\documentclass[a4paper,11pt,french]{article}
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Définitions de la feuille d'exercices

\newcommand{\typedoc}{Devoir surveill\'e 3}          %%%%%%%%%%%%%%% 1ere ligne du titre de la feuille
\newcommand{\Ch}{}		   %%%%%%%%%%%%%%%% 2eme ligne et en haut à droite après	
\newcommand{\ch}{R\'evisions}               %%%%%%%%%%%%%%% En haut à gauche (numero chapitre)
\newcommand{\Cl}{T$^\text{ale}$S}
\newcommand{\Annee}{2015-2016}

\newcommand{\serie}{Scientifique}
\newcommand{\num}{0}	
\newcommand{\tps}{2h}	



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Début
\begin{document}


\DocDav

\vfill 

\textbf{La note tiendra compte de la qualité de la rédaction et de la clarté des raisonnements. En particulier dans l’ensemble du sujet, et pour chaque question, toute trace de recherche même incomplète, ou d’initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.
} 

\begin{exoi}\hfill \textbf{(10 points)}

\partieBac{Etude d'une fonction auxiliaire}
On considère la fonction $g$ définie sur $\R$ par :
$$g(x)=4x^3+3x^2+2$$
\begin{enumerate}
\item Déterminer les limites de la fonction $g$ en $+\infty$ et en $-\infty$.
\item Déterminer le tableau de variation de la fonction $g$ sur $\R$.
\item Démontrer que l'équation $g(x)=0$ admet une unique solution sur $\R$ que nous noterons $\alpha$ puis déterminer $\alpha$ à $10^{-2}$ près.
\item En déduire le tableau de signe de $g(x)$.
\end{enumerate}


\partieBac{}
On considère la fonction $f$ définie pour $x\neq -\dfrac{1}{2}$ par :
$$ f(x)=\dfrac{3-3x^3}{2x+1}$$
Dans un repère orthonormal, on note $\mathscr C_f$ la représentation graphique de la fonction $f$.
\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item Déterminer les limites de la fonction $f$ en $+\infty$ et en $-\infty$.
\item Démontrer que $\mathscr C_f$ admet une asymptote verticale d'équation $x=-\dfrac{1}{2}$.
\end{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item Démontrer que pour tout réel $x\neq -\dfrac{1}{2}$ on a :
$$ f'(x)=\dfrac{-3g(x)}{(2x+1)^2}$$
\item En déduire le tableau de variation de la fonction $f$.
\end{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item On note $A(0;3)$. Déterminer l'équation $T$ de la tangente de $\mathscr C_f$ en $A$.
\item Démontrer que pour tout réel $x\neq -\dfrac{1}{2}$ on a :
$$ f(x)-(-6x+3)=\dfrac{3x^2(4-x)}{2x+1}$$
\item En déduire que $\mathscr C_f$ est au dessus de $T$ si et seulement si $x\in \left]-\dfrac{1}{2};4\right]$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{exoi}

\begin{center}
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\begin{pspicture*}(-5.29,-11.11)(6.71,8.89)
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\begin{scriptsize}
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\end{scriptsize}
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{document}