\documentclass[a4paper,10pt,french]{article}
\linespread{1}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Définitions de la feuille d'exercices

\newcommand{\typedoc}{Devoir Maison 5}          %%%%%%%%%%%%%%% 1ere ligne du titre de la feuille
\newcommand{\Ch}{Probabilit\'e}		   %%%%%%%%%%%%%%%% 2eme ligne et en haut à droite après	
\newcommand{\ch}{R\'evisions}               %%%%%%%%%%%%%%% En haut à gauche (numero chapitre)
\newcommand{\Cl}{T$^\text{ale}$S}
\newcommand{\Annee}{2015-2016}

\newcommand{\serie}{Scientifique}
\newcommand{\num}{0}	
\newcommand{\tps}{2h}	



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Début
\begin{document}


\DocDav

\vfill 

%\textbf{Vous traiterez au choix au moins un exercice parmi les six suivants. En traiter au moins deux est conseillé. Si vous ne vous sentez pas encore à l'aise avec les suites, il est inutile de tourner la page.}

\textbf{La note tiendra compte de la qualité de la rédaction et de l'application.}



 
\begin{exoi}\hfill $\spadesuit\spadesuit$\\
Alice se trouve en possession de $5$ clefs identiques qui lui permettent d'ouvrir son coffre secret. Malheureusement Alice sait que parmi ses $5$ clefs, $2$ n'ouvrent pas la porte parce qu'elles sont défectueuses mais les autres le peuvent. Elle veut alors les tester toutes, une à une. Le choix des clefs est effectué au hasard et sans remise. On appelle clef numéro $x$ la clef utilisée au $x-$ème essai.

On appelle $D_i$ l'événement : \og la clef numéro $i$ n'ouvre pas la porte.\fg{}
\begin{enumerate}
\item Calculer la probabilité de l'événement $D_1$.
\item \begin{enumerate}
\item Déterminer $P_{D_1}(D_2)$.
\item En déduire la probabilité de l'événement $D_1\cap D_2$.
\end{enumerate}
On pourra, pour la suite de l'exercice, s'aider d'un arbre de probabilité.
\item Quelle est la probabilité de l'événement $A$ : \og les clefs numéros 1 et 2 ouvrent la porte et la clef numéro 3 ne l'ouvre pas \fg{} ?
\item Pour $1\leq i \leq j \leq 5$, on note $B_{(i;j)}$ l'événement : \og les clefs qui n'ouvrent pas la porte sont les clefs numéros $i$ et $j$ \fg{}.
\begin{enumerate}
\item Calculer $P(B_{(2;4)})$.
\item Calculer $P(B_{(4;5)})$.
\end{enumerate}

\end{enumerate}
\end{exoi}


\begin{exoi}\hfill $ \spadesuit \spadesuit\spadesuit$\\
Une des épreuves du jeu télévisé Fort Boyard consiste à ouvrir un coffre contenant $p$ (avec $p>6$) mygales sur lesquelles est collé un morceau de papier. Sur deux d'entre elles, le morceau de papier contient un code (le même sur ces deux mygales) utile au candidat pour la poursuite du jeu. Pour les autres, le papier est vierge. Le candidat doit obtenir ce code en temps limité.\\
On précise :
\begin{itemize}
\item le candidat choisit au hasard une mygale dans le coffre ;
\item si le papier est vierge, le candidat le pose en dehors du coffre ;
\item le temps accordé permet au candidat, s'il surmonte sa peur, de faire six tentatives pour obtenir le code.
\end{itemize}
On note $C_i$ l'événement : \og un code est inscrit sur le papier collé à la $i$-ième mygale choisit par le candidat\fg{}.
\begin{enumerate}
\item Réaliser un arbre  pondéré de probabilité modélisant cette expérience.
\item Calculer la probabilité en fonction de $p$ que le candidat ne trouve pas le code.
\item Combien faut-il au maximum de mygales pour que la probabilité que le candidat trouve le code soit supérieure à $0,60$ ?
\end{enumerate}
\end{exoi}

\begin{exoi}

\textbf{R.O.C}

Soit $P$ une loi de probabilité sur un univers $\Omega$.

On considère deux événements indépendants $A$ et $B$. Démontrer que $\overline{A}$ et $B$ sont indépendants.

\end{exoi}
\end{document}