\documentclass[a4paper,10pt,french]{article}
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Définitions de la feuille d'exercices

\newcommand{\typedoc}{Devoir Maison 6}          %%%%%%%%%%%%%%% 1ere ligne du titre de la feuille
\newcommand{\Ch}{Nombres complexes}		   %%%%%%%%%%%%%%%% 2eme ligne et en haut à droite après	
\newcommand{\ch}{R\'evisions}               %%%%%%%%%%%%%%% En haut à gauche (numero chapitre)
\newcommand{\Cl}{T$^\text{ale}$S}
\newcommand{\Annee}{2015-2016}

\newcommand{\serie}{Scientifique}
\newcommand{\num}{0}	
\newcommand{\tps}{2h}	



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Début
\begin{document}


\DocDav

\vfill 

%\textbf{Vous traiterez au choix au moins un exercice parmi les six suivants. En traiter au moins deux est conseillé. Si vous ne vous sentez pas encore à l'aise avec les suites, il est inutile de tourner la page.}

\textbf{La note tiendra compte de la qualité de la rédaction et de l'application.}



 
\begin{exoi}\hfill $\spadesuit\spadesuit\spadesuit$\\
\partieBac{Racine d'un polyn\^ome de degré $3$ }
On considère le polynôme $P$ définie sur $\C$ par :
$$ P(x)=x^3+x^2+x+1$$
\begin{enumerate}
\item Vérifier que $-1$ est une racine de $P$.
\item Déterminer les trois réels $a$, $b$ et $c$ tels que :
$$ P(x)=(x+1)(ax^2+bx+c)$$
\item En déduire l'ensemble des racines du polyn\^ome $P$ dans $\C$.
\end{enumerate}
\partieBac{}
On munit le plan d'un repère orthonormal $(O;\vec{u},\vec{v})$
\\
Soit $A$, $B$ et $C$ les points d'affixes respectives $z_A=1$, $z_B=i$ et $z_C=-i$.
\\
On considère la transformation $t$ qui a tout point $M$, différent de $O$, d'affixe $z$ associe le point $M'$ d'affixe $z'$ où $$ z'=\dfrac{\sqrt{3}-1+i}{z}+2$$
\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item Calculer le module et un argument de $z_A$, $z_B$ et $z_C$.
\item Calculer $AB$, $AC$ et $BC$.
\item En déduire la nature du triangle $ABC$. 
\end{enumerate}

\item Calculer les affixes $z_A'$, $z_B'$ et $z_C'$ des points $A'$, $B'$ et $C'$ image de $A$, $B$ et $C$ par la transformation $t$.
%\item Déterminer le module et un argument de chacun des nombres complexes $z_A'$, $z_B'$ et $z_C'$.
\item Représenter les triangles $ABC$ et $A'B'C'$ dans le plan complexe puis déterminer la nature du triangle $A'B'C'$.

\end{enumerate}
\partieBac{etude des invariants de la transformation $t$.}
On cherche l'ensemble des points $M$ du plan tels que leur image $M'$ par la transformation $t$ soit égales à $M$ autrement dit le but de cette partie est de résoudre l'équation :
$$ (E) : z=\dfrac{\sqrt{3}-1+i}{z}+2$$
\begin{enumerate}
\item Démontrer que $z$ est solution de l'équation $(E)$ si et seulement si $z$ est solution de $(z-1)^2=\sqrt{3}+i$\\
On considère le nombre complexe $z_1=\sqrt{3}+i$.
\item Déterminer le module de $z_1$ et un argument de $z_1$.
\item On cherche un nombre complexe $Z$ qui vérifie $(F) : Z^2=z_1$.
\begin{enumerate}
\item Déterminer le module de $Z$.
\item Démontrer que l'argument de $Z$ que l'on notera $\theta$ vérifie :
$$ \theta=\dfrac{\pi}{12}+k\pi\qquad \text{avec} \qquad k\in \Z$$
\item Représenter géométriquement dans le plan complexe chaque point dont l'affixe est solution de l'équation $(F)$ et donner une forme trigonométrique associée à chacune de ses affixes.
\end{enumerate}
\item On considère les deux nombres complexes suivants :
$$ z_2=\dfrac{\sqrt{2}}{2}+\dfrac{\sqrt{2}}{2}i\qquad \text{et}\qquad z_3=\dfrac{z_1}{2}$$
\begin{enumerate}
\item Déterminer un module et un argument de $z_2$, $z_3$ et $\dfrac{z_2}{z_3}$.
\item Déterminer la forme algébrique de $\dfrac{z_2}{z_3}$, on précisera sa partie réelle et sa partie imaginaire.
\item En déduire que :
$$ \cos \dfrac{\pi}{12}=\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\qquad \text{et}\qquad \sin\dfrac{\pi}{12}=\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$$
\end{enumerate}
\item En déduire les formes algébriques des solutions de l'équation $(F)$ (c'est-à-dire déterminer la forme algébrique des racines carrées complexes de $z_1$) puis en déduire enfin l'ensemble des points invariants par la transformation $t$.
\end{enumerate}
\end{exoi}
\end{document}