\documentclass[4apaper,11pt,french]{article}
\linespread{1}

\newcommand{\ch}{Chapitre 2}
\newcommand{\Ch}{Limites \linebreak (Partie I : Les suites)}
\newcommand{\Cl}{TS}
\newcommand{\Annee}{2012-2013}
	

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Package

\input macrodwicky.tex

\geometry{hmargin=2cm,vmargin=2.2cm}

\setcounter{NumLecon}{2}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Premiere page
\begin{document}

\ddwicky{kid_a.eps}{Kid A}{Radiohead}{I'm not here
, This isn't happening
}{Radiohead (Extrait de How To Disappear Completely)}{
Alors que les albums précédents (tel OK Computer) restent dans un style rock alternatif, les albums suivants sont beaucoup plus psychédéliques : Kid A marque l'apogée de ce style expérimental de Radiohead. Pour cette raison, il est considéré par beaucoup comme un chef-d'œuvre. Dans cet album, les guitares ont quasiment disparu au profit de synthétiseurs et de sampleurs.
Le nom donné à l'album, Kid A (littéralement « Enfant A »), évoque pour certains un premier enfant cloné. Pour d'autres, il laisse penser que le groupe le considère comme son premier enfant. Avec Kid A, l'album suivant de Radiohead, Amnesiac, forme un diptyque de musique expérimentale, un prolongement : Kid A et Amnesiac forment en réalité le diptyque Kid Amnesiac.
Selon Thom Yorke et Jonny Greenwood cet album est inspiré en partie par le livre No Logo (Kid A a faillit s'intitulait No Logo), livre qui décrit la société de consommation, de la journaliste canadienne 
Naomi Klein.}{0.5}{0.8}{
\item Découvrir les définitions de convergence et divergence
\item Connaître les limites usuelles et les opérations sur les limites 
\item Savoir trouver la limite d'une forme indéterminée
\item Utiliser les théorèmes de comparaison
\item Démontrer qu'une fonction est continue ou non.
\item Utiliser le théorème des valeurs intermédiaires
}

\TITRE{thom.eps}{0.3}

\begin{abstract}
\noindent Même si elles ne constituent qu’un cas particulier des \textit{fonctions numériques} (celles définies sur $I\subset \N$), les suites méritent une étude à part entière car elles jouent un rôle extrêmement important à la fois en mathématiques et en physique. Elles permettent en effet dans les deux cas de fournir une approximation du  \og réel \fg. Après avoir 
mis en place un raisonnement important et fait quelques rappels de première, 
nous appronfondirons la notion de limite de suite. 
\end{abstract}


Dans tout le chapitre, $n$ et $n_0$ désignent des entiers naturels.

%\section{Suites}
\section{Comportement asymptotique d’une suite}
\subsection{Notion de convergence et divergence}

\subsubsection{Cas des suites convergentes}

\begin{exoi}On considère les suites $u$ et $v$ définies pour tout entier $n\geq 1$ par :
$$ u_n=\dfrac{1}{n^2}\qquad \text{et}\qquad v_n=\dfrac{1}{\sqrt{n}}$$
\begin{center}
\Algo{8cm}{
\Entree{ 
 $n$ est un nombre entier et $u$  est un nombre réel.\\
}
{
$n:=1$ ; $u:=1$\\
  \While{$u\geq 10^{-3}$}
{$n:=n+1$\\
$u:=\dfrac{1}{n^2}$ 
}
\\Afficher $n$
}
}
\end{center}
\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item A quel résultat aboutit la mise en oeuvre de l'algorithme ci-contre ?
\item Modifier cet algorithme pour obtenir la plus petite valeur $n_0$ telle que pour tout entier $n\geq n_0$ on ait $u_n<10^{-6}$.
\item Soit $\epsilon$ un réel strictement positif.\\
Démontrer qu'il existe un entier $n_0$ tel que pour tout entier $n\geq n_0$ on ait :
$$ 0<u_n<\epsilon$$
\textbf{On dit que la suite $u$ converge vers $0$ ou que la limite de la suite $u$ est $0$, on note :
$$ \lim\limits_{n\to +\infty} u_n=0$$}
\end{enumerate}
\item Démontrer de façon analogue que la suite $v$ converge vers $0$.
\end{enumerate}\end{exoi}

