\documentclass[a4paper,10pt,french]{article} \linespread{1} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Définitions de la feuille d'exercices \newcommand{\typedoc}{Proposition Bac Blanc TS} %%%%%%%%%%%%%%% 1ere ligne du titre de la feuille \newcommand{\Ch}{Nombres complexes, Suites, Exponentielles, Probabilit\'e} %%%%%%%%%%%%%%%% 2eme ligne et en haut à droite après \newcommand{\ch}{R\'evisions} %%%%%%%%%%%%%%% En haut à gauche (numero chapitre) \newcommand{\Cl}{T$^\text{ale}$S} \newcommand{\Profs}{J.M.Bilheran/J.At/M.Rey-Cadours/D.Zancanaro} \newcommand{\Annee}{2015-2016} \newcommand{\serie}{Scientifique} \newcommand{\num}{0} \newcommand{\tps}{2h} \usepackage[np]{numprint} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Packages %\usepackage[french,lined,boxed,commentsnumbered]{algorithm2e} \input macrodwicky.tex \geometry{verbose,letterpaper,tmargin=1.8cm,bmargin=2cm,lmargin=1.5cm,rmargin=1.5cm} \renewcommand{\arraystretch}{1.2} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Début \begin{document} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% PRemière Page \pagestyle{empty} \begin{framed} \begin{center} \begin{LARGE} BACCALAUREAT GENERAL BLANC \end{LARGE} \end{center} \end{framed} \vfill \begin{Large} \begin{center} \underline{SESSION 2016} \end{center} \end{Large} \vfill \begin{Large} \begin{center} \textbf{MATHEMATIQUES-NON SPECIALISTE} \end{center} \end{Large} \vfill \begin{Large} \begin{center} Série : \textbf{S} \end{center} \end{Large} \vfill \begin{Large} \begin{center} DUREE DE L'EPREUVE : \textbf{4 Heures}. COEFFICIENT : \textbf{7}. \end{center} \end{Large} \vfill \begin{Large} \begin{center} \textbf{Ce sujet comporte 4 pages numérotées de 1 à 4.} \end{center} \end{Large} \begin{Large} \begin{center} L’utilisation de la calculatrice est autorisée. \end{center} \end{Large} \vfill \begin{framed} \begin{large} \begin{center} Le candidat doit traiter tous les exercices. \end{center} Il est invité à faire sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu’il aura développée. Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l’appréciation des copies. \end{large} \end{framed} \pagebreak \clearpage \pagenumbering{arabic} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Cadre jaune \fancypagestyle{styleLyc}{% \fancyhf{} \fancyhead{\href{http://www.wicky-math.fr.nf}{wicky-math.fr.nf}} \fancyfoot[LE,LO]{{\scriptsize\textsl{ \Profs \\ Lycée \LyDav }}} \fancyfoot[C]{\scriptsize\textsl{\Cl \\ \Annee}} \fancyfoot[LE,RO]{\bfseries\thepage / \pageref{LastPage}} } \pagestyle{styleLyc} %\fancyhead{\href{http://www.wicky-math.fr.nf}{wicky-math.fr.nf}} %\renewcommand{\chaptermark}[1]{\markboth{#1}{}} \renewcommand{\sectionmark}[1]{\markright{#1}} %\renewcommand{\chaptermark}[1]{\markboth{#1}{}} \renewcommand{\sectionmark}[1]{\markright{#1}} \lhead{Bac Blanc} \rhead{Février 2016} \Cr{BAC BLANC} \newline %\textbf{Vous traiterez au choix au moins un exercice parmi les six suivants. En traiter au moins deux est conseillé. Si vous ne vous sentez pas encore à l'aise avec les suites, il est inutile de tourner la page.} \begin{exoi}\hfill\textbf{5 points}\\ \partieBac{questionnaire à choix multiples} \emph{Pour chaque question, une seule des quatre propositions est exacte.\\ \textbf{Le candidat indiquera sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.\\Il sera attribué un point si la réponse est exacte, zéro sinon.}} \medskip \begin{enumerate} \item Dans un stand de tir, la probabilité pour un tireur d'atteindre la cible est de \np{0,3}. On effectue $n$ tirs supposés indépendants. On désigne par $p_n$ la probabilité d'atteindre la cible au moins une fois sur ces $n$ tirs. La valeur minimale de $n$ pour que $p_n$ soit supérieure ou égale à \np{0,9} est: \begin{center} \begin{tabular}{@{\textbf{a.}~~}p{2cm}@{\textbf{b.}~~}p{2cm}@{\textbf{c.}~~}p{2cm}@{\textbf{d.