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 \begin{document}

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\rm
\vfill
\hfill \huge{ \textbf{Mathématiques}} \hspace*{3cm} \newline

\hfill \huge{ \textbf{Cours}} \hspace*{3cm} \newline

\hfill \huge{ \textbf{Les Nombres Réels}} \hspace*{3cm} \newline

\vfill

\hfill \Large{ \textbf{Rédaction :}} \hspace*{3cm} \newline

\hfill \Large{ David Zancanaro \hspace*{3cm} \newline


\vfill


\hfill \large{ \textbf{Réalisé à  l'aide de : }\hspace*{3cm} \newline

\hfill \large{ \LaTeX \hspace*{3cm} 

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\tableofcontents
\pagebreak



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}
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\rhead{\ch}

\section{Les entiers naturels : définitions et généralités}

\subsection{Définitions et notations}

\begin{defi}
 Un \textbf{entier naturel} est un nombre positif permettant fondamentalement de dénombrer des objets comptant chacun pour un et donc de compter des objets considérés comme équivalents : un jeton, deux jetons$\dots$ une carte, deux cartes, trois cartes$\dots$ Un tel nombre entier peut s'écrire avec une suite finie de chiffres en notation décimale positionnelle (sans signe et sans virgule).
 
 Chaque nombre entier a un successeur unique, c'est-à-dire un entier qui lui est immédiatement supérieur, et la liste des entiers naturels est infinie.


\end{defi}


\textbf{Notations} : L'ensemble de tous les nombres entiers naturels se note $\N$, ainsi :
 $$ \N=\{0;1;2;3;4;5;6;7;8;9;10;11;\dots\}$$
 
 \Rq{L'étude des entiers naturels et de leurs relations, avec les opérations d'addition et de multiplication notamment, constitue dès l'Antiquité grecque une branche des mathématiques appelée \og arithmétique \fg{}.\\
 Il peut être intéressant de parler des hotels de Hilbert.
}






\subsection{Exemples d'entiers naturels particuliers}

\begin{itemize}
\item[$\star$)] $0$ est le seul nombre à la fois positif et négatif ; il est le plus petit des entiers naturels. Il est encore l'élément neutre de l'addition c'est-à-dire quelque soit le nombre réel $x$ on a :
$$ x+0=0+x=x$$
Il sert de base pour définir l'opposé d'un nombre  $x$ : tout nombre réel $x$ admet un unique opposé $-x$ qui vérifie :
$$ x+(-x)=0$$
C'est la propriété que l'on utilise pour équilibrer et résoudre les équations.
\item[$\star$)] $1$ est le plus petit entier naturel strictement positif ; il est aussi l'élément neutre de la multiplication c'est-à-dire :
$$ \forall x \in \R\qquad\text{on a } \qquad x\times 1=1\times x=x$$
Il sert de base pour définir l'inverse d'un nombre  non nul $x$ : tout nombre réel $x$ distinct de $0$ admet un unique inverse $\dfrac{1}{x}$ qui vérifie :
$$ x\times \dfrac{1}{x}=1$$ 
Il s'agit de l'autre propriété que l'on utilise pour équilibrer et résoudre les équations.
\begin{expl}On cherche le nombre réel $x$ qui vérifie $3x+2=0$.\\
L'opposé de $2$ est $-2$ que l'on ajoute aux deux membres de l'équation ce qui donne :
$$ 3x+2-2=0-2 \quad\text{c'est-à-dire} \quad 3x=-2$$
Enfin l'inverse de $3$ est $\dfrac{1}{3}$ et l'on multiplie les deux membres de l'équation par $\dfrac{1}{3}$ ce qui donne :
$$ \dfrac{1}{3}\times 3x=-2\times \dfrac{1}{3} \quad\text{c'est-à-dire} \quad x=-\dfrac{2}{3}$$
L'équation admet une unique solution qui est le nombre réel $-\dfrac{2}{3}$ ; nous pouvons vérifier que ce nombre est bien solution :
$$ 3\times \left(-\dfrac{2}{3}\right)+2=-2+2=0$$
\end{expl}
\item[$\star$)] $11$ est un nombre entier naturel (c'est-à-dire un nombre entier positif). $11$ est aussi un nombre premier c'est-à-dire un nombre entier naturel qui admet exactement deux diviseurs positifs distincts de $1$ et de lui-même. $2$ est le plus petit des nombres premiers et est le seul nombre pair premier ; en effet tout autre nombre pair n'est pas premier puisqu'on peut le diviser par $2$ (ex : $4=2\times 2$ ou $6=2\times 3$). Voici une liste des plus petits nombres premiers :
$$ 2\quad 3\quad 5\quad 7\quad 11\quad 13\quad 17\quad 19\quad \dots$$
\end{itemize}