\begin{defi}
On dit qu'une suite $u$ \textbf{admet une limite} $\ell$ (ou \textbf{converge vers $\ell$}) lorsque 
tout intervalle ouvert $I$ contenant $\ell$ (aussi \og petit \fg soit-il) contient aussi  tous les termes 
de la suite $u$ à partir d'un certain rang $n_0$, ie $\forall n \geq n_0$ on a $u_n \in I$.\\ 
$$\forall \varepsilon >0 ,\quad \exists n_0 \in\N , \quad \forall n \geq n_0 ,\quad \text{ on a } \quad \varepsilon-\ell\leq u_n \leq \varepsilon+\ell$$
On note $\lim\limits_{n \to +\infty}u_n=\ell$. \\
Une suite qui ne converge pas est dite \textbf{divergente}.
\end{defi}



\begin{center}
\includegraphics[scale=0.4]{limite.eps}
\end{center}





\Rqs{
\item Sur cet exemple, le graphique permet de conjecturer que la suite $(u_n)$ converge vers $ 4$
\item Concrètement, les termes $u_n$ deviennent aussi proches de $\ell$ qu'on le souhaite, 
à partir d'un certain rang.
\item On utilise en général un intervalle centré en $\ell$.
\item Graphiquement, la notion de limite se traduit ainsi : \newline
Quelle que soit la largeur de la bande horizontale choisie, il existe un rang (ou un indice) à partir duquel 
tous les points de la représentation graphique de la suite sont situés dans cette bande.
\item Une suite divergente admet $\pm\infty$ comme limite ou n'admet pas de limite ; comme par exemple c'est le cas de la suite $(u_n)$ définie par $u_n=n$ dont la limite vaut $+\infty$ ou encore de la suite $u_n=(-1)^n$ qui n'admet pas de limite.
 }



\Expls{
\begin{enumerate}
 \item Conjecturer à la calculatrice les limites éventuelles des suites suivantes, puis les démontrer.
\begin{enumerate}
 \item $\left(u_n\right)_{n\in\N^*}$ de terme général $u_n= \dfrac{1}{n}-2$
 \item $\left(v_n\right)_{n\in\N}$ de terme général  $v_n=\dfrac{5n+1}{n+3}$
 \item $(w_n)_{n\in\N}$ de terme général $w_n=(-2)^n$
\end{enumerate}
\item \begin{enumerate}
       \item A partir de quel rang $N$ la distance entre $u_n$ et sa limite est-elle strictement inférieur à $0.001$ ?
 \item Même question pour $(v_n)$.
      \end{enumerate}
\end{enumerate}
}

\Sol{\begin{enumerate}
 \item \begin{enumerate}
 \item A la calculatrice, on conjecture que la suite $u$ converge vers $2$. \\
Soit $\varepsilon >0$. On résout l'inéquation :\qquad 
$|u_n-2| < \varepsilon \iff \dfrac1n < \varepsilon \iff n > \dfrac1{\varepsilon} $\\
En posant $n_0=E\left(\dfrac1{\varepsilon} \right)+1$, pour tout $n\leq n_0$ on a $|u_n - 2 |< \varepsilon $.
 \item A la calculatrice, on conjecture que la suite $v$ converge vers $5$. \\
Soit $\varepsilon >0$. On résout l'inéquation :
$$|u_n-5| < \varepsilon \iff \left|\dfrac{-14}{n+3}\right| < \varepsilon 
\iff \dfrac{14}{n+3} < \varepsilon \iff n > \dfrac{14}{\varepsilon}-3 $$
En posant $n_0=E\left(\dfrac{14}{\varepsilon}-3 \right)+1$, pour tout $n\leq n_0$ 
on a $|u_n - 5 |< \varepsilon $.
\item La suite $(w_n)$ ne peut pas converger car elle prend alternativement les valeurs $1$ et $-1$.
\end{enumerate}
 \item Dans les deux cas, résoudre les inéquations nous donnait le plus petit $N$ possible donc :
 \begin{enumerate}
 \item Pour $\varepsilon = 0.001$ on a $n_0=E(1000)+1=1001$.
 \item Pour $\varepsilon = 0.001$ on a $n_0=E(14000-3)+1=13998$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
}

\Cadre[Une méthode pour déterminer la limite $\ell$ d'une suite]{
\begin{itemize}
 \item On peut utiliser la calculatrice pour conjecturer sa limite
 \item On pose $\varepsilon >0$ quelconque et on résout $|u_n-\ell | < \varepsilon$.
 \item On choisit alors $n_0=$partie entière de la solution trouvée $+1$
\end{itemize}
}


