\documentclass[a4paper,11pt,french]{article}
\linespread{1}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Définitions de la feuille d'exercices

\newcommand{\typedoc}{Devoir Maison 2}          %%%%%%%%%%%%%%% 1ere ligne du titre de la feuille
\newcommand{\Ch}{Suites monotones et limites}		   %%%%%%%%%%%%%%%% 2eme ligne et en haut à droite après	
\newcommand{\ch}{R\'evisions}               %%%%%%%%%%%%%%% En haut à gauche (numero chapitre)
\newcommand{\Cl}{T$^\text{ale}$S}
\newcommand{\Annee}{2015-2016}

\newcommand{\serie}{Scientifique}
\newcommand{\num}{0}	
\newcommand{\tps}{2h}	



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
%\usepackage[french,lined,boxed,commentsnumbered]{algorithm2e}

\input macrodwicky.tex
\geometry{verbose,letterpaper,tmargin=1.8cm,bmargin=1.8cm,lmargin=1.5cm,rmargin=1.5cm}
\renewcommand{\arraystretch}{1.2}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Début
\begin{document}


\DocDav

\vfill 

\textbf{Vous traiterez au choix au moins un exercice parmi les 4 suivants. En traiter au moins deux est conseillé. Si vous ne vous sentez pas encore à l'aise avec les suites, il est inutile de tourner la page.}

\Exoi{\textbf{Théorème de convergence monotone.}\hfill $ \spadesuit\spadesuit$\\
Soit $(u_n)$ une suite décroissante et strictement positive.
\\
Soit la suite $(v_n)$, définie sur $\N$ par $v_n=\dfrac{1}{1+u_n}$
\begin{enumerate}
\item Démontrer, par récurrence que la suite $(v_n)$ est strictement croissante.
\item En vous du fait que $u_n>0$ pour tout entier naturel $n$, démontrer que :
$$ \forall n\in \N, \qquad v_n<1$$
\item En déduire que la suite $(v_n)$ converge.
\end{enumerate}
}


\Exoi{\textbf{Théorème de convergence monotone.}\hfill $ \spadesuit \spadesuit \spadesuit$\\
On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0=\dfrac{1}{2}$ et telle que pour tout entier naturel $n$, 
$$ u_{n+1}=\dfrac{3u_n}{1+2u_n}$$
\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item Calculer $u_1$ et $u_2$.
\item Démontrer, par récurrence, que pour tout entier naturel $n$, $0<u_n$.
\item \begin{enumerate}
\item Soit $f$ la fonction définie sur $[0;+\infty[$ par $f(x)=\dfrac{3x}{1+2x}$. 
\\
Calculer $f'(x)$ puis en déduire les variations de $f$ sur $[0;+\infty[$.
\item Démontrer, par récurrence, que pour tout entier naturel $n$ on a $u_n<1$
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item Démontrer que pour tout entier naturel $n$ on a :
$$ u_{n+1}-u_n=\dfrac{2u_n(1-u_n)}{1+2u_n}$$
\item Etudier le signe de $u_{n+1}-u_n$ puis en déduire que la suite $(u_n)$ est croissante.
\item En déduire que la suite $(u_n)$ converge.
\end{enumerate}
\end{enumerate}}






%\Exoi{\textbf{Théorème de comparaison.}\hfill $\spadesuit\spadesuit $\\
%Soit $a\in\R$, on considère la suite $(u_n)$ définie, pour tout entier naturel $n$, par :
%$$ u_0=a\qquad \text{et}\qquad u_{n+1}=u_n+u_n^2+1$$
%\begin{enumerate}
%\item Montrer que la suite $(u_n)$ est strictement croissante.
%\item Ecrire et programmer un algorithme qui demande de saisir deux réels $M$ et $a$ et qui affiche le premier rang $p$ pour lequel $u_p>M$. 
%\item Soit $n\in\N$ et $\mathscr P(n) : u_n\geq a+n$. Montrer par récurrence que $\mathscr P(n)$ est vraie pour tout $n\in\N$.
%\item En déduire que $\lim\limits_{n\to+\infty}u_n=+\infty$.
%\end{enumerate}}

\pagebreak


\Exoi{Divergence de la série harmonique\hfill $ \spadesuit\spadesuit\spadesuit\spadesuit\spadesuit\spadesuit $\\
On considère la suite définie pour tout entier $n\in\N^*$ par :
$$u_n=\sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{k}$$
\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item Calculer $u_1$, $u_2$, $u_3$ et $u_4$.
\item Compléter l'algorithme suivant afin qu'il affiche $u_n$ :
\begin{center}
\Algo{8cm}{
\Entree{ 
 $u$  est un nombre réel.\\
 $n$ est un  entier naturel non nul.\\
  $k$ est un  entier naturel non nul.\\
}
{
$k=1$ et $u=1$.\\
Saisir $n$\\
  \While{$k< n$}
{$k:=\dots\dots\dots$
$u:=\dots\dots\dots$  
}
\\Afficher $\dots\dots$
}
}
\end{center}
\item Qu'affiche l'algorithme pour $n=10$ ?, $n=100$ ? et $n=1000$ ? (on ne demande pas de détail).
\item Pensez-vous que la suite $(u_n)$ converge ?
\end{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item Démontrer que la suite $(u_n)$ est strictement croissante.
\item En écrivant $u_n=\underbrace{\dfrac{1}{1}}_{\geq 1}+\underbrace{\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}}_{\geq 1}+\underbrace{\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{7}+\dfrac{1}{8}}_{\geq 1}+\underbrace{\dfrac{1}{9}+\dfrac{1}{10}+\dfrac{1}{11}+\dfrac{1}{12}+\dfrac{1}{13}+\dfrac{1}{14}+\dfrac{1}{15}+\dfrac{1}{16}}_{\geq 1}+\dots+\dfrac{1}{n}$ justifier que $(u_n)$ n'est pas majorée c'est-à-dire justifier que quelque soit le réel $A$ il existe un rang $n$ tel que $u_n>A$.
\item En déduire $\lim\limits_{n\to +\infty} u_n$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
}

\Exoi{\hfill $ \spadesuit\spadesuit\spadesuit\spadesuit $\\
On considère la suite $$u_n=\sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{k^2}$$
\begin{enumerate}
\item Montrer que $ \dfrac{1}{k^2}\leq \dfrac{1}{k(k-1)}\leq \dfrac{1}{k-1}-\dfrac{1}{k}, \forall k\geq 2$.
\item Montrer que $$ \sum_{k=2}^n \left(\dfrac{1}{k-1}-\dfrac{1}{k}\right)=1-\dfrac{1}{n}$$
\item Montrer que $$\sum_{k=2}^n \dfrac{1}{k^2}\leq 1$$.
\item Déterminer un réel $M$ qui majore $u_n$ pour tout entier $n\in\N^*$.
\item Montrer que $u$ converge.
\end{enumerate} 
}

\end{document}