\documentclass[a4paper,10pt,french]{article}
\linespread{1}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Définitions de la feuille d'exercices

\newcommand{\typedoc}{Travaux dirig\'ees 3}          %%%%%%%%%%%%%%% 1ere ligne du titre de la feuille
\newcommand{\Ch}{Suites et complexes}		   %%%%%%%%%%%%%%%% 2eme ligne et en haut à droite après	
\newcommand{\ch}{R\'evisions}               %%%%%%%%%%%%%%% En haut à gauche (numero chapitre)
\newcommand{\Cl}{T$^\text{ale}$S}
\newcommand{\Annee}{2013-2014}

\newcommand{\serie}{Scientifique}
\newcommand{\num}{0}	
\newcommand{\tps}{2h}	



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
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\renewcommand{\arraystretch}{1.2}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Début
\begin{document}


\DocDav


\section{Annales sur les suites}

\begin{exoi}\hfill \textbf{Polynésie $2016$}

Soit $u$ la suite définie par $u_0 = 2$ et, pour tout entier naturel $n$, par $u_{n+1} = 2u_n +2n^2 - n.$

On considère également la suite $v$ définie, pour tout entier naturel $n$, par $v_n = u_n + 2n^2 + 3n + 5.$

\begin{enumerate}
\item Voici un extrait de feuille de tableur :

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.65\linewidth}{|c| *{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
	&A	&B	&C\\ \hline
1	&$n$&$u$&$v$\\ \hline
2	&0	&2	&7\\ \hline
3	&1	&4	&14\\ \hline
4	&2	&9	&28\\ \hline
5	&3	&24	&56\\ \hline
6	&4	&63	&\\ \hline
7	&	&	&\\ \hline
8	&	&	&\\ \hline
9	&	&	&\\ \hline
10	&	&	&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

Quelles formules a-t-on écrites dans les cellules C2 et B3 et copiées vers le bas pour
afficher les termes des suites $u$ et $v$ ?
\item Déterminer, en justifiant, une expression de $v_n$ et de $u_n$ en fonction de $n$ uniquement.
\end{enumerate}
\end{exoi}

\begin{exoi}\hfill \textbf{Amérique du sud 2016}

La suite $\left(u_n\right)$ est définie par : $ u_0 = 0 \quad \text{et, pour tout entier naturel }\:n, \:u_{n+1} = \dfrac{1}{2 - u_n}.$

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item À l'aide du calcul des premiers termes de la suite $\left(u_n\right)$, conjecturer la forme explicite de $u_n$ en fonction de $n$. Démontrer cette conjecture.
		\item En déduire la valeur de la limite $\ell$ de la suite $\left(u_n\right)$.
	\end{enumerate}
\item Compléter, dans l'annexe 2, l'algorithme permettant de déterminer la valeur
du plus petit entier $n$ tel que $\left|u_{n+1} - u_n\right| \leqslant  10^{-3}$.
\end{enumerate}
\end{exoi}

\begin{center}
\begin{tabular}{|l l|}\hline
\textbf{Variables :}		&$n, a$ et $b$ sont des nombres.\\
\textbf{Initialisation :}	& $n$ prend la valeur $0$, $a:=0$ et $b:=0.5$\\
\textbf{Traitement :}		& Tant que $|b - a|$\:\:\ldots \ldots.\\
							&\hspace{0.8cm}$n$ prend la valeur\:\: \ldots \ldots.\\
							&\hspace{0.8cm}$a$ prend la valeur\:\: \ldots \ldots.\\
							&\hspace{0.8cm}$b$ prend la valeur\:\: \ldots \ldots.\\
							&Fin Tant que.\\
\textbf{Sortie :}			&Afficher\:\: \ldots \ldots.\\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\section{Effectuer des calculs algébriques avec les nombres complexes}


\begin{exoi}\begin{enumerate}
\item Soit $x\in \R$, à quelle condition le nombre complexe $z=x+2+i(-ix+x)+2i-5ix$ est-il un réel ?
\item A quelle condition est-il un imaginaire pur ?
\end{enumerate}\end{exoi}

\begin{exoi}\begin{enumerate}
\item Résoudre dans $\C$ l'équation $3z+6i=z-2$.
\item \begin{enumerate}
\item Montrer que $z^2-6z+25=(z-3)^2+16$.
\item En déduire les solutions de l'équation $z^2-6z+25=0$
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exoi}

\begin{exoi}Résoudre dans $\C$ l'équation:  $$ \dfrac{-i}{z+1}=2$$\end{exoi}

\begin{exoi}Résoudre dans $\C$ les équations ci-contre. Les solutions seront données sous forme algébrique.
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $(-1+2i)z=3+i$
\item $z^2=-9$
\end{enumerate}
\end{multicols}\end{exoi}

\begin{exoi}Déterminer les formes algébriques des nombres complexes donnés. Préciser, le cas échéant, s'il est réel ou imaginaire pur :
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $z_1=i(1-4i)+3(2-i)$
\item $z_2=(3-i)^2+6i$
\item $z_3=\dfrac{3}{1-i}$
\item $z_4=\dfrac{1+2i}{2-i}$
\end{enumerate}
\end{multicols}\end{exoi}

\begin{exoi}Résoudre dans $\C$, l'équation :
$$\dfrac{z+3i}{-5iz+2}=-i$$\end{exoi}


\begin{exoi}Déterminer la forme algébrique des nombres complexes suivants : $ \dfrac{1-i}{1+i}$ et $ \dfrac{1}{2+i}$ \end{exoi}


\begin{exoi}Déterminer le lieu des points $M$ d'affixe $z$ telle que $ \dfrac{iz-1}{z-i}$ soit réel.\end{exoi}

\begin{exoi}
On considère le complexe $z=x^2+y^2-2x-3+i(2x-1+y)$
\begin{enumerate}
\item Déterminer et représenter l'ensemble $E$ des points $M$ d'affixe $z$ tel que $z$ soit un réel.
\item Déterminer et représenter l'ensemble $F$ des points $M'$ d'affixe $z$ tel que $z$ soit un imaginaire pur.
\end{enumerate}\end{exoi}

\begin{exoi}On considère dans $\C$ le polynôme défini par :
$$ P(z)=z^4+4$$
\begin{enumerate}
\item Montrer que si le complexe $\alpha$ est solution, il en est de même pour $-\alpha$.
\item Vérifier que, pour tout nombre complexe $z$ on a $\overline{P(z)}=P(\overline{z})$
\item Calculer $P(1+i)$ et en déduire les solutions de $P(z)=0$.
\end{enumerate}\end{exoi}


\end{document}