\pagebreak 
\begin{theo}
 Si une suite $(u_n)$ converge alors sa limite $\ell$ est unique.
\end{theo}

\Dem{ 
Raisonnons par l'absurde et supposons que la suite $(u_n)$ admet deux limites $\ell_1$ et $\ell_2$ telles que $\ell_1<\ell_2$. 
\\Notons $d=\ell_2-\ell_1$
Par définition, l'intervalle ouvert $I_1$ de centre $\ell_1$ et de rayon $ \dfrac{d}{3}$ contient 
tous les termes de la suite à partir d'un certain rang, de même l'intervalle ouvert $I_2$ de centre $\ell_2$ et
 de rayon $ \dfrac{d}{3}$ contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang. \\
Par conséquent $I_1\cap I_2$ est un intervalle contenant tous les termes de la suite à partir d'un certain rang. \\
Mais on a le schéma suivant :
\begin{center}
\psset{xunit=0.5cm,yunit=0.5cm}
\begin{pspicture*}(-10,-4)(21,2)
\psgrid[subgriddiv=0,gridlabels=0,gridcolor=lightgray](0,0)(-4.5,-0.5)(11,0.5)
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=10pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\psline(-2.5,0.5)(-2,0.5)
\psline(-2,-0.5)(-2.5,-0.5)
\psline(-2,-0.5)(-2,0.5)
\psline(2.5,0.5)(2,0.5)
\psline(2,-0.5)(2.5,-0.5)
\psline(2,-0.5)(2,0.5)
\psline(3.5,0.5)(4,0.5)
\psline(4,-0.5)(3.5,-0.5)
\psline(4,-0.5)(4,0.5)
\psline(8.5,0.5)(8,0.5)
\psline(8,0.5)(8,-0.5)
\psline(8,-0.5)(8.5,-0.5)
\psline{->}(-8,0)(10,0)
\psline{<->}(0,-1)(6,-1)
\psline(2,-0.9)(2,-1.1)
\psline(4,-0.9)(4,-1.1)
\psline[linestyle=dashed](0,0)(0,-1)
\psline[linestyle=dashed](6,0)(6,-1)
\rput[bl](3,-1.5){\blue{$d$}}
\psdots[dotstyle=x,linecolor=blue](0,0)
\rput[bl](0.13,0.2){\blue{$\ell_2$}}
\psdots[dotstyle=x,linecolor=blue](6,0)
\rput[bl](6.06,0.2){\blue{$\ell_1$}}
\end{pspicture*} 
\end{center}
Donc $I_1\cap I_2=\emptyset$, ce qui est absurde. Par conséquent la suite $(u_n)$ ne peut admettre qu'une limite.
}

\Rq{Si $(u_n)$ admet une limite, alors toute sous-suite de $(u_n)$ admet la même limite.\\
On utilisera en général ce résultat : 
\begin{itemize}
 \item Pour les suites récurrentes, car la sous-suite $(u_{n+1})$ admet la même limite éventuelle $\ell$ que $(u_n)$.\\
Ainsi, si $\ell$ existe, elle vérifie l'égalité $\ell = f(\ell)$ dans le cas où la fonction $f$ est continue (ce qui sera presque tout le temps le cas cette année, on y reviendra).
 \item Pour sa contraposée, en montrant que deux sous-suites de $(u_n)$ n'ont pas la même limite.\\
Comme la limite est unique et que $(u_n)$ doit avoir la même que n'importe laquelle de ses sous-suite, $(u_n)$ ne peut pas admettre
de limite, elle diverge.
\end{itemize}
La réciproque est fausse.
}



 \subsubsection{Cas des suites divergentes}
 
 \begin{defi}
 On dit qu'une suite qui ne converge pas est divergente. Une suite divergente admet $\pm\infty$ comme limite ou n'admet pas de limite.
 \end{defi}
 