\subsection{Les nombres premiers}

\begin{defi}
Un nombre premier est un entier naturel qui admet exactement deux diviseurs distincts entiers et positifs (qui sont alors 1 et lui-même). Ainsi, 1 n'est pas premier car il n'a qu'un seul diviseur entier positif ; 0 non plus car il est divisible par tous les entiers positifs. Par opposition, un nombre non nul produit de deux nombres entiers différents de 1 est dit composé. Par exemple $6 = 2 \times 3$ est composé, tout comme $12 = 3 \times 4$ ou $2 \times 6$, mais 11 est premier car 1 et 11 sont les seuls diviseurs de 11.

\end{defi}

\begin{exoi}
\begin{enumerate}
\item Donner la liste des nombres premiers inférieur ou égaux à $100$ ;
\item $2017$ est-il un nombre premier ?
\item Le plus grand nombre premier connu est le nombre premier de Mersenne $2^{74 207 281} - 1$, qui comporte plus de 22 millions de chiffres en écriture décimale. Les nombres de Mersenne sont les nombres qui s'écrivent de la forme $2^n-1$, tous les nombres de Mersenne sont-ils premiers ?
\end{enumerate}
\end{exoi}

\begin{exoi}
Soit $p$ un nombre premier supérieur ou égal à $3$. On pose :
$$ a=\dfrac{p+1}{2}\qquad \text{et}\qquad b=\dfrac{p-1}{2}$$
\begin{enumerate}
\item Donner la liste des $10$ plus petit nombres premiers.
\item Justifier que $a$ et $b$ sont des nombres entiers.
\item Calculer $a^2-b^2$ en fonction de $p$.
\item En déduire que tout nombre premier $p\geq 3$ peut s'écrire comme la différence de deux carrés d'entiers. 

Donner cette différence pour $p=29$.
\end{enumerate}
\end{exoi}


\section{Opérations et nombres entiers}

\subsection{L'addition}


\begin{exoi}
\begin{enumerate}
\item Obtient-on nécessairement un entier naturel si l'on additionne deux entiers naturels ?
\item On sait que le résultat d'une addition de deux nombres entiers naturels est un nombre pair, que peut-on en déduire ?
\item Même question si le résultat est un nombre impair.
\item Petit programme : on a choisit un nombre, on lui a ajouté $10$ et on a obtenu $15$. Quel était le nombre de départ ? Même question mais on a obtenu $5$.
\end{enumerate}
\end{exoi}


\subsection{La soustraction}

\begin{exoi}
Obtient-on nécessairement un entier naturel si l'on additionne deux entiers naturels ?
\end{exoi}

\begin{defi}
L'ensemble des entiers relatifs se note $\Z$ et repr\'esente l'ensemble des nombres entiers positifs et n\'egatifs. $\Z=\{\dots; -4;-3;-2;0;1;2;3;\dots\}$
\end{defi}


\begin{prop}
Tous les entiers naturels sont des entiers relatifs. On dit que $\Z$ contient $\N$, ou encore que $\N$ est contenu dans $\Z$. On note $\N \subset \Z$.
\end{prop}

\subsection{La multiplication}

\begin{exoi}
\begin{enumerate}
\item Obtient-on nécessairement un entier si l'on multiplie deux entiers  entre eux ?
\item On sait que le résultat de la multiplication d'un nombre par lui même est un nombre pair ?
\item Même question si le résultat est un nombre impair.
\item Que pensez vous de l'affirmation $n^2$ est pair si et seulement si $n$ est pair ?
\item Petit programme : on a choisit un nombre, on a multiplié par  $3$ et on a retranché $15$. Quel était le nombre de départ si on a obtenu $3$ ? $2$ ?
\end{enumerate}
\end{exoi}

