\documentclass[4apaper,10pt,french]{article}
\linespread{1}

\newcommand{\typedoc}{Devoir surveill\'e $1$ }
\newcommand{\Ch}{Second degr\'e}
\newcommand{\ch}{Chapitre 1}
\newcommand{\Cl}{$1^{ère}$ S}
\newcommand{\Annee}{2016-2017}
%\newcommand{\num}{8}	


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Package
\input macrodwicky.tex

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%\setcounter{NumLecon}{8}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Premiere page
\begin{document}
\DocDav



\begin{exoi}\hfill 	\textit{6 points}

On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par :
$$ f(x)=3x^2-12x-15$$
et on note $\mathscr C_f$ sa représentation graphique dans un repère orthonormal.
\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item Déterminer les solutions de l'équation $f(x)=0$.
\item Déterminer l'abscisse du sommet $S$ de la parabole $\mathscr S$. Préciser si sommet correspond à un maximum ou à un minimum puis calculer son ordonnée.
\item Dresser le tableau de variation de la fonction $f$.
\end{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item Dresser le tableau de signe de $f$ sur $\R$.
\item Résoudre l'inéquation $f(x)\geq 0$.
\end{enumerate}
\item Donner la forme factorisée de $f(x)$, si c'est possible.
\end{enumerate}
\end{exoi}


\begin{exoi}\hfill 	\textit{4 points}
\begin{enumerate}
\item Déterminer les racines du trinôme $x^2-2\sqrt{2}x+1$
\item En vous aidant d'un tableau de signe, résoudre dans $\R$ l'inéquation :
$$ \dfrac{x^2-2\sqrt{2}x+1}{x^2+1}\geq 0$$
\end{enumerate}
\end{exoi}

\begin{exoi}\hfill 	\textit{3 points}

On considère le polynôme $P(x)=ax^2+bx+c$ où $a$, $b$ et $c$ désigne trois réels avec $a$ et $c$ sont tous deux non nuls.

Parmi les propositions suivantes, trouver celle qui est exacte et justifier votre choix.


\textit{\textbf{Proposition 1}} : Si $a$ et $c$ sont de même signe alors le polynôme $P$ n'admet pas de racine.

\textit{\textbf{Proposition 2}} : Si $a$ et $c$ sont de signe contraire alors le polynôme $P$ n'admet pas de racine.

\textit{\textbf{Proposition 3}} : Si $a$ et $c$ sont de signe contraire alors le polynôme $P$ admet exactement deux racines.
\end{exoi}

\begin{exoi}\hfill 	\textit{4 points}

On considère un cube de coté $x$ cm. On souhaite déterminer $x$ de sorte que son volume soit égal à la somme de l'aire et du périmètre d'une de ses faces.
\begin{enumerate}
\item Démontrer que $x$ est solution de l'équation $(E)$ :
$$ x^3-x^2-4x=0$$
\item Résoudre l'équation $(E)$ puis conclure quant au problème posé.
\end{enumerate}
\end{exoi}

\begin{exoi}\hfill 	\textit{3 points}

\begin{multicols}{2}
Dans un triangle $ABC$ rectangle en $A$, on place les points $D$ et $E$ respectivement sur $[AC]$ et $[AB]$ tels que $AD=BE=x$.

\textit{(Voir Figure ci-contre)}

Déterminer $x$ pour que l'aire du triangle $ADE$ soit égale à la moitié de celle du triangle $ABC$.

\textbf{Données} : $AB=18$ et $AC=8$.

\begin{center}
\psset{xunit=1.2cm,yunit=1.2cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-4,2)(-1.38,5.78)
\psline(-3.44,5.56)(-3.4,2.24)
\psline(-3.44,5.56)(-1.84,2.26)
\psline(-3.4,2.24)(-1.84,2.26)
\psline(-2.6,2.25)(-3.43,4.76)
\rput[tl](-3.7,5.3){$x$}
\rput[tl](-3.12,2.1){$x$}
\begin{scriptsize}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=*](-3.4,2.24)
\rput[bl](-3.7,2.0){$A$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=*](-3.44,5.56)
\rput[bl](-3.7,5.59){$B$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=*](-1.84,2.26)
\rput[bl](-1.8,2.0){$C$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=*](-3.43,4.76)
\rput[bl](-3.7,4.67){$E$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=*](-2.6,2.25)
\rput[bl](-2.56,2.0){$D$}
\end{scriptsize}
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{multicols}
\end{exoi}


\begin{exoi}\hfill \textbf{Bonus}

On se trouve au bord d'un gouffre très profond et pour évaluer la profondeur de celui-ci, on laisse tomber une pierre. On entend alors le bruit de l'impact de cette pierre $10$ secondes après l'avoir lachée. Déterminer la profondeur du gouffre au mètre près sachant que la distance $d$ (en mètres) parcourue par un corps en chute libre pendant un temps $t$ (en secondes) sans vitesse initiale, est donnée par la relation $d=\dfrac{1}{2}gt^2$ où $g\simeq 9.8$ m.s$^{-2}$ et la vitesse du son est de $340$ m.s$^{-1}$
\end{exoi}
%\begin{exoi}\hfill $\spadesuit$
%
%Calculer :
%$$ \sum_{i=1}^{+\infty} \dfrac{1}{i}=1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4}+\dots$$
%\end{exoi}
\end{document}
