\documentclass[a4paper,10pt,french]{article}
\linespread{1}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Définitions de la feuille d'exercices

\newcommand{\typedoc}{Travaux dirig\'ees 1}          %%%%%%%%%%%%%%% 1ere ligne du titre de la feuille
\newcommand{\Ch}{Raisonnements par r\'ecurrence}		   %%%%%%%%%%%%%%%% 2eme ligne et en haut à droite après	
\newcommand{\ch}{Chapitre 1}               %%%%%%%%%%%%%%% En haut à gauche (numero chapitre)
\newcommand{\Cl}{T$^\text{ale}$S}
\newcommand{\Annee}{2017-2018}

\newcommand{\serie}{Scientifique}
\newcommand{\num}{0}	
\newcommand{\tps}{2h}	



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
%\usepackage[french,lined,boxed,commentsnumbered]{algorithm2e}

\input macrodwicky.tex
\geometry{verbose,letterpaper,tmargin=1.8cm,bmargin=1.8cm,lmargin=1.5cm,rmargin=1.5cm}
\renewcommand{\arraystretch}{1.2}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Début
\begin{document}


\DocDav

\begin{exoi}
 On donne ci-dessous trois propositions vraies. 
\begin{enumerate}
 \item Pour tout entier $n\geq 5$, $2^n > n^2$
 \item Pour tout réel $x>0$, $(x+1)^3 \geq 1+3x$
 \item Pour tout entier $n \geq 1$, $\sum_{k=1}^n (2k-1)^3=2n^4-n^2$
\end{enumerate}
Pour lesquelles peut-on envisager une démonstration par récurrence (que l'on ne fera pas) ?
\end{exoi}

\begin{exoi}
 La suite $(u_n)$ est définie, pour tout entier naturel $n$, par : 
$\left\{ \begin{array}{l} u_0=2 \\ u_{n+1}=2 u_n -3  \end{array} \right.$\\
Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, on a $u_n=3-2^n$
\end{exoi}



\begin{exoi}
 On considère la suite $u$ définie sur $\N$ par son premier terme $u_0$ et pour tout $n$ par la relation
$u_{n+1}=3u_n+1$. Démontrer chacune des propositions suivantes.
\begin{enumerate}
 \item La proposition \og $u_n \leq u_{n+1}$ \fg est héréditaire.
 \item La proposition \og $u_n \geq u_{n+1}$ \fg est héréditaire.
 \item Si $u_0=1$ la suite $u$ est croissante.
 \item Si $u_0=-2$, la suite $u$ est décroissante.
 \item Su $u_0=-0.5$, la suite $u$ est stationnaire.
\end{enumerate}
\end{exoi}

\begin{exoi}
 \begin{enumerate}
  \item Montrer que les deux propositions suivantes sont héréditaires\\
  $(A)$ : \og $10^n-1$ est un multiple de $9$ \fg \qquad\qquad \qquad\qquad 
  $(B)$ : \og $10^n+1$ est un multiple de $9$ \fg
\item Sont-elles vraies pour tout entier naturel $n$ ?
 \end{enumerate}
\end{exoi}




\begin{exoi}
On s'intéresse désormais à la somme $S_n$ des cubes des $n$ premiers entiers naturels impairs.
\begin{enumerate}
\item Calculer $S_1$, $S_2$ et $S_3$.
\item Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n\geq 1$, on a $$S_n=2n^4-n^2$$
\item Quel est l'entier $n$ pour lequel $S_n=41328$ ?
\end{enumerate} 

\end{exoi}


\begin{exoi}
Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$, $2^{3n}-1$ est un multiple de $7$.
\end{exoi}

\begin{exoi}
On considère la suite $(u_n)$ définie sur $\N$ par :
$$ u_0=3\qquad \text{et}\qquad u_{n+1}=2+\dfrac{1}{u_n}$$
Montrer que, pour tout $n\in\N$ on a :
$$ 2\leq u_n\leq 3$$
\end{exoi}


\begin{exoi}
Montrer que $4^n-1$ est un multiple de $3$ pour tout entier naturel $n$.
\end{exoi}

\begin{exoi}
 Démontrer que pour tout entier $n\geq 0$, l'\textbf{inégalité de Bernoulli} est vraie :
$$\forall x >0 \text{ , on a } (1+x)^n \geq 1+nx$$
\end{exoi}

