\documentclass[a4paper,10pt,french]{article}
\linespread{1}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Définitions de la feuille d'exercices

\newcommand{\typedoc}{Devoir Maison 4}          %%%%%%%%%%%%%%% 1ere ligne du titre de la feuille
\newcommand{\Ch}{Suites/Espace/fonctions}		   %%%%%%%%%%%%%%%% 2eme ligne et en haut à droite après	
\newcommand{\ch}{R\'evisions}               %%%%%%%%%%%%%%% En haut à gauche (numero chapitre)
\newcommand{\Cl}{T$^\text{ale}$S}
\newcommand{\Annee}{2015-2016}

\newcommand{\serie}{Scientifique}
\newcommand{\num}{0}	
\newcommand{\tps}{2h}	



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
%\usepackage[french,lined,boxed,commentsnumbered]{algorithm2e}

\input macrodwicky.tex
\geometry{verbose,letterpaper,tmargin=1.8cm,bmargin=1.8cm,lmargin=1.5cm,rmargin=1.5cm}
\renewcommand{\arraystretch}{1.2}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Début
\begin{document}


\DocDav

\vfill 

%\textbf{Vous traiterez au choix au moins un exercice parmi les six suivants. En traiter au moins deux est conseillé. Si vous ne vous sentez pas encore à l'aise avec les suites, il est inutile de tourner la page.}

\textbf{La note tiendra compte de la qualité de la rédaction et de l'application.}



 
\begin{exoi}\hfill $\spadesuit\spadesuit$\\
L'espace est rapporté au repère orthonormal $\left(O;\vec i, \vec j,\vec k\right)$. On considère les points :
$$ A(2;1;-1),\quad B(-1;2;4),\quad C(0;-2;3),\quad D(1;1;-2)$$
Pour chacune des affirmations suivantes, dire, en justifiant, si elle est vraie ou si elle est fausse.
\begin{enumerate}
\item \textbf{Affirmation 1} : Les points $A$, $B$ et $C$ définissent un plan.
\item \textbf{Affirmation 2} : Une représentation paramétrique de la droite $(AC)$ est :
$$ \left\{ \begin{array}{l} x=2k \\y=2+3k\\ z=3-4k  \end{array} \right.\qquad k\in \R$$
\item \textbf{Affirmation 3} : Une représentation paramétrique du plan $(ABD)$ est :
$$ \left\{ \begin{array}{l} x=1+3t-t'\\y=1-t\\ z=-2-5t-t'  \end{array} \right.\qquad t\in \R, t'\in \R $$
%\item \textbf{Affirmation 4} : La sphère $\mathscr S$ de centre $C$ et de rayon $5$ coupe la droite $(AD)$ en deux points.
\item \textbf{Affirmation 4} : La droite $\Delta$ dont une représentation paramétrique est :
$$ \left\{ \begin{array}{l} x=1+2u \\y=-1+3u\\ z=1-4u  \end{array} \right.\qquad u\in \R$$
est sécante avec la droite $(AC)$.
\end{enumerate}
\end{exoi}




\begin{exoi}\hfill $\spadesuit\spadesuit$\\
\partieBac{Etude d'une fonction auxiliaire}
On considère la fonction $g$ définie sur $\R$ par :
$$ g(x)=x^3+12x+4$$
\begin{enumerate}
\item Déterminer les limites de $g$ en $+\infty$ et en $-\infty$.
\item Dresser le tableau de variation de la fonction $g$.
\item Montrer que l'équation $g(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$. Donner $\alpha$ à $10^{-2}$ près ou proposer un encadrement de $\alpha$ d'amplitude $10^{-2}$.
\item Dresser le tableau de signe de la fonction $g$.
\end{enumerate}
\partieBac{Etude d'une fonction rationnelle}
On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par :
$$ f(x)=\dfrac{x^3-2}{x^2+4}$$
\begin{enumerate}
\item Déterminer les limites de $f$ en $+\infty$ et en $-\infty$.
\item Démontrer que pour tout $x\in \R$ on a :
$$ f'(x)=\dfrac{xg(x)}{(x^2+4)^2}$$
\item En déduire le tableau de variation de la fonction $f$.
\end{enumerate}
\end{exoi}

