\documentclass[a4paper,11pt,french]{article} \linespread{1} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Définitions de la feuille d'exercices \newcommand{\typedoc}{Devoir surveill\'e 2} %%%%%%%%%%%%%%% 1ere ligne du titre de la feuille \newcommand{\Ch}{} %%%%%%%%%%%%%%%% 2eme ligne et en haut à droite après \newcommand{\ch}{R\'evisions} %%%%%%%%%%%%%%% En haut à gauche (numero chapitre) \newcommand{\Cl}{T$^\text{ale}$S} \newcommand{\Annee}{2015-2016} \newcommand{\serie}{Scientifique} \newcommand{\num}{0} \newcommand{\tps}{2h} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Packages %\usepackage[french,lined,boxed,commentsnumbered]{algorithm2e} \input macrodwicky.tex \geometry{verbose,letterpaper,tmargin=1.8cm,bmargin=1.8cm,lmargin=1.5cm,rmargin=1.5cm} \renewcommand{\arraystretch}{1.2} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Début \begin{document} \DocDav \vfill \textbf{La note tiendra compte de la qualité de la rédaction et de la clarté des raisonnements. En particulier dans l’ensemble du sujet, et pour chaque question, toute trace de recherche même incomplète, ou d’initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation. } \begin{exoi}\hfill \textbf{(10 points)} On considère le cube $ABCDEFGH$ de côté $4$ dans le repère orthonormal $(A;0.25\overrightarrow{AB};0.25\overrightarrow{AD};0.25\overrightarrow{AE})$. Ainsi les sommets du cube ont pour coordonnées : $$ A(0;0;0)\qquad B(4;0;0)\qquad C(4;4;0)\qquad D(0;4;0)\qquad E(0;0;4)\qquad F(4;0;4)\qquad G(4;4;4)\qquad H(0;4;4)$$ Enfin $I$ est le milieu du segment $[AB]$, $J$ est tel que $\overrightarrow{CJ}=\dfrac{3}{4}\overrightarrow{CG}$ et $K$ est tel que $\overrightarrow{EK}=\dfrac{1}{4}\overrightarrow{EH}$ \textbf{L'objectif de cet exercice est de tracer la section du cube par le plan $(IJK)$} \partieBac{$(IJK)$ est bien un plan !} \begin{enumerate} \item Déterminer les coordonnées des points $I$, $J$ et $K$. \item Justifier que les points $I$, $J$ et $K$ définissent bien un plan. \end{enumerate} \partieBac{Recherche d'un point du plan $(IJK)$ sur l'arête $[HG]$.} \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Déterminer une représentation paramétrique de la droite $(IJ)$. \item Vérifier qu'une représentation paramétrique du plan $(EFG)$ est : $$ \left\{\begin{array}{l} x=4t \\y=4t' \\ z=4 \end{array}\right. , t\in\R \qquad \text{ et } \qquad t'\in\R$$ \item En déduire que le point d'intersection $L$ entre la droite $(IJ)$ et le plan $(EFG)$ a pour coordonnées $L\left(\dfrac{14}{3};\dfrac{16}{3};4\right)$ \end{enumerate} \item Démontrer que les représentations paramétrique des droites $(KL)$ et $(HG)$ sont : $$ (KL) :\left\{\begin{array}{l} x=\dfrac{14}{3} t \\y=\dfrac{13}{3}t +1\\ z=4 \end{array}\right. , t\in\R \qquad \text{et}\qquad (HG) :\left\{\begin{array}{l} x=4t' \\y=4\\ z=4 \end{array}\right. , t'\in\R$$ \item Expliquer pourquoi les droites $(KL)$ et $(HG)$ sont sécantes. \item En déduire que leur point d'intersection $P$ a pour coordonnées $P\left(\dfrac{42}{13};4;4\right)$ \end{enumerate} \partieBac{Où l'on termine la section} \begin{enumerate} \item Placer le point $P$ sur la figure donnée en annexe $1$. Quel tracé doit-on effectuer pour obtenir le point $Q$ d'intersection entre le plan $(IJK)$ et la droite $(BC)$. \item \begin{enumerate} \item Déterminer une équation paramétrique de la droite $\Delta$ passant par $I$ et parallèle à $(KL)$. \item En déduire que le point $Q$ a pour coordonnées : $$ Q\left(4;\dfrac{13}{7};0\right)$$ Placer alors le point $Q$. \end{enumerate} \item Terminer la construction de la section. \end{enumerate} \end{exoi} \pagebreak \begin{exoi}\hfill \textbf{(10 points)} \partieBac{} \medskip On considère l'algorithme suivant : Les variables sont le réel $U$ et les entiers naturels $k$ et $N$.\\ \begin{center} \fbox{\begin{minipage}{7cm} \textbf{Entrée} Saisir le nombre entier naturel non nul $N$.