\subsection{La division} 

\begin{exoi}
\begin{enumerate}
\item Que se passe-t-il lorsqu'on divise deux nombres entiers entre eux ?
\item Peut-on effectuer cette division quelque soit les nombres de départ ?
\item Un petit programme ou deux...
\item Quelle est la nature des nombres que l'on obtient en divisant deux nombres entiers ?
\end{enumerate}
\end{exoi}


\begin{defi}
L'ensemble des nombres rationnels se note $\Q$ et repr\'esente l'ensemble des nombres pouvant s'\'ecrire comme le quotient de deux entiers :
 $\Q=\left\{\dfrac{a}{b} \, \textrm{ o\`u } \, æ\in\Z \,et\, b\in \Z^*\right\}$\vspace*{-3mm}
\end{defi}

\Rq{
$b\in\Z^*$ car on ne peut pas diviser par 0.
}


\begin{prop}
Tous les entiers relatifs $a$ peuvent s'\'ecrire $a=\dfrac{a}{1}$, donc sont des rationnels. On a $$\N \subset \Z \subset \Q$$.\vspace*{-12mm}
\end{prop}

\begin{exoi}
Démontrer que $\Q$ est stable pour toutes les op\'erations. 
\end{exoi}

\Rq{
Deux nombres rationnels $\dfrac{a}{b}$ et $\dfrac{c}{d}$ sont égaux si et seulement si $ad=bc$ autrement dit :
$$ \dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}\Longleftrightarrow ad=bc$$
}


\section{Résolution d'équation}

\subsection{Définitions et problèmes}

\begin{exoi}
Le produit de l'âge de Clément dans 10 ans par celui qu'il avait il y a 10 ans est égal à 44.
Quel est l'âge de Clément ?
\end{exoi}

\begin{exoi}
Vous vous situez au sommet d'une montagne haute de $1000$ mètres et vous contemplez l'océan à ses pieds, jusqu'à quelle distance pouvez vous voir ?
\end{exoi}


\begin{exoi}
Le nombre d'or est une proportion, définie initialement en géométrie comme l'unique rapport $\dfrac{a}{b}$ entre deux longueurs $a$ et $b$ telles que le rapport de la somme $a + b$ des deux longueurs sur la plus grande $(a)$ soit égal à celui de la plus grande $(a)$ sur la plus petite $(b)$ c'est-à-dire lorsque :
$$ \dfrac{a+b}{a}=\dfrac{a}{b}$$ 
On note $\phi$ le nombre d'or, auquel cas on a  $\phi=\dfrac{a}{b}=\dfrac{a+b}{a}$.
\begin{enumerate}
\item Montrer que $\phi^2=\dfrac{a+b}{b}$ puis que $\phi^2=\phi+1$ ($\star$). 
\item Vérifier que $\phi=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$ satisfait la relation ($\star$).
\end{enumerate}
\end{exoi}

\begin{defi}
Une équation est, en mathématiques, une \textbf{égalité} contenant une ou plusieurs \textbf{variables}. Résoudre l'équation consiste à déterminer les valeurs que peut prendre la variable pour rendre l'égalité vraie. La variable est aussi appelée \textbf{inconnue} et les valeurs pour lesquelles l'égalité est vérifiée \textbf{solutions}. 
\end{defi}

\begin{exoi}
$5$ est solution de l'équation $x-5=0$, $2,1$ est solution de l'équation $10x=21$ tout comme de l'équation $10x+3=24$, l'équation $x^2=2$ admet \textbf{deux solutions} $\sqrt{2}$ et $-\sqrt{2}$ tandis que l'équation $x^2=-5$ n'admet aucune solution.
\end{exoi}

\subsection{Equation du premier degré à une inconnue}


\begin{defi}
Une équation du premier degré à une inconnue $x$ est une équation pouvant se ramener à la résolution d'une équation du type $ax+b=c$ où $a$, $b$ et $c$ sont des nombres connus. Ce type d'équation possède exactement une solution. 
\end{defi}


\begin{exoi}
Résoudre les équations $x+4=7$, $x+1=5$, $x-7=2$. Que peut-on dire des solutions de ces équations ?
\end{exoi}

\pagebreak

\section{Les nombres réels}

\subsection{Algorithme de dichotomie}

Il existe un unique nombre positif dont le carré vaut $2$, on le note $\sqrt{2}$ ; on définit de la même manière $\sqrt{a}$ où $a\geq 0$ comme l'unique nombre positif dont le carré vaut $a$.

