)*\InterFeuilles},{\NiveauC}) {$AA$}; \node[feuille] (Rbaa) at ({(4)*\InterFeuilles},{\NiveauD}) {$AA$}; \node[feuille] (Rbab) at ({(5)*\InterFeuilles},{\NiveauD}) {$Aa$}; \node[noeud] (Rbb) at ({(7)*\InterFeuilles},{\NiveauC}) {$Aa$}; \node[feuille] (Rbba) at ({(6)*\InterFeuilles},{\NiveauD}) {$AA$}; \node[feuille] (Rbbb) at ({(7)*\InterFeuilles},{\NiveauD}) {$Aa$}; \node[feuille] (Rbbc) at ({(8)*\InterFeuilles},{\NiveauD}) {$aa$}; \node[noeud] (Rbc) at ({(9.5)*\InterFeuilles},{\NiveauC}) {$aa$}; \node[feuille] (Rbca) at ({(9)*\InterFeuilles},{\NiveauD}) {$Aa$}; \node[feuille] (Rbcb) at ({(10)*\InterFeuilles},{\NiveauD}) {$aa$}; \node[noeud] (Rc) at ({(12.5)*\InterFeuilles},{\NiveauB}) {$aa$}; \node[noeud] (Rca) at ({(11)*\InterFeuilles},{\NiveauC}) {$AA$}; \node[feuille] (Rcaa) at ({(11)*\InterFeuilles},{\NiveauD}) {$Aa$}; \node[noeud] (Rcb) at ({(12.5)*\InterFeuilles},{\NiveauC}) {$Aa$}; \node[feuille] (Rcba) at ({(12)*\InterFeuilles},{\NiveauD}) {$Aa$}; \node[feuille] (Rcbb) at ({(13)*\InterFeuilles},{\NiveauD}) {$aa$}; \node[noeud] (Rcc) at ({(14)*\InterFeuilles},{\NiveauC}) {$aa$}; \node[feuille] (Rcca) at ({(14)*\InterFeuilles},{\NiveauD}) {$aa$}; % Arcs (MODIFIABLES : Styles) \draw[fleche] (R)--(Ra) node[etiquette] {$ p_0$}; \draw[fleche] (Ra)--(Raa) node[etiquette] {$ p_0$}; \draw[fleche] (Raa)--(Raaa) node[etiquette] {$1$}; \draw[fleche] (Ra)--(Rab) node[etiquette] {$ q_0$}; \draw[fleche] (Rab)--(Raba) node[etiquette] {$1/2$}; \draw[fleche] (Rab)--(Rabb) node[etiquette] {$1/2$}; \draw[fleche] (Ra)--(Rac) node[etiquette] {$r_0 $}; \draw[fleche] (Rac)--(Raca) node[etiquette] {$1$}; \draw[fleche] (R)--(Rb) node[etiquette] {$ q_0$}; \draw[fleche] (Rb)--(Rba) node[etiquette] { $p_0 $}; \draw[fleche] (Rba)--(Rbaa) node[etiquette] {$1/2$}; \draw[fleche] (Rba)--(Rbab) node[etiquette] {$1/2$}; \draw[fleche] (Rb)--(Rbb) node[etiquette] {$ q_0$}; \draw[fleche] (Rbb)--(Rbba) node[etiquette] {$1/4$}; \draw[fleche] (Rbb)--(Rbbb) node[etiquette] {$1/2$}; \draw[fleche] (Rbb)--(Rbbc) node[etiquette] {$1/4$}; \draw[fleche] (Rb)--(Rbc) node[etiquette] {$ r_0$}; \draw[fleche] (Rbc)--(Rbca) node[etiquette] {$1/2$}; \draw[fleche] (Rbc)--(Rbcb) node[etiquette] {$1/2$}; \draw[fleche] (R)--(Rc) node[etiquette] {$ r_0$}; \draw[fleche] (Rc)--(Rca) node[etiquette] {$ p_0$}; \draw[fleche] (Rca)--(Rcaa) node[etiquette] {$1$}; \draw[fleche] (Rc)--(Rcb) node[etiquette] {$ q_0$}; \draw[fleche] (Rcb)--(Rcba) node[etiquette] {$1/2$}; \draw[fleche] (Rcb)--(Rcbb) node[etiquette] {$1/2$}; \draw[fleche] (Rc)--(Rcc) node[etiquette] {$ r_0$}; \draw[fleche] (Rcc)--(Rcca) node[etiquette] {$1$}; \end{tikzpicture} \end{center} %:-+-+-+-+- Fin \end{center} \pagebreak \begin{exoi}\hfill \textbf{Réservé aux élèves ayant suivit l'enseignement de spécialité} \textit{Les parties $A$ et $B$ peuvent être traitées de manière indépendante} \partieBac{} Afin de crypter un message, on utilise un chiffrement affine. Chaque lettre de l'alphabet est associée à un nombre entier comme indiqué dans le tableau ci-dessous : \begin{center} % Visionner le code LaTeX du paragraphe 0 \begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline A & B & C & D & E & F & G & H & I & J & K & L & M & N & O & P & Q & R & S & T & U & V & W & X & Y & Z\tabularnewline \hline 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12 & 13 & 14 & 15 & 16 & 17 & 18 & 19 & 20 & 21 & 22 & 23 & 24 & 25\tabularnewline \hline \end{tabular} \end{center} Soit $x$ le nombre associé à la lettre à coder. On