\documentclass[a4paper,10pt,french]{article}
\linespread{1}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Définitions de la feuille d'exercices

\newcommand{\typedoc}{Travaux dirig\'ees 4}          %%%%%%%%%%%%%%% 1ere ligne du titre de la feuille
\newcommand{\Ch}{Les nombres complexes}		   %%%%%%%%%%%%%%%% 2eme ligne et en haut à droite après	
\newcommand{\ch}{R\'evisions}               %%%%%%%%%%%%%%% En haut à gauche (numero chapitre)
\newcommand{\Cl}{T$^\text{ale}$S}
\newcommand{\Annee}{2013-2014}

\newcommand{\serie}{Scientifique}
\newcommand{\num}{0}	
\newcommand{\tps}{2h}	



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
%\usepackage[french,lined,boxed,commentsnumbered]{algorithm2e}

\input macrodwicky.tex
\geometry{verbose,letterpaper,tmargin=1.8cm,bmargin=1.8cm,lmargin=1.5cm,rmargin=1.5cm}
\renewcommand{\arraystretch}{1.2}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Début
\begin{document}


\DocDav


\begin{exoi}On considère les points $A$ et $B$ d'affixes respectives $z_A=1+2i$ et $z_B=2-i$. Déterminer l'affixe de $C$ tel que $OABC$ soit un parallélogramme :
\begin{enumerate}
\item en utilisant les affixes de vecteurs ;
\item en utilisant les affixe d'un milieu.
\end{enumerate}
\end{exoi}

\begin{exoi}On considère les points $A$, $B$, $C$ et $D$ d'affixes respectives $z_A=\dfrac{3}{2}i$, $z_B=2+\dfrac{1}{2}i$, $z_C=1-\dfrac{3}{2}i$ et $z_D=-1-\dfrac{1}{2}i$.
\begin{enumerate}
\item Placer les points sur un graphique puis déterminer l'affixe du milieu $I$ du segment $[AC]$.
\item Déterminer les affixes des vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{DC}$. Que peut-on en déduire ?
\item Déterminer l'affixe du point $E$ symétrique de $A$ par rapport à $B$.
\end{enumerate}
\end{exoi}

\begin{exoi}La plan complexe est muni du repère orthonormal direct $(O; \overrightarrow{e_1}, \overrightarrow{e_2})$.
\begin{enumerate}
\item Placer les points $A$, $B$ et $C$ d'affixes respectives $2-i$ ; $2i$ et $-\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{3} }{2}i$
\item Déterminer les affixes des points $A'$ et $B'$ symétriques de $A$ et $B$ par rapport à $O$
\item Lire l'affixe du symétrique $C'$ de $C$ par rapport à l'axe réel, puis déterminer l'affixe du vecteur $ \overrightarrow{CC'}$
\end{enumerate} \end{exoi}

\begin{exoi}Dans le plan complexe, on donne les points avec leurs affixes :
$$ A(1)\qquad B(-2-i)\qquad \text{et}\qquad C(4i)$$
Déterminer l'affixe du point $D$ tel que $ABCD$ soit un parallélogramme.\end{exoi}

\begin{exoi}En utilisant les propriétés du conjugué, écrire le conjugué du nombre complexe donné et le mettre sous forme algébrique :
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $z_1=(2-3i)(-1+i)$
\item $z_2=\dfrac{i(2-i)}{i-3}$
\end{enumerate}
\end{multicols}\end{exoi} 

\begin{exoi}Soit $(O; \overrightarrow{e_1}, \overrightarrow{e_2})$ un repère orthonormal direct du plan et $a$ et $b$ deux réels. \\
Déterminer l'ensemble des points $M(a;b)$ du plan tels que le nombre complexe $z=2a+b+i(b-1)$ soit :
\begin{multicols}{3}
\begin{enumerate}
\item un réel
\item un imaginaire pur
\item nul
\end{enumerate}
\end{multicols}\end{exoi}

\begin{exoi}

\end{exoi}On considère les nombres complexes $z_n$ définis pour tout entier $n \geqslant 0$ par la donnée de $z_0$, où $z_0$ est différent de 0 et de 1, et la relation de récurrence:

\[z_{n+1} = 1- \dfrac{1}{z_n}.\]

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Dans cette question, on suppose que $z_0 = 2$. Déterminer les nombres $z_1$, $z_2$, $z_3$,  $z_4$,  $z_5$ et $z_6$
		\item Dans cette question, on suppose que $z_0 = \text{i}$. Déterminer la forme algébrique des nombres complexes $z_1$, $z_2$, $z_3$,  $z_4$,  $z_5$ et $z_6$.
\item Dans cette question on revient au cas général où $z_0$ est un complexe donné. Que peut-on conjecturer pour les valeurs prises par $z_{3n}$ selon les valeurs de l'entier naturel $n$ ?