\pagebreak 

\begin{exoi}
\begin{enumerate}
 \item Rappeler ce que signifie l'écriture $\left(\begin{array}{c}
                                                   n \\ k
                                                  \end{array}\right)$ pour $n$ et $k$ entiers tels que $0 \leq k \leq n$.
\item Compléter la propriété suivante, vu en première :\\
\indent Pour tous $n$ et $k$ entiers tels que $0 \leq k \leq n$, on a  $\left(\begin{array}{c}
                                                   n \\ k
                                                  \end{array}\right) + \left(\begin{array}{c}
                                                   n \\ k+1
                                                  \end{array}\right) = $
\item Ecrire les 5 premières lignes du triangle de Pascal.
 \item Démontrer que pour tous réels $a$ et $b$ on a 
$$(a+b)^3 = a^3 + 3 a^2 b + 3 ab^2 + b^3$$
%ainsi que 
%$$(a+b)^4 = a^4 + 4a^3b + 6 a^2 b^2 + 6 a^2b^2 +4ab^3 + b^4$$
\item Quel lien observe-t-on entre les coefficients de développement et le triangle de Pascal ?
\item Démontrer par récurrence que pour tout $n \geq 1$ on a :
$$(a+b)^n=\sum_{k=1}^n \left(\begin{array}{c}
                                                   n \\ k
                                                  \end{array}\right)a^{n-k}b^k$$
formule appelée \textbf{formule du binôme de Newton}.
\item \textit{Application} : développer $(a+b)^5$ sans calcul.
\end{enumerate}
\end{exoi}



\begin{exoi}

On définit la suite $(u_n)$ sur $\N$ par : 
$$\left\{ \begin{array}{l} u_0=a \\ u_{n+1}=\sqrt{1+u_n}  \end{array} \right.$$
où $a\in[-1;+\infty[$.\\
A l'aide d'un raisonnement par récurrence, étudier la monotonie de la suite $(u_n)$ \footnote{On comparera les valeurs $u_0$ et $u_1$ suivant les valeurs de $a$.}
\end{exoi}






\begin{exoi}
 On considère la suite $(u_n)$ définie sur $\N$ par $u_n=\dfrac{2n-1}{2^n}$\\
 Et la suite $(S_n)$ définie sur $\N$ par : $S_n=\sum_{k=0}^n u_k = u_0 + u_1 + \dots + u_n$.\\
 Démontrer par récurrence que pour tout $n\in\N$ on a $S_n=\dfrac{2^{n+1}-2n-3}{2^n}$
\end{exoi}

\begin{exoi}Démontrer que $\sum\limits_{k=0}^{n} k^2=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}$.
\end{exoi}
%
%\Sol{ On considère la propriété $\mathscr P$, définie pour tout $n\in\N$, par : 
%$$ \mathscr P(n):\sum\limits_{k=0}^{n} k^2=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}$$
%\begin{itemize}
%\item \textbf{Initialisation} : Pour $n=0$, on a $0=0$, donc $\mathscr P(0)$ est vraie.
%\item \textbf{Hérédité} : Supposons que $\mathscr P(n)$ soit vraie i.e que $\sum\limits_{k=0}^{n} k^2=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ pour un certain rang $n$ et montrons que $\mathscr P(n+1)$ est vraie.\\
%$$ \sum\limits_{k=0}^{n+1} k^2=\sum\limits_{k=0}^{n} k^2+(n+1)^2=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}+(n+1)^2=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}+\dfrac{6(n+1)^2}{6}$$
%$$=\dfrac{n(n+1)(2n+1)+6(n+1)^2}{6}=\dfrac{(n+1)[n(2n+1)+6(n+1)]}{6}=\dfrac{(n+1)(2n^2+7n+6}{6}$$
%Or, $(n+2)(2n+3)=2n^2+3n+4n+6=2n^2+7n+6$, par conséquent :
%$$ \sum\limits_{k=0}^{n+1} k^2=\dfrac{(n+1)(n+2)(2n+3)}{6}$$
%la propriété est donc héréditaire, et donc on a montré par récurrence que $$\sum\limits_{k=0}^{n} k^2=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}\qquad \forall n\in\N$$
%\end{itemize}}

\begin{exoi}Considérons la suite $(u_n)$, définie pour tout $n\in\N$, par : 
$$\left\{ \begin{array}{l} u_0=1 \quad \text{et}\quad u_1=2\\ u_{n+2}=5u_{n+1} -6u_n  \end{array} \right.$$
Démontrer que pour tout $n\in\N$ : $\qquad  u_n=2^n$
\end{exoi}