détermine le reste $y$ de la division euclidienne de $7x+5$ par $26$, puis on en déduit la lettre associé à $y$ (c'est elle qui code la lettre d'origine). \textit{Exemple} : $M$ correspond à $x=12$ $7\times 12+5=89$ Or, $89\equiv 11[26]$ et $11$ correspond à la lettre $L$, donc la lettre $M$ est codée par la lettre $L$. \begin{enumerate} \item Coder la lettre $L$. \item \begin{enumerate} \item Soit $k$ un entier relatif. Montrer que si $k\equiv 7x[26]$ alors $15k\equiv x[26]$. \item Démontrer la réciproque de l'implication précédente. \item En déduire que $y\equiv 7x+5[26]$ équivaut à $x\equiv 15y+3[26]$. \end{enumerate} \item A l'aide de la question précédente décoder la lettre $F$. \end{enumerate} \partieBac{} On considère les suites $(a_n)$ et $(b_n)$ telles que $a_0$ et $b_0$ sont des entiers compris entre $0$ et $25$ inclus et pour tout entier naturel $n$, $$ a_{n+1}=7a_n+5\qquad \text{et}\qquad b_{n+1}=15b_n+3$$ \begin{enumerate} \item Soit $X_n$ et $b$ les vecteurs colonnes $ X_n=\begin{pmatrix} a_n\\ b_n \end{pmatrix} \qquad \text{et}\qquad b=\begin{pmatrix} 5\\ 3 \end{pmatrix}$ Déterminer la matrice diagonale $A$ d'ordre $2$ telle que pour tout entier naturel $n$ on ait $X_{n+1}=AX_n+b$ \item Soit $S=\begin{pmatrix} -\frac{5}{6}\\ -\frac{3}{14} \end{pmatrix}$. Vérifier que $AS+b=S$. \item Pour tout entier naturel $n$, on définit le vecteur $Y_n$ tel que $Y_n=X_n-S$. \begin{enumerate} \item Montrer que pour tout entier naturel $n$, $$ Y_{n+1}=AY_n$$ \item En déduire que pour tout entier naturel $n$, $$ Y_n=A^nY_0$$ \end{enumerate} \item Montrer que pour tout entier naturel $n$, $$ a_n=\left(a_0+\dfrac{5}{6}\right)\times 7^n-\dfrac{5}{6}\qquad \text{et}\qquad b_n=\left(b_0+\dfrac{3}{14}\right)\times 15^n-\dfrac{3}{14}$$ \end{enumerate} \partieBac{Hors Barème} Déchiffrer un message codé avec un chiffrement affine ne pose pas de difficulté (on peut tester les $312$ couples de coefficients possibles). Afin d'augmenter cette difficulté de décryptage, on propose d'utiliser une clé qui indiquera pour chaque lettre le nombre de fois où on lui applique le chiffrement affine de la partie A. Par exemple, pour coder le mot MATH avec la clé 2-2-5-6, on applique \og 2 \fg{} fois le chiffrement affine avec la lettre M (cela donne E), \og 2 \fg{} fois le chiffrement affine à la lettre A, \og 5 \fg{} fois le chiffrement affine à la lettre T et \og 6 \fg{} fois le chiffrement affine à la lettre H. Dans cette partie, on utilisera la clé 2-2-5-6 Décoder la lettre Q dans le mot IYYQ. \end{exoi} \pagebreak \begin{exoi} Une entreprise cherche à recruter une secrétaire. Alice, Bob et Carole ont envoyé leur candidature pour occuper ce poste. La directrice des ressources humaines, Danièle, est chargé du recrutement. Débordé comme chaque semaine, Danièle décide de mettre en place la stratégie suivante pour effectuer son choix : \begin{itemize} \item Elle tire au sort l'ordre dans lequel elle va recevoir ses candidats ; ainsi il y a une chance sur trois qu'elle décide de recevoir Alice en premier, en deuxième ou en troisième. \item A l'issue de chaque entretien, elle choisit si elle engage le candidat ou si elle le refuse pour le poste. \item Dès qu'elle choisit d'engager un candidat elle ne reçoit pas les suivants. \item Dès qu'elle refuse un candidat, elle ne revient plus sur son choix et celui-ci peut aller chercher un travail ailleurs. \item Si elle fait passer le troisième entretien, alors elle a refusé les deux premiers candidats, auquel