\pagebreak

%\thispagestyle{CadrePro}

\begin{exoi}\hfill $\spadesuit\spadesuit\spadesuit$\\
\begin{enumerate}
\item On considère la fonction $f$ définie sur $[0;+\infty[$ par :
$$ f(x)=\sqrt{3x+4}$$
\begin{enumerate}
\item Déterminer la limite de $f$ en $+\infty$.
\item Dresser le tableau de variation complet de $f$.
\item Justifier que la fonction $f$ est continue sur $[0;+\infty[$.
\end{enumerate}
\item Soit $(u_n)$ la suite définie sur $\N$ par :
$$ u_0=0\qquad \text{et} \qquad u_{n+1}=f(u_n)=\sqrt{3u_n+4}$$
\begin{enumerate}
\item Montrer, par récurrence et en utilisant la fonction $f$, que $(u_n)$ est strictement croissante.
\item Montrer que, pour tout $n\in \N$, on a : $\qquad  u_n\leq 4$
\item En déduire que $(u_n)$ converge et déterminer sa limite. 
\end{enumerate}
\item On considère l'algorithme suivant :
\begin{center}
\Algo{8cm}{
\Entree{ \\
\qquad  $u$  est un nombre réel.\\
\qquad  $n$ est un  entier naturel.\\
\qquad $\epsilon$ est un nombre réel strictement positif.\\
}
{
$n=0$. \\$u=0$.\\
  \While{$|u-4|\geq \epsilon$}
{$n:=n+1$.\\ $u:=\sqrt{3\times u +4}$  
}
\\Afficher $n$
}
}
\end{center}
\begin{enumerate}
\item Afin de découvrir l'affichage de cet algorithme pour $\epsilon=0,1$. Recopier et compléter le tableau des valeurs prises par les variables $n$, $u$ et par $|u-4|$ (\textit{On se contentera de valeurs approchées}):
\begin{center}
\begin{tabular}{|p{1cm}|p{1cm}|p{1cm}|p{1cm}|p{1cm}|p{1cm}|p{1cm}|}
\hline
$n$ & 0 & $1$& $\dots$& $\dots$&$\dots$ &$\dots$\\ \hline
$u$ & 0 & $\dots$ &$\dots$ &$\dots$  &$\dots$  &$\dots$\\ \hline
$|u-4|$ & 4 & $\dots$ & $\dots$ & $\dots$ & $\dots$&$\dots$ \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
Qu'affiche cet algorithme ?
\item Pourquoi est-on sûr qu'à partir d'un certain rang on aura $|u-4|< \epsilon$ ?
\end{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item On souhaite montrer que pour tout entier naturel $n$ on a : $\qquad 4-u_{n+1}\leq \dfrac{1}{2}\left(4-u_n\right)$
 \begin{enumerate}
\item Montrer que pour tout entier naturel $n$ on a :
$$ 4-u_{n+1}=\dfrac{3(4-u_n)}{4+\sqrt{3u_n+4}}$$
\item En justifiant que $\sqrt{3u_n+4}\geq 2$ montrer que pour tout entier naturel $n$ on a $ \dfrac{3}{4+\sqrt{3u_n+4}}\leq \dfrac{1}{2}$.
\item Conclure.
\end{enumerate}
\item En déduire que :  $\qquad 4-u_{10}\leq \left(\dfrac{1}{2}\right)^5(4-u_5) $
\item En déduire que pour $\epsilon =0,01$, l'algorithme affichera une valeur de $n$ inférieure ou égale à $10$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exoi}








%\begin{exoi}
%\begin{enumerate}
%\item
%\begin{enumerate}
%\item On désigne par $g$ la fonction définie sur $[0;\pi]$ par :
%$$ g(x)=x\cos x-\sin x$$
%Etudier $g$ et dresser son tableau de variation.
%\item En déduire le sens signe de $g$ sur $[0;\pi]$.
%\end{enumerate}
%\item Soit $f$ la fonction définie sur $[0;\pi]$ par :
%$$\left\{ \begin{array}{l} f(0)=1\qquad \text{si }x=0\\ f(x)=\dfrac{\sin x}{x} \qquad \text{sinon}  \end{array} \right.$$
%\textbf{On admet que} : $ \lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\sin x}{x}=1$
%\begin{enumerate}
%\item Justifier que $f$ est continue sur $[0;\pi]$.
%\item Etudier les variations de $f$ sur $]0;\pi]$.
%\item \begin{enumerate}
%\item Prouver que, pour tout nombre réel $x\geq 0$ :
%$$ 0\leq x-\sin x\leq \dfrac{x^3}{6}$$
%Pour cela on introduira la fonction $\phi$ définie sur $[0;+\infty[$ par $\phi(x)=\sin x -x+\dfrac{x^3}{6}$ et on calculera $\phi'$, $\phi''$ et $\phi''$ afin de déduire le signe de $\phi$.
%\item Prouver que $f$ est dérivable en $0$ et calculer $f'(0)$.
%\end{enumerate}
%\end{enumerate}
%
%\end{enumerate}
%\end{exoi}
%
%\begin{exoi}
%Soit $f$ la fonction définie sur $[0;1]$ par :
%$$ f(x)=\sqrt{\dfrac{x^3}{1-x}}$$
%\begin{enumerate}
%\item Déterminer la limite de $f$ en $0$ ; puis la limite de $f$ en $1^-$. \\
%En déduire l'existence d'une asymptote.
%\item Montrer que pour tout $x\in ]0;1[$ on a :
%$$ f'(x)=\dfrac{x^2(-3+x)}{2(1-x)^2\sqrt{\dfrac{x^3}{1-x}}}$$
%\item Dresser le tableau de variation de $f$.
%\item Soit $\Gamma_1$ la représentation graphique de la fonction $f$ dans un repère orthonormé.\\
%Déterminer une équation cartésienne de la tangente $T$ au point d'abscisse $\dfrac{1}{2}$.
%\\
%Tracer $\Gamma_1$ et $T$.
%\item Sur le même graphique , tracer $\Gamma_2$, courbe symétrique de $\Gamma_1$ par rapport à l'axe des ordonnées.
%\item Soit $\Gamma=\Gamma_1\cup \Gamma_2$. Montrer que $\Gamma$ a pour équation :
%$$ x(x^2+y^2)-y^2=0$$
%$\Gamma$ est appelé cissoïde de Dioclès.
%\end{enumerate}
%\end{exoi}



\end{document}