 \Expl{Voici quelques suites divergentes :
\begin{itemize}
\item $u_n=n$
\item $u_n=n^3-n^2+n-1$
\item $u_n=(-1)^n$
\end{itemize}}

\begin{defi}
On dit qu'une suite $u$ diverge vers $+\infty$ lorsque tout intervalle ouvert du type $]A;+\infty[$ contient 
tous les termes de la suite $u$ à partir d'un certain rang $n_0$ (dépendant du $A$ considéré), i.e. $\forall n\geqslant n_0$
on a $u_n >A$.
$$\forall A, \quad \exists n_0\in\N , \quad \forall n\geq n_0, \quad  \text{ on a } \quad  u_n \geq A$$
On note $\lim\limits_{n\to +\infty} u_n = +\infty$. \\
On définit de même la divergence vers $-\infty$ à l'aide 
d'intervalle du type $]-\infty;A[$. On note $\lim\limits_{n\to +\infty} u_n = -\infty$. 
\end{defi}

\begin{center}
\includegraphics[scale=0.6]{limiteinf.eps}
\end{center}



\Rq{
Dire que $(u_n)$ tend vers $+\infty$ revient à dire que :
\begin{itemize}
 \item Concrètement, les termes $u_n$ deviennent aussi grands qu'on le souhaite à partir d'un certain rang. 
\item Tout intervalle de la forme $]A; +\infty[$ contient tous les termes de la suite, sauf un nombre fini 
d'entre eux (les premiers).
%\item Quelque soit le nombre choisi $A$, il existe un rang à partir duquel tous les termes sont 
%supérieurs à $A$. 
\end{itemize}
}


\Expls{\begin{enumerate}
        \item 
       Démontrer que chacune des suites suivantes diverge vers $\pm \infty$ :
\begin{enumerate}
 \item $(u_n)_{n\in\N}$ de terme génral $u_n=n$
 \item $(v_n)_{n\in\N}$ de terme général $v_n=n^2$
 \item $(w_n)_{n\in\N}$ de terme génral $w_n=-(n+1)^2$
\end{enumerate}
\item \begin{enumerate}
       \item A partir de quel rang a-t-on $u_n>10^6$ ?
 \item Même question pour $v_n$.
 \item  A partir de quel rang a-t-on $u_n<-10^6$ ?
      \end{enumerate}
\end{enumerate}
}

\Sol{
\begin{enumerate}
 \item \begin{enumerate}
        \item $ \lim\limits_{n \to +\infty} n=+\infty$. En effet :\\
Soit $A<0$. Alors pour tout $n\geq 0$ on a $u_n = n  > A$, donc on peut choisir $n_0=0$.\\
Soit $A$ un réel positif. Il suffit de choisir $n_0=A+1$.
\item $\lim\limits_{n \to +\infty} n^2=+\infty$. En effet : \\
Soit $A<0$. Alors pour tout $n\geq 0$ on a $u_n = n^2  > A$, donc on peut choisir $n_0=0$.\\
Soit $A$ un réel positif. On veut montrer qu'il existe un rang $n_0$ à partir duquel tous les termes de la 
suite appartiennent à $]A;+\infty[$.\\
On remarque que $u_n >A \Longleftrightarrow n^2 > A \Longleftrightarrow n>\sqrt{A} $.\\
Si on choisit $n_0$ le premier entier supérieur strictement à $\sqrt{A}$, i.e. $n_0=E\left(\sqrt{A}\right)+1$
alors $u_{n}=n^2>A$ pour tout $n\geq n_0$. Donc ce $n_0$ convient.
 \item $ \lim\limits_{n \to +\infty} w_n=-\infty$. En effet :\\
Soit $A>0$. Alors pour tout $n\geq 0$ on a $u_n = n^2  > A$, donc on peut choisir $n_0=0$.\\
Soit $A$ un réel négatif. On veut montrer qu'il existe un rang $n_0$ à partir duquel tous les termes de la 
suite appartiennent à $]-\infty;A[$.\\
On remarque que $w_n < A \Longleftrightarrow -(n+1)^2 < A \Longleftrightarrow n>\sqrt{-A}-1 $.\\
Si on choisit $n_0$ le premier entier supérieur strictement à $\sqrt{A}$, ie 
$n_0=E\left(\sqrt{|A|}-1\right)+1=E\left(\sqrt{|A|}\right)$ alors $v_{n}<A$ pour tout $n\geq n_0$. 
Donc ce $N$ convient.
       \end{enumerate}
 \item Dans tous les cas on a choisit le plus petit $n_0$ convenable. Donc :
\begin{enumerate}
 \item Pour $A=10^6$ on a $n_0=10^6+1$.
 \item Pour $A=10^6$ on a $n_0=10^3+1$.
 \item Pour $A=-10^6$ on a $n_0=10^3$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
}