cas elle se retrouve obliger d'engager cet ultime candidat. \item Elle a la capacité de classer les candidats dès qu'elle les a rencontré. \end{itemize} Pour mieux comprendre voici trois exemples de ce qui peut arriver : \textit{Exemple 1} : Danièle a choisit de recevoir Alice, Bob et Carole dans cet ordre (après tirage au sort). Suite à son entretien avec Alice, elle a choisit de refuser sa candidature et a donc reçu Bob. Elle s'est alors rendu compte qu'Alice était plus adapté pour le poste mais c'est Bob qu'elle a engagé. Elle n'a donc jamais rencontré Carole. \textit{Exemple 2} : Danièle a choisit de recevoir Carole, Bob et Alice dans cet ordre (après tirage au sort). Suite à son entretien avec Carole, elle a choisit de refuser sa candidature et a donc reçu Bob. Moins convaincant que Carole qu'elle venait de refuser, elle a choisit de refuser Bob aussi. Elle a alors reçu Alice qu'elle n'a eu d'autre choix que d'engager. Quoiqu'elle ait engagé Alice, suite à ses trois entretiens elle juge que Carole était plus convaincante qu'Alice, elle même plus convaincante que Bob. \textit{Exemple 3} : Danièle a choisit de recevoir Bob, Carole et Alice dans cet ordre (après tirage au sort). Elle a engagé Bob suite à son entretien et n'a donc jamais rencontré Carole et Alice. \textbf{But du problème} : Le but du problème est de comparer deux stratégies et de déterminer laquelle permet à Danièle de s'assurer le meilleur recrutement. \partieBac{Première stratégie} Danièle adopte la stratégie suivante : à l'issue de chaque entretien, elle lance une pièce de monnaie, recrute le candidat si celle ci tombe sur pile. On note $R$ l'événement : \og Alice est recruté \fg{} ; On note $E_1$ l'événement \og A l'issue du premier entretien, un candidat est engagé \fg{} On note $E_2$ l'événement \og A l'issue du deuxième entretien, un candidat est engagé \fg{} On note $E_3$ l'événement \og A l'issue du troisième entretien, un candidat est engagé \fg{} \begin{enumerate} %\item Donner $p(R)$. \item Recopier et compléter l'arbre suivant : \begin{center} %\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math} \psset{nodesep=0mm,levelsep=20mm,treesep=10mm} \pstree[treemode=R]{\Tdot} { \Tdot~[tnpos=r]{$E_1$}\taput{\small $\dots$} \pstree {\Tdot~[tnpos=a]{$\overline{E_1}$}\tbput{\small $\dots$}} { \Tdot~[tnpos=r]{$E_2$}\taput{\small $\dots$} \pstree {\Tdot~[tnpos=a]{$\overline{E_2}$}\tbput{\small $\dots$}} { \Tdot~[tnpos=r]{$E_3$}\taput{\small $\dots$} } } } \end{center} \item Déterminer les probabilités suivantes : \begin{enumerate} \item $p(E_1)$ ; \item $p(\overline{E_1}\cap E_2)$ ; \item $p(\overline{E_1}\cap \overline{E_2}\cap E_3)$. \end{enumerate} % \item Démontrer que la probabilité qu'Alice ait passé son entretien en deuxième position sachant qu'elle a été engagé vaut $\dfrac{1}{4}$. \item qu'elle est la probabilité que Danièle ait effectué le meilleur choix ? \end{enumerate} \partieBac{Deuxième stratégie} Dans cette partie, on suppose que Danièle refuse systématiquement le premier candidat, accepte le second si celui-ci est meilleur que le premier et accepte le troisième si le second candidat est moins bon que le premier. Qu'elle est la probabilité que Danièle ait recruté le meilleur candidat ? \partieBac{Prolongement} Danièle reçoit au dernier moment la candidature de Félipé, proposer la meilleure stratégie possible pour que le probabilité que Danièle le meilleur candidat soit la plus importante possible. \end{exoi} \end{document}