}~~}p{2cm}} 6 & 7 & 10 & 12 \end{tabular} \end{center} \item Un joueur dispose d'un dé cubique équilibré dont les faces sont numérotées de 1 à 6. À chaque lancer, il gagne s'il obtient 2, 3, 4, 5 ou 6 ; il perd s'il obtient 1. Une partie est constituée de 5 lancers du dé successifs et indépendants. La probabilité pour que le joueur perde 3 fois au cours d'une partie est: \begin{center} \begin{tabular}{@{\textbf{a.}~~}p{2cm}@{\textbf{b.}~~}p{2cm}@{\textbf{c.}~~}p{2cm}@{\textbf{d.}~~}p{2cm}} $\dfrac{125}{\np{3888}}$ & $\dfrac{625}{648}$ & $\dfrac{25}{\np{7776}}$ & $\dfrac35$ \end{tabular} \end{center} \item Soient $A$ et $B$ deux évènements indépendants d'une même univers $\Omega$ tels que $p(A)=\np{0,3}$ et $p(A\cup B)=\np{0,65}$. La probabilité de l'évènement $B$ est: \begin{center} \begin{tabular}{@{\textbf{a.}~~}p{2cm}@{\textbf{b.}~~}p{2cm}@{\textbf{c.}~~}p{2cm}@{\textbf{d.}~~}p{2cm}} \np{0,5} & \np{0,35} & \np{0,46} & \np{0,7} \end{tabular} \end{center} \end{enumerate} \partieBac{Vraie ou Faux ?} \emph{ Pour chaque question une affirmation est proposée. Indiquer si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse. Une réponse non justifiée ne sera pas prise en compte.\\ Toute trace de recherche sera valorisée.} \bigskip \begin{enumerate} \item On considère l'arbre de probabilités suivant : \begin{center} \psset{nodesep=0mm,levelsep=20mm,treesep=10mm} \pstree[treemode=R]{\Tdot} { \pstree {\Tdot~[tnpos=a]{$A$}\taput{ $0,2$}} { \Tdot~[tnpos=r]{$B$}\taput{ $0,68$} \Tdot~[tnpos=r]{$\overline{B}$}\tbput{ $ $} } \pstree {\Tdot~[tnpos=a]{$\overline{A}$}\tbput{ $ $}} { \Tdot~[tnpos=r]{$B$}\taput{ $ $} \Tdot~[tnpos=r]{$\overline{B}$}\tbput{ $0,4$} } } \end{center} \textbf{Affirmation} : la probabilité de l'évènement A sachant que l'évènement B est réalisé est égale à 0,32. \item On considère une urne contenant $n$ boules rouges et trois boules noires, où $n$ désigne un entier naturel non nul. Les boules sont indiscernables au toucher. On tire successivement et sans remise deux boules dans l'urne. \textbf{Affirmation } : il existe une valeur de $n$ telle que la probabilité d'obtenir deux boules de couleurs différentes est égale à $\dfrac{9}{22}$. \end{enumerate} \end{exoi} %\begin{exoi}\hfill \textbf{Nouvelle Calédonie Novembre 2015}\\ %On considère deux suites de nombres réels $\left(d_n\right)$ et $\left(a_n\right)$ définies par $d_0 = 300$, % % $a_0 = 450$ et, %pour tout entier naturel $n \geqslant 0$ % %\[\renewcommand\arraystretch{1.8}\left\{\begin{array}{l c l} %d_{n+1} &=&\dfrac{1}{2}d_n + 100\\ %a_{n+1} &=&\dfrac{1}{2}d_n + \dfrac{1}{2}a_n + 70 %\end{array}\right.\renewcommand\arraystretch{1}\] % %\begin{enumerate} %\item Calculer $d_1$ et $a_1$. %\item On souhaite écrire un algorithme qui permet d'afficher en sortie les valeurs de $d_n$ et %$a_n$ pour une valeur entière de $n$ saisie par l'utilisateur. % %L'algorithme suivant est proposé : % %\begin{center} % %\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|l X|}\hline %\emph{Variables} :& $n$ et $k$ sont des entiers naturels\\ %&$D$ et $A$ sont des réels\\ %&\\ %\emph{Initialisation} :& $D$ prend la valeur 300\\ %&$A$ prend la valeur 450\\ %&Saisir la valeur de $n$\\ %&\\ %\emph{Traitement} :& Pour $k$ variant de 1 à $n$\\ %&\hspace{0.8cm}$D$ prend la valeur $\dfrac{D}{2} + 100$ \rule[-4mm]{0mm}{8mm}\\ %&\hspace{0.8cm}$A$ prend la valeur $\dfrac{A}{2} + \dfrac{D}{2} + 70$\\ %&Fin pour\\ %&\\ % %\emph{Sortie} :& Afficher $D$\\ %&Afficher $A$\\ \hline %\end{tabularx} % %\end{center} % % \begin{enumerate} % \item Quels nombres obtient-on en sortie de l'algorithme pour $n = 1$ ? % %Ces résultats sont-ils cohérents avec ceux obtenus à la question \textbf{1.