\Cadre[Une méthode pour montrer qu'une suite diverge vers $+\infty$]{
\begin{itemize}
 \item On traite le cas $A<0$ trivialement.
  \item On pose $A>0$ quelconque et on résout $u_n>A$.
 \item On choisit alors $n_0=$partie entière de la solution trouvée $+1$
\end{itemize}
}

\Expl{
On considère la suite $(u_n)$ définie par $ u_n=\sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{k}$.\\
Montrer, par récurrence, que la suite $(u_n)$ diverge vers $+\infty$}

\Sol{Soit $A\in\N$. Comme la suite $(u_n)$ est croissante, on veut montrer qu'il existe $
n_0\in\N$ 
tel que $u_{n_0}>A$. 
En effet, dans ce cas l'intervalle ouvert $]A;+\infty[$ contiendra tous les termes de la suite à partir 
de $n_0$. 
\\
Notons $\mathscr P(A)$ la propriété suivante : Il existe $ n_0\in\N$ tel que $u_{N}>A$
\begin{itemize}
\item \textbf{Initialisation} : $\mathscr P(0)$ est vraie, en effet $u_1>0$
\item \textbf{Hérédité} : Supposons que $\mathscr P(A)$ soit vraie, montrons que $\mathscr P(A+1)$ est vraie,
i.e. qu'il existe $n_1$ à partir duquel tous les termes de la suite sont supérieurs à $A+1$.
On remarque que 
$$u_{2n}=u_n+\sum_{k=n+1}^{2n}\dfrac{1}{k}\geq u_n+n\times \dfrac{1}{2n}=u_n+\dfrac{1}{2}$$
\end{itemize}
}
\Sol{
Puisque $\mathscr P(A)$ est vraie, il existe un entier $n_0$ tel que $u_{n_0}>A$,  par conséquent :
$$ u_{4n_0}\geq u_{2n_0}+\dfrac{1}{2}\geq u_{n_0}+1>A+1$$
Donc à partir de $n_1=4n_0$, tous les termes de la suite sont supérieurs à $A+1$. 
Ainsi $\mathscr P(A+1)$ est vraie.
On vient de démontrer, par récurrence, que $(u_n)$ est une suite qui diverge vers $+\infty$
}



\subsection{Limites usuelles}

\begin{theo}
\begin{multicols}{3}
\begin{itemize}
\item $\lim\limits_{n \to +\infty} n=+\infty$
\item $ \lim\limits_{n \to +\infty} \dfrac{1}{n} =0$
\item $ \lim\limits_{n \to +\infty} n^2=+\infty$
\item $ \lim\limits_{n \to +\infty} \dfrac{1}{n^2} =0$
\item $\lim\limits_{n \to +\infty} \sqrt{n}=+\infty$
\item $ \lim\limits_{n \to +\infty} \dfrac{1}{\sqrt{n}} =0$
\end{itemize}
\end{multicols}
Pour tout entier $k \geq 1$ : 
\begin{multicols}{2}
\begin{itemize}
 \item $ \lim\limits_{n \to +\infty} n^k=+\infty$
\item $ \lim\limits_{n \to +\infty} \dfrac{1}{n^k} =0$
\end{itemize}
\end{multicols}
\end{theo}


\Dem{
\begin{itemize}
\item $\lim\limits_{n \to +\infty} \sqrt{n}=+\infty$. \\
Soit $A$ un réel positif (le cas négatif est trivial). On veut montrer qu'il existe un rang 
$N$ à partir duquel tous les termes de la suite appartiennent à $]A;+\infty[$.\\
On remarque que $u_n >A \iff \sqrt{n}>A \Longleftrightarrow n > A^2$.\\
Si on choisit $N=E\left(A^2\right)+1$ alors $u_{n}>A$ pour tout $n\geq N$. Donc ce $N$ convient.
 \item $ \lim\limits_{n \to +\infty} \dfrac{1}{n^2} =0$\\
Soit $\epsilon$ un réel positif. On veut montrer qu'il existe un rang $N$ à partir duquel tous les termes 
de la suite appartiennent à $I=]-\epsilon;+\epsilon[$.\\
On remarque que $ \dfrac{1}{n^2}>0$ pour tout entier $n$, on cherche donc à déterminer à partir de quel 
entier $n_0$ on a :
$$ 0 < u_n <\varepsilon \iff 0<\dfrac{1}{n^2}<\varepsilon \iff 0< \dfrac{1}{\varepsilon} < n^2  \iff
 0< \dfrac{1}{\sqrt{\varepsilon}} < n$$
Si on choisit $N$ le premier entier supérieur à $\dfrac{1}{\sqrt{\varepsilon}}$ alors 
$u_{n}<\varepsilon$ pour tout $n\geq N$. Donc ce $N$ convient.
\end{itemize}
}


