\documentclass[a4paper,10pt,french]{article}


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\begin{document}
\pagestyle{empty}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune
\textbf{Nom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$ \hfill \textbf{Pr\'enom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$  \hfill Classe :$\dots\dots$\\
\psframebox[linestyle=solid,shadow=true,framearc=0.5,fillcolor=vert!30]{
\begin{minipage}{17cm}
\begin{center}
\vspace{1mm}
\textsc{\textbf{ Interrogation n$^{\circ}12$ }\hfill \textbf{Sujet A}}
\end{center}
\vspace{-3mm}
\end{minipage}
}
\setcounter{section}{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	 Interro
\begin{center}
\textit{\textbf{On prendra soin de coller le sujet sur la copie. La note tiendra compte de la qualité de la rédaction et des justifications.}}
\end{center}




\begin{exoi}
On considère la fonction $f$ définie par : $ f(x)=(x+1)e^{-x}$
On note $\mathscr C_f$ sa représentation graphique dans un repère orthonomé $(O;\vec i, \vec j)$.
\begin{enumerate}
%\item Déterminer son ensemble de définition.
\item Déterminer la limite de $f$ en $-\infty$. Que peut-on en déduire pour sa représentation graphique $\mathscr C_f$.
\item Etudier et déterminer la limite de $f$ en $+\infty$. Interpréter graphiquement. 
\item Déterminer $f'(x)$, puis étudier son signe. En déduire l'existence et la valeur du maximum de la fonction $f$.
\item Déterminer l'équation de la tangente de $f$ en $0$.
\item Démontrer que l'équation $f(x)=-\dfrac{1}{2}$ admet une unique solution $\alpha $ dans $\R$. Donner une valeur approchée de $\alpha$ à $10^{-2}$.
\end{enumerate}
\end{exoi}

\begin{center}
\newrgbcolor{qqqqzz}{0 0 0.6}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm}
\begin{pspicture*}(-3.18,-6.98)(8.5,1.98)
\psgrid[subgriddiv=0,gridlabels=0,gridcolor=lightgray](0,0)(-3.18,-6.98)(8.5,1.98)
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-3.18,-6.98)(8.5,1.98)
\psplot[linecolor=qqqqzz,plotpoints=200]{-3.1800000000000006}{8.500000000000004}{(x+1)*EXP(-x)}
\rput[tl](1.98,1.2){$\qqqqzz{\mathscr C_f : y=f(x)}$}
\end{pspicture*}
\end{center}

\vfill
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune
\textbf{Nom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$ \hfill \textbf{Pr\'enom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$  \hfill Classe :$\dots\dots$\\
\psframebox[linestyle=solid,shadow=true,framearc=0.5,fillcolor=vert!30]{
\begin{minipage}{17cm}
\begin{center}
\vspace{1mm}
\textsc{\textbf{ Interrogation n$^{\circ}12$ }\hfill \textbf{Sujet B}}
\end{center}
\vspace{-3mm}
\end{minipage}
}
\setcounter{exer}{0}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	 Interro
\begin{center}
\textit{\textbf{On prendra soin de coller le sujet sur la copie. La note tiendra compte de la qualité de la rédaction et des justifications.}}
\end{center}

\setcounter{exoBac}{0}







\begin{exoi}
On considère la fonction $f$ définie par :
$$ f(x)=\dfrac{e^{x}}{e^{x}+1}$$
On note $\mathscr C_f$ sa représentation graphique dans un repère orthonomé $(O;\vec i, \vec j)$.
\begin{enumerate}
%\item Déterminer son ensemble de définition.
\item Déterminer la limite de $f$ en $-\infty$. Que peut-on en déduire pour sa représentation graphique $\mathscr C_f$.
\item \begin{enumerate}
\item Démontrer que pour tout réel $x$ on a :
$$ f(x)=\dfrac{1}{1+e^{-x}}$$
\item En déduire la limite de $f$ en $+\infty$. Interpréter graphiquement. 
\end{enumerate}
\item Déterminer $f'(x)$, puis étudier son signe. En déduire le tableau de variations de $f$.
\item Déterminer l'équation de la tangente de $f$ en $0$.
\item Démontrer que l'équation $f(x)=\dfrac{1}{2}$ admet une unique solution $\alpha $ dans $\R$. Donner une valeur approchée de $\alpha$ à $10^{-2}$.
\end{enumerate}
\end{exoi}


\end{document}