\\ \textbf{Traitement}\\ Affecter à $U$ la valeur 0\\ Pour $k$ allant de 0 à $N -1$\\ Affecter à $U$ la valeur $3U - 2k + 3$\\ Fin pour\\ \textbf{Sortie}\\ Afficher $U$ \end{minipage}} \end{center} \medskip Quel est l'affichage en sortie lorsque $N = 3$ ? \bigskip \partieBac{} \medskip On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_0=0$ et, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}= 3u_n - 2n + 3$. \medskip \begin{enumerate} \item Calculer $u_1$ et $u_2$. \item \begin{enumerate} \item Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, $u_n\geqslant n$. \item En déduire la limite de la suite $\left(u_n\right)$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Démontrer que pour tout entier naturel $n$ on a : $$ u_{n+1}-u_n=2(u_n-n)+3$$ \item En déduire le sens de variation de la suite $(u_n)$. \end{enumerate} \item Soit la suite $\left(v_n\right)$ définie, pour tout entier naturel $n$, par $v_n = u_n - n +1$. \begin{enumerate} \item Démontrer que la suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique. \item En déduire que, pour tout entier naturel $n$, $u_n = 3^n + n -1$. \end{enumerate} \item Soit $p$ un entier naturel non nul. \begin{enumerate} \item Pourquoi est-on sûr qu'il existe un entier $n_0$ tel que : $$\forall n\geqslant n_0 \quad \text{on ait} \qquad u_n\geqslant 10^p \quad \text{?}$$ \item Déterminer à l'aide de la calculatrice le plus petit entier $n_0$ tel que, pour tout $n\geqslant n_0$ on ait $u_n\geqslant 10^3$. %\item Justifier que $n_0\leqslant 3p$. \item Compléter l'algorithme, donnée en annexe, qui, pour une valeur de $p$ donnée en entrée, affiche en sortie la valeur du plus petit entier $n_0$ tel que, pour tout $n\geqslant n_0$, on ait $u_n\geqslant 10^p$. % \item On note $n_0$ le plus petit entier naturel $n_0$ tel que $\forall n\geq n_0$ on ait $u_n\geqslant 10$. % % Vérifier que $u_{3p}\geqslant 10^p$ puis justifier que $n_0\leqslant 3p$. \end{enumerate} \end{enumerate} \end{exoi} \pagebreak \begin{center} {\Large Annexe} \end{center} \textbf{Nom: $\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots$}\hfill \textbf{Prénom : $\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots$} \hfill \textbf{Classe} : $\dots\dots$ \textbf{\textit{Annexe 1 : Cube de l'exercice $1$ à rendre compléter avec la copie.}} \begin{center} \psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25} \begin{pspicture*}(-2.39,-2.39)(6.39,6.39) \psline(0,0)(4,0) \psline(4,0)(6,2) \psline[linestyle=dashed,dash=2pt 2pt](0,0)(2,2) \psline[linestyle=dashed,dash=2pt 2pt](2,2)(6,2) \psline(6,2)(6,6) \psline[linestyle=dashed,dash=2pt 2pt](2,6)(2,2) \psline(0,4)(2,6) \psline(2,6)(6,6) \psline(6,6)(4,4) \psline(4,4)(4,0) \psline(0,4)(4,4) \psline(0,4)(0,0) \begin{scriptsize} \psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=*](0,0) \rput[bl](-0.25,-0.27){$A$} \psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=*](4,0) \rput[bl](3.92,-0.27){$B$} \psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=*](6,2) \rput[bl](6.07,2.06){$C$} \psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=*](2,2) \rput[bl](2.07,2.06){$D$} \psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=*](0,4) \rput[bl](-0.31,3.85){$E$} \psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=*](4,4) \rput[bl](4.18,3.86){$F$} \psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=*](6,6) \rput[bl](6.07,6.06){$G$} \psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=*](2,6) \rput[bl](2.07,6.06){$H$} \psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=*](2,0) \rput[bl](2.07,0.06){$I$} \psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=*](6,5) \rput[bl](6.07,5.07){$J$} \psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=*](0.5,4.5) \rput[bl](0.41,4.62){$K$} \end{scriptsize} \end{pspicture*} \end{center} \vfill \textbf{\textit{Annexe 2 : Algorithme de l'exercice $2$ à rendre compléter avec la copie.}} \begin{center} \fbox{\begin{minipage}{7cm} \textbf{Variables} $U$ est un réel. \\ $n$ et $p$ sont des entiers naturels. \textbf{Entrée} Saisir le nombre entier naturel $p$.\\ \textbf{Traitement}\\ Affecter à $U$ la valeur 0\\ Affecter à $n$ la valeur $0$\\ Tant que $\dots\dots\dots\dots$\\ Affecter à $U$ la valeur $\dots\dots\dots\dots$\\ Affecter à $n$ la valeur $\dots\dots\dots\dots$\\ Fin tantque\\ \textbf{Sortie}\\ Afficher $\dots$ \end{minipage}} \end{center} \end{document}