\newpage
 %\subsection{Règles opératoires et propriétés}

\subsection{Opérations sur les limites}
Soient $(u_n)$ et $(v_n)$ deux suites.\\

\textbf{Cas d'une somme : }$ \lim\limits_{n \to +\infty} (u_n+v_n)$
\begin{center}
  \begin{tabular}{|>{\columncolor[gray]{0.85}}>{\centering}m{2.4cm} *{6}{|>{\centering}m{2.1cm}} |} \hline
$\lim\limits_{n\to+\infty} u_n$ &\makebox[3em]{$\ell$}&$\ell$&$\ell$&$+\infty$&$-\infty$&$+\infty$\tabularnewline\hline
 $\lim\limits_{n\to+\infty} v_n$  & \makebox[3em]{$\ell'$} & $+\infty$ & $-\infty$ & $+\infty$ & $-\infty$ & $-\infty$  \tabularnewline \hline
$\lim\limits_{n\to+\infty} (u_n+v_n)$  & $\ell + \ell'$ & $+\infty$ & $-\infty$ & $+\infty$ & $-\infty$ & 
\textcolor{red}{\textbf{On ne peut pas conclure directement}}  \tabularnewline \hline  \end{tabular}\\
  \end{center}
  
\vspace{0.5cm}

\textbf{Cas d'un produit : }$ \lim\limits_{n \to +\infty} (u_n v_n)$
\begin{center}
\begin{tabular}{|>{\columncolor[gray]{0.85}}>{\centering}m{2.4cm} *{4}{|>{\centering}m{3.3cm}} |} \hline
$\lim\limits_{n\to+\infty} u_n$ &\makebox[3em]{$\ell$}&$\ell\neq 0$&$\infty$&$0$\tabularnewline\hline
$\lim\limits_{n\to+\infty} v_n$ & \makebox[3em]{$\ell'$} &  $\infty$ & $\infty$ & $\infty$  \tabularnewline \hline
$\lim\limits_{n\to+\infty} (u_n\times v_n)$  & $\ell \times \ell'$ & $\pm\infty$\\en suivant la règle des signes 
&  $\pm\infty$\\en suivant la règle des signes  & \textcolor{red}{\textbf{On ne peut pas conclure directement}}  \tabularnewline \hline  \end{tabular}\\
\end{center}
  
\vspace{0.5cm}

\textbf{Cas d'un quotient : }$ \lim\limits_{n \to +\infty} \dfrac{u_n}{v_n}$
\begin{center}
\begin{tabular}{|>{\columncolor[gray]{0.85}}>{\centering}m{2cm} *{6}{|>{\centering}m{2.2cm}} |} \hline
$\lim\limits_{n\to+\infty} u_n$ &\makebox[3em]{$\ell$}&$\ell$& $\ell$ ou $\infty$&$0$&$0$&$\infty$\tabularnewline\hline
$\lim\limits_{n\to+\infty} v_n$ & \makebox[3em]{$\ell' \neq 0$} &  $\infty$ & $0^+$ ou $0^-$& $0$ & $\infty$ & $\infty$ 
 \tabularnewline \hline
$\lim\limits_{n\to+\infty} \dfrac{u_n}{v_n}$  & $\dfrac{\ell}{\ell'}$ & $0$ &  $\pm\infty$\\ en suivant la règle des signes &
\textcolor{red}{\textbf{On ne peut pas conclure directement} } &  $0$  & \textcolor{red}{\textbf{On ne peut pas conclure directement}}  \tabularnewline \hline  \end{tabular}\\
\end{center}