Cependant cela ne nous dit pas quelle est l'écriture décimale de $\sqrt{2}$.

\begin{exoi}
\begin{enumerate}
\item Création d'un algorithme de Dichotomie
\item Réalisation sur un ordinateur (???)
\item Démonstration de l'irrationalité de $\sqrt{2}$.
\end{enumerate}
\end{exoi}

\subsection{Généralité}

\begin{defi}
Un nombre est décimal si et seulement si il peut s'écrire sous la forme d'une fraction dont le dénominateur est une puissance de $10$.
\end{defi}

\begin{exoi}
Justifier que chacun des nombres suivants est un nombre décimal : $2,52$ ; $-0,1$ ; $123$ et $\dfrac{1}{2}$.
\end{exoi}

\begin{exoi}
Justifier que $\dfrac{1}{3}$ n'est pas un nombre décimal.
\end{exoi}

\begin{prop}
Tout nombre rationnel admet une écriture décimale finie ou périodique, de plus tout nombre dont l'écriture décimale est finie ou périodique est un nombre rationnel.
\end{prop}

\begin{defi}
L'ensemble des nombres r\'eels se note $\R$ et repr\'esente l'ensemble des nombres rationnels et des nombres irrationnels. Il contient tous les nombres connus en classe de seconde.
\end{defi}


\begin{prop}
Tous les nombres rationnels sont r\'els. On a $\N \subset \Z \subset \Q \subset \R$.
\end{prop}

\begin{exoi}Donner tous les ensembles de nombes auxquels appartiennent les nombres suivants :
$$3 \qquad\qquad -6 \qquad\qquad \dfrac{4}{3} \qquad\qquad -\dfrac{1}{3} \qquad\qquad \pi \qquad\qquad \dfrac{\sqrt{2}}{5}$$
\end{exoi}

\Rq{
$\R$ n'est encore pas assez grand pour r\'esoudre toutes les \'equations. Par exemple $x^2 = -1$ n'a pas de solutions dans $\R$, on note $S=\varnothing$.
 Cet ensemble s'appelle l'ensemble vide et ne contient aucun \'el\'ement.\newline
Cette \'equation a pourtant une solution dans un ensemble contenant $\R$, not\'e $\C$ et appel\'e l'ensemble des nombres complexes, \'etudi\'e en classe de terminale S.
$$\C=\left\{a+ib/a\in\R \, ; \, b\in\R \, et \, i^2 = -1\right\}$$
Il a \'et\'e d\'emontr\'e que $\C$ contenait l'ensemble des solutions des \'equations construites \`a partir de cet ensemble.
}

\textbf{Question : } \`A quel ensemble appartiennent les nombres d\'ecimaux ?\\

\shadowbox{\begin{minipage}[t]{1\columnwidth}%
\textbf{R\'esum\'e} : \newline
L'ensemble des nombres entiers positifs ou nuls se note $\N$. On a $\N=\{0;1;2;3;4;5;...\}$. Les \'el\'ements de $\N$ sont les entiers naturels. \newline
L'ensemble des entiers positifs et n\'egatifs se note $\Z$. On a $\Z=\{\dots; -4;-3;-2;0;1;2;3;\dots\}$. 
Les \'el\'emlents de $\Z$ sont les entiers relatifs.\newline
L'ensemble des nombres pouvant s'\'ecrire comme le quotient de deux entiers se note $\Q$. On a 
$\Q=\left\{\dfrac{a}{b} \, \textrm{ o\`u } \, a\in\Z \,et\, b\in \Z^*\right\}$. Les \'el\'ements de $\Q$ sont les nombres rationnels.\newline
L'ensemble des nombres connus en seconde (rationnels et irrationnels) s'appelle l'ensemble des nombres r\'eels. On note $\R$ cet ensemble.\newline
$$\N \subset \Z \subset \Q \subset \R$$
\end{minipage}
}


\textbf{Applications } :

\begin{enumerate}
\item Les hotels de Hilbert ;
\item périodicité de l'écriture décimale pour les rationnels ;
\item Quel est le plus petit nombre réel strictement positif ?
\end{enumerate}

\subsection{Inéquation du premier degré et intervalle}
\end{document}