%\Sol{Notons $ \mathscr P(n):u_n=2^n$
%\begin{itemize}
%\item \textbf{Initialisation} : $u_0=2^0=1$, par conséquent $\mathscr P(0)$ est vraie.
%\item \textbf{Hérédité} : Supposons que $\mathscr P(i)$ soit vraie $\forall i\leq n$, montrons que $\mathscr P(n+1)$ est vraie i.e montrons que $u_{n+1}=2^{n+1}$\\
%On a : $ u_{n+1}=5u_{n} -6u_{n-1}=5\times 2^n-6\times 2^{n-1}=10\times 2^{n-1}-6\times 2^{n-1}=4\times 2^{n-1}=2^{n+1} $
%\end{itemize}
%On en conclut donc, par récurrence, que $u_n=2^n$, $\forall n\in\N$}

\begin{exoi}Démontrer que, pour tout entier $n \geq 2$, la fonction $f_n$, définie sur $\R$ par $f_n(x)=x^n$, est dérivable sur $\R$, avec $f'_n(x)=nx^{n-1}$\end{exoi}

%\Sol{Notons $\mathscr P(n):f_n$ est dérivable
%\begin{itemize}
%\item \textbf{Initialisation} : $f_2(x)=x^2$, on a :
%$$ \dfrac{f_2(x+h)-f(x)}{h}=\dfrac{(x+h)^2-x^2}{h}=\dfrac{x^2+2xh+h^2-x^2}{h}=2x+h$$
%qui tend vers $2x$ lorsque $h$ tend vers $0$, par conséquent $\mathscr P(2)$ est vraie.
%\item \textbf{Hérédité} : Supposons que $\mathscr P(i)$ soit vraie $\forall i\geq n$, montrons que $\mathscr P(n+1)$ est vraie i.e montrons que $f_{n+1}$ est une fonction dérivable.
%\\
%Notons que $f_{n+1}(x)=x^{n+1}=x^n\times x=f_n\times f_1$, or le produit de deux fonctions dérivables est une fonction dérivable, par conséquent $f_{n+1}$ est dérivable et sa dérivée vaut :
%$$ f'_{n+1}(x)=f'_n(x)f_1(x)+f_n(x)f'_1(x)=nx^{n-1}x+x^{n-1}x=nx^n+x^n=(n+1)x^n$$
%CQFD
%\end{itemize}}

\begin{exoi}On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0=0$ et pour tout entier naturel $n$ : $ u_{n+1}=\sqrt{\dfrac{1+u_n}{2} }$.

Montrer, par récurrence, que pour tout $n\geq 1$ on a $ \dfrac{1}{\sqrt{2} }\leq u_n\leq 1$ \end{exoi}

%\Sol{\begin{itemize}
%\item \textbf{Initialisation} : $u_1=\sqrt{\dfrac{1}{2} }=\dfrac{1}{ \sqrt{2} }$, donc : 
%$$ \dfrac{1}{ \sqrt{2} }\leq u_1 \leq 1$$
%\item \textbf{Hérédité} : Supposons que, pour un entier $n\geq 1$ on ait $$ \dfrac{1}{\sqrt{2} }\leq u_n\leq 1$$
%Montrons que $ \dfrac{1}{\sqrt{2} }\leq u_{n+1}\leq 1$, pour cela considérons la fonction $f$ définie sur $I=[0;+\infty[$ par $$ f(x)=\sqrt{\dfrac{1+x}{2} }$$
%On a $ u_{n+1}=f(u_n)$, de plus la fonction $f$ est dérivable sur $I$ et $$ f'(x)= \dfrac{\frac{1}{2} }{2 \sqrt{\dfrac{1+x}{2} } }=\dfrac{1}{4}\sqrt{\dfrac{2}{1+x} }>0$$
%Par conséquent $f$ est une fonction strictement croissante sur $I$. On en déduit alors :
%$$ \dfrac{1}{ \sqrt{2} }\leq u_1 \leq 1 \Longrightarrow f\left(\dfrac{1}{ \sqrt{2} }\right)\leq u_{n+1} \leq f(1)$$
%Or, $f\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)>\dfrac{1}{\sqrt{2} }$ et $f(1)=1$, donc $$  \dfrac{1}{\sqrt{2} }\leq u_{n+1}\leq 1$$
%Ainsi, pour tout $n\geq 1$,  $ \dfrac{1}{\sqrt{2} }\leq u_n\leq 1$ 
%\end{itemize}}




\end{document}