\Expls{
Soient les suites $u$, $v$ et $w$ définies sur $\N$ par :
$$u_n=\dfrac{2}{3n+5} ,\qquad \qquad  \qquad \qquad v_n=(2n+4)(-5n+7) \qquad \qquad \text{ et } \qquad \qquad 
w_n=\dfrac{3-\dfrac{4}{n}}{\dfrac{2}{n}}$$
\begin{itemize}
 \item Pour la suite $u$, par somme et produit on a 
$\lim\limits_{n\to + \infty} (3n+5)=3\lim\limits_{n\to + \infty} n + 5=+\infty$.\\
Par quotient on obtient : $\lim\limits_{n\to + \infty} u_n=0$
 \item Pour la suite $v$, on a  $\lim\limits_{n\to + \infty} (2n+4)=+\infty$  et $\lim\limits_{n\to + \infty} (-5n+7)=-\infty$.\\
Par produit, on a donc $\lim\limits_{n\to + \infty} v_n=-\infty$.   
 \item Pour la suite $w$, on a  $\lim\limits_{n\to + \infty} \dfrac1n = 0$ donc 
$\lim\limits_{n\to + \infty} \left(3-\dfrac{4}{n}\right)=3$ et $\lim\limits_{n\to + \infty} \dfrac2n=0$ par valeurs positives.\\
Par quotient $\lim\limits_{n\to + \infty} w_n = +\infty$.
\end{itemize}
}

\Rq{
Ces règles sur les opérations sont naturelles, si on a un peu de bon sens. 
Mais il faut être conscient que tous les résultats 
de ces tableaux se démontrent (et certains ne sont pas évidents).
Nous ne présenterons ici aucune démonstration et nous admettrons tous ces résultats.\\
Il importe surtout de retenir les cas où on ne peut pas conclure directement. 
On parle de \textbf{forme indéterminée}.
C'est dans ces cas là qu'on vous demandera essentiellement des limites. Pour les trouver, il vous faudra faire appel à des 
calculs du type développement, factorisation (souvent par le terme de plus haut degré), etc, afin de transformer l'écriture de la suite, et d'obtenir une forme connue 
de limite.
}
   
\Cadre[LES 4 FORMES IND\'ETERMIN\'EES \`A CONNA\^ITRE]{
  $$ \og \infty -\infty \fg \qquad\qquad\qquad \og 0\times \infty \fg \qquad\qquad\qquad 
\og \dfrac{0}{0} \fg \qquad \qquad\qquad
 \og\dfrac{\infty}{\infty}\fg  $$
 \begin{center} \begin{scriptsize}Attention, on ne dira pas \og z\'ero sur z\'ero est une forme ind\'etermin\'ee \fg mais plut\^ot \og le quotient de deux fonctions tendant vers $0$ est une forme ind\'etermin\'ee \fg \end{scriptsize}\end{center}
}



\Expls{
Soient les suites $u$ et $v$, $w$ et $t$ définies sur $\N$ par :
$$u_n=n-\sqrt{n} ,\qquad  \qquad v_n=\dfrac{2n^2+1}{-n^2+3},  \qquad \qquad
w_n=\dfrac{-n^3+3}{2n^2-5n+1}
\qquad  \text{ et } \qquad  t_n= \dfrac{2n^2-5n+1}{-n^3+3}$$
\begin{itemize}
 \item Pour la suite $u$, on a $\lim\limits_{n\to + \infty} n=+\infty$  et $\lim\limits_{n\to + \infty} \left( -\sqrt{n} \right)=-\infty$.\\
Il s'agit donc d'une forme indéterminée.\\
Pour trouver la limite, on factorise : $u_n=n\left(1-\dfrac{1}{\sqrt{n}}\right)$.\\
Or $\lim\limits_{n\to + \infty} n=+\infty$ et $\lim\limits_{n\to + \infty}\left(1- \dfrac{1}{\sqrt{n}}\right)=1$.
Par produit, on a $\lim\limits_{n\to + \infty} u_n=+\infty$.
 \item Pour la suite $v$, on a $\lim\limits_{n\to + \infty} \left(2n^2+1\right)=+\infty$  
et $\lim\limits_{n\to + \infty} \left(-n^2+3\right)=-\infty$.\\ 
Il s'agit donc d'une forme indéterminée.\\
Pour trouver la limite, on factorise le numérateur et le dénominateur par le terme de plus haut degré :
$$v_n=\dfrac{n^2\left(2+\dfrac1{n^2}\right)}{n^2\left(-1+\dfrac{3}{n^2}\right)} = \dfrac{2+\dfrac1{n^2}}{-1+\dfrac{3}{n^2}}$$
Or $\lim\limits_{n\to + \infty} 2+\dfrac1{n^2} = 2$ et $\lim\limits_{n\to + \infty} -1+\dfrac3{n^2} = -1$.
Par quotient, on obtient $\lim\limits_{n\to + \infty} v_n = -2$.
\item Pour $w$ et $t$, il s'agit là encore de formes indéterminées. La méthode est la même que précédemment.\\
On trouvera $\lim\limits_{n\to + \infty} w_n = -\infty$ et $\lim\limits_{n\to + \infty} t_n = 0$.
\end{itemize}
}