Prouver cette conjecture.
	\end{enumerate}
\item Déterminer $z_{{2016}}$ dans le cas où $z_0 = 1 + \text{i}$.
\item Existe-t-il des valeurs de $z_0$ tel que $z_0 = z_1$ ? Que peut-on dire de la suite $\left(z_n\right)$ dans ce cas ?
\end{enumerate}

\begin{exoi}On considère le nombre complexe $$ z=1-\sqrt{3}+i(1+ \sqrt{3})$$
\begin{enumerate}
\item Ecrire $z^2$ sous forme algébrique
\item Déterminer le module et un argument de $z^2$
\item Indiquer le signe de la partie réelle de $z$ et celui de la partie imaginaire, puis, à l'aide des propriétés sur le module et l'argument, déterminer le module et un argument de $z$.
\item Déduire de ce qui précède $\cos \dfrac{7\pi}{12}$ et $\sin \dfrac{7\pi}{12}$ puis $\cos \dfrac{\pi}{12}$ puis $\sin \dfrac{\pi}{12}$
\end{enumerate}\end{exoi}

\begin{exoi}Pour tout nombre complexe $z$, on définit :
$$ P(z)=z^3+2( \sqrt{2}-1)z^2+4(1- \sqrt{2})z-8$$
\begin{enumerate}
\item Calculer $P(2)$. \\
Déterminer une factorisation de $P(z)$ par $(z-2)$.
\item Résoudre dans $\C$ l'équation $P(z)=0$
\\
On appelle $z_1$ et $z_2$ les solutions de l'équation autres que $2$, $z_1$ ayant une partie imaginaire positive. Vérifier que $z_1+z_2=-2 \sqrt{2}$.\\
Déterminer le module et un argument de $z_1$ et de $z_2$.
\item \begin{enumerate}
\item Placer, dans le plan, muni d'un repère orthonormal direct $(O; \overrightarrow{e_1}, \overrightarrow{e_2})$ (unité graphique : 2 cm), les points : $A$ d'affixe $2$, B et C d'affixes respectives $z_1$ et $z_2$, et $I$ le milieu de $[AB]$.
\item Démontrer que le triangle $OAB$ est isocèle.
\\ En déduire une mesure de l'angle $(\overrightarrow{e_1}; \overrightarrow{OI})$.
\item Calculer l'affixe $z_I$ de $I$, puis le module de $z_I$.
\item Déduire des résultats précédents les valeurs exactes de $ \cos \dfrac{3\pi}{8}$ et $\sin \dfrac{3\pi}{8}$
\end{enumerate}
\end{enumerate}\end{exoi}


\begin{exoi}\begin{enumerate}
\item Déterminer deux réels $a$ et $b$ tels que :
$$ z^3-1=(z-1)(z^2+az+b)\forall z\in\C$$
\item Résoudre dans $\C$ l'équation $z^3=1$. On appelle $j$ la solution de partie imaginaire positive. Que vaut $j^3$ ?
\item Etablir que $j^2=\dfrac{1}{j}= \overline{j}$
\item Donner la forme algébrique de $j^n$ suivant les valeurs de l'entier $n$ dans $\N$ 
\end{enumerate}\end{exoi}

\begin{exoi} 
Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct \Ouv.
  
On note i le nombre complexe tel que $\text{i}^2 = - 1$.
 
On considère le point A d'affixe $z_{\text{A}} = 1$ et le point B d'affixe $z_{\text{B}} = \text{i}$.
 
À tout point $M$ d'affixe $z_{M} = x + \text{i}y$, avec $x$ et $y$ deux réels tels que $y \neq 0$, on associe le point $M'$ d'affixe $z_{M'} = - \text{i}z_{M}$.
 
On désigne par $I$ le milieu du segment [A$M$].
 
Le but de l'exercice est de montrer que pour tout point $M$ n'appartenant pas à (OA), la médiane (O$I$) du triangle OA$M$ est aussi une hauteur du triangle OB$M'$ (propriété 1) et que B$M' = 2 \text{O}I$ (propriété 2). 

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Dans cette question et uniquement dans cette question, on prend 

$z_{M} =1-\sqrt{3}i$. 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer le module et un argument de $z_{M}$. 
		\item Montrer que $z_{M'} = - \sqrt{3} - \text{i}$.
		
Déterminer le module et un argument de $z_{M'}$. 
		\item Placer les points A, B, $M, M'$ et $I$ dans le repère \Ouv{ }en prenant 2~cm pour unité graphique.
		 
Tracer la droite (O$I$) et vérifier rapidement les propriétés 1 et 2 à l'aide du graphique.
	\end{enumerate} 
\item On revient au cas général en prenant $z_{M} = x + \text{i}y$ avec $y \neq 0$. 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer l'affixe du point $I$ en fonction de $x$ et $y$. 
		\item Déterminer l'affixe du point $M'$ en fonction de $x$ et $y$. 
		\item Écrire les coordonnées des points $I$, B et $M'$. 
		\item Montrer que la droite (O$I$) est une hauteur du triangle OB$M'$. 
		\item Montrer que B$M' = 2 \text{O}I$.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}
\end{exoi}
\end{document}