} ? % \item Expliquer comment corriger cet algorithme pour qu'il affiche les résultats %souhaités. % \end{enumerate} %\item % \begin{enumerate} % \item Pour tout entier naturel $n$, on pose $e_n = d_n - 200$. % %Montrer que la suite $\left(e_n\right)$ est géométrique. % \item En déduire l'expression de $d_n$ en fonction de $n$. % \item La suite $\left(d_n\right)$ est-elle convergente ? Justifier. % \end{enumerate} %\item On admet que pour tout entier naturel $n$, % % \[a_n = 100n\left(\dfrac{1}{2}\right)^n + 110\left(\dfrac{1}{2}\right)^n + 340.\] % % \begin{enumerate} % \item Montrer que pour tout entier $n$ supérieur ou égal à 3, on a $2n^2 \geqslant (n + 1)^2$. % \item Montrer par récurrence que pour tout entier $n$ supérieur ou égal à 4, % % $2^n \geqslant n^2$. % \item En déduire que pour tout entier $n$ supérieur ou égal à 4, % % $0 \leqslant 100n\left(\dfrac{1}{2}\right)^n \leqslant \dfrac{100}{n}$. % \item Étudier la convergence de la suite $\left(a_n\right)$. % \end{enumerate} %\end{enumerate} %\end{exoi} \pagebreak \begin{exoi}\hfill \textbf{5 points}\\ Soit $f$ la fonction dérivable, définie sur l'intervalle $]0~;~ +\infty[$ par \[f(x) = \text{e}^x + \dfrac{1}{x}.\] \begin{enumerate} \item \textbf{Étude d'une fonction auxiliaire} \begin{enumerate} \item Soit la fonction $g$ dérivable, définie sur $[0~;~ +\infty[$ par \[g(x) = x^2\text{e}^x - 1.\] Étudier le sens de variation de la fonction $g$ et dresser le tableau de variation complet de la fonction $g$ sur l'intervalle $[0;+\infty[$. \item Démontrer qu'il existe un unique réel $a$ appartenant à $[0~;~ +\infty[$ tel que $g(a) = 0$. Démontrer que $a$ appartient à l'intervalle [0,703~;~0,704[. \item Déterminer le signe de $g(x)$ sur $[0~;~ +\infty[$. \end{enumerate} \item \textbf{Étude de la fonction } \boldmath $f$ \unboldmath \begin{enumerate} \item Déterminer les limites de la fonction $f$ en $0$ et en $+ \infty$. \item On note $f'$ la fonction dérivée de $f$ sur l'intervalle $]0~;~ +\infty[$. Démontrer que pour tout réel strictement positif $x,\: f'(x) = \dfrac{g(x)}{x^2}$. \item En déduire le sens de variation de la fonction $f$ et dresser son tableau de variation sur l'intervalle $]0~;~ +\infty[$. \item Démontrer que la fonction $f$ admet pour minimum le nombre réel $m = \dfrac{1}{a^2} + \dfrac{1}{a}$. \item Justifier que $3,43 < m < 3,45$. \end{enumerate} \end{enumerate} \end{exoi} \begin{exoi}\hfill \textbf{5 points}\\ Le plan est muni du repère orthonormé direct \Ouv. On donne le nombre complexe $\text{j} = - \dfrac{1}{2} + \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2}$. Le but de cet exercice est d'étudier quelques propriétés du nombre j et de mettre en évidence un lien de ce nombre avec les triangles équilatéraux. \bigskip \textbf{Partie A : propriétés du nombre j} \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Résoudre dans l'ensemble $\C$ des nombres complexes l'équation \[z^2 + z + 1 = 0.\] \item Vérifier que le nombre complexe j est une solution de cette équation. \end{enumerate} \item Déterminer le module et un argument du nombre complexe j, puis donner sa forme trigonométrique. \item Démontrer les égalités suivantes: \begin{enumerate} \item j$^3 = 1$ ; \item j$^2 = - 1 - \text{j}$. \end{enumerate} \item On note P, Q, R les images respectives des nombres complexes 1,\:j et j$^2$ dans le plan. Quelle est la nature du triangle PQR ? Justifier la réponse. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip Soit $a$, $b$, $c$ trois nombres complexes vérifiant l'égalité $a+ \text{j}b + \text{j}^2 c = 0$. On note A, B, C les images respectives des nombres $a$, $b$, $c$ dans le plan. \medskip \begin{enumerate} \item En utilisant la question A - 3. b., démontrer l'égalité : $ a - c = \text{j}(c - b)$. \item En déduire que AC = BC . \item Démontrer l'égalité : $a - b = \text{j}^2 (b - c)$. \item En déduire que le triangle ABC est équilatéral. \end{enumerate} \end{exoi} \pagebreak \begin{exoi}\hfill \textbf{5 points}\\ Dans un pays de population constante égale à 120 millions, les habitants vivent soit en zone rurale, soit en ville. Les mouvements de population peuvent être modélisés de la façon suivante : \setlength\parindent{8mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~~$]en 2010, la population compte $90$~millions de ruraux et $30$~millions de citadins ; \item[$\bullet~~$]chaque année, 10\,\% des ruraux émigrent à la ville ; \item[$\bullet~~$]chaque année, 5\,\% des citadins émigrent en zone rurale. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} Pour tout entier naturel $n$, on note : \setlength\parindent{8mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~~$]$u_n$ la population en zone rurale, en l'année $2010 + n$, exprimée en millions d'habitants ; \item[$\bullet~~$]$v_n$ la population en ville, en l'année $2010 + n$, exprimée en millions d'habitants. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} On a donc $u_0 = 90$ et $v_0 = 30$. \partieBac{} \begin{enumerate} \item Traduire le fait que la population totale est constante par une relation liant $u_n$ et $v_n$. \item On utilise un tableur pour visualiser l'évolution des suites $\left(u_n\right)$ et $\left(v_n\right)$. \begin{center} \begin{tabularx}{0.95\linewidth}{|c|m{4cm}|*{1}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline A &B&C\\ \hline $n$ &Population en zone rurale &Population en ville\\ \hline 0 &90 &30\\ \hline 1 &82,5 &37,5\\ \hline 2 &76,125 &43,875\\ \hline 3 &70,706 &49,294\\ \hline 4 &66,100 &53,900\\ \hline 5 &62,185 &57.815\\ \hline 6 &58,857 &61,143\\ \hline 7 &56,029 &63,971\\ \hline 8&53,625 &66,375\\ \hline 9&51,581 &68,419\\ \hline 10&49,844 &70,156\\ \hline 11&48,367 &71,633\\ \hline %12&47,112 &72,888\\ \hline %13&46,045 &73,955\\ \hline %14&45,138 &74,862\\ \hline %15&44,368 &75,632\\ \hline %16&43,713 &76,287\\ \hline %17&43,156 &76,844\\ \hline $\dots$ & $\dots$ & $\dots$ \\ \hline 59 &40,003 &79,997\\ \hline 60 &40,003 &79,997\\ \hline 61 &40,002 &79,998\\ \hline %&18&42,682 &77,318\\ \hline %21&19&42,280 &77,720\\ \hline %22&20&41,938 &78,062\\ \hline \end{tabularx} \end{center} Quelles conjectures peut-on faire concernant l'évolution à long terme de cette population ? \end{enumerate} \partieBac{} On admet dans cette partie que, pour tout entier naturel $n,\quad u_{n+1} = 0,85u_n + 6$. \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Démontrer par récurrence que la suite $\left(u_n\right)$ est décroissante. \item On admet que $u_n$ est positif pour tout entier naturel $n$. Que peut-on en déduire quant à la suite $\left(u_n\right)$ ? \end{enumerate} \item On considère la suite $\left(w_n\right)$, définie par : $w_n = u_n - 40$, pour tout $n \geqslant 0$. \begin{enumerate} \item Démontrer que $\left(w_n\right)$ est une suite géométrique de raison $0,85$. \item En déduire l'expression de $w_n$ puis de $u_n$ en fonction de $n$. \item Déterminer l'expression de $v_n$ en fonction de $n$. \end{enumerate} \item Valider ou invalider les conjectures effectuées à la question \textbf{3.} de la \textbf{partie A}. \item On considère l'algorithme suivant : \begin{center} \begin{tabularx}{0.75\linewidth}{|l X|}\hline Entrée : &$n$ et $u$ sont des nombres\\ Initialisation :&$n$ prend la valeur $0$\\ &$u$ prend la valeur $90$\\ Traitement : &Tant que $u \geqslant 120 - u$ faire\\ &\hspace{0.75cm}$n$ prend la valeur $n + 1$\\ &\hspace{0.75cm}$u$ prend la valeur $0,85 \times u + 6$\\ &Fin Tant que\\ Sortie : &Afficher $n$\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \begin{enumerate} \item Que fait cet algorithme ? \item Quelle valeur affiche-t-il ? \end{enumerate} \end{enumerate} \end{exoi} \newcommand{\Fin}{node[xshift=-1.5ex,rotate=10]{F} node[rotate=170]{i} node[xshift=1.5ex,rotate=45]{n}} \begin{center} \begin{tikzpicture}[scale=8,transform shape] \draw (0,0) \Fin; \draw (-1em,-1ex) -- (1em,-1ex); \path[scope fading=south] (-1em,-0.25em) rectangle (1em,-3.75ex); \draw[yscale=-1] (0,2ex) \Fin; \end{tikzpicture} \end{center} \end{document}