\Rq{
Notons que les trois derniers cas traitent  la forme indéterminée \og $0 \times \infty$ \fg\, 
puisque $\dfrac{a}{b}=a\times \dfrac{1}{b}$
}

\begin{exoi}On considère la suite $(u_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par :
$$ u_n=\dfrac{n+1}{2n^3+1}$$
\begin{enumerate}
\item Déterminer la limite $\ell$ de la suite $(u_n)$.
\item Rédiger un algorithme sur le logiciel de votre choix qui affiche le premier rang à partir duquel la distance entre $u_n$ et $\ell$ est strictement inférieure à un réel $e$ choisit par l'utilisateur.
\end{enumerate}\end{exoi}



\section{Suites majorées, minorées et bornées}

\subsection{Définition}
\begin{defi}On considère une suite $(u_n)$. 
\begin{itemize}
\item On dit que $(u_n)$ est majorée s'il existe $M\in\R$ tel que $u_n<M, \quad \forall n\in\N$
\item On dit que $(u_n)$ est minorée s'il existe $m\in\R$ tel que $u_n>m, \quad \forall n\in\N$
\item On dit que $(u_n)$ est bornée si elle est majorée et minorée i.e s'il existe $m\in\R$ et $M\in\R$ tel que $$ m<u_n<M, \quad \forall n\in\N$$ 
\end{itemize}
\end{defi}

\Rq{$(u_n)$ est bornée si et seulement si il existe $M\in\R$ tel que $\mid u_n\mid<M$. \\
En effet si tel est le cas alors on a : $-M<u_n<M$. \\
Réciproquement si $(u_n)$ est bornée alors il existe deux réels $a$ et $b$ tels que $a<u_n<b$. \\
Choisissons $M=max(\mid a\mid; \mid b \mid)$, dans ce cas on a $-M\leq a$ et $b\leq M$, et donc : $$\mid u_n\mid<M$$}


\subsection{Quelques techniques pour montrer qu'une suite est majorée, minorée ou bornée ?}
\Expl{Soit la suite $(u_n)$ définie par $ u_n=\dfrac{(-1)^n+\sin n}{n^2}$. Montrons que $(u_n)$ est bornée.
\begin{eqnarray*}
& -1-1\leq (-1)^n+\sin n\leq 1+1 & \text{en effet $-1\leq (-1)^n\leq 1$ et $ -1\leq \sin n\leq 1$}\\
\Longleftrightarrow & -2\leq (-1)^n+\sin n \leq 2 \quad \text{et}\quad 0\leq \dfrac{1}{n^2}\leq 1 \\
\Longleftrightarrow & -2\leq u_n \leq 2
\end{eqnarray*}}

\begin{exoi}
On considère la suite $$u_n=\sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{k^2}$$.
\begin{enumerate}
\item Montrer que $ \dfrac{1}{k^2}\leq \dfrac{1}{k(k-1)}\leq \dfrac{1}{k-1}-\dfrac{1}{k}, \forall k\geq 2$.
\item Montrer que $$ \sum_{k=2}^n \left(\dfrac{1}{k-1}-\dfrac{1}{k}\right)=1-\dfrac{1}{n}$$
\item Montrer que $$\sum_{k=2}^n \dfrac{1}{k^2}\leq 1$$.
\item En déduire que $u_n$ est majorée.
\end{enumerate} 
\end{exoi}



\begin{exoi}On considère la suite définie par : $$ u_n=\dfrac{2n^2+1}{n^2+5}$$
\begin{enumerate}
\item Soit $f$ la fonction définie sur $\R^+$ par $f(x)=\dfrac{2x^2+1}{x^2+5}$. Etudier les variations de $f$ sur $\R^+$
\item Dresser le tableau de variation de $f$
\item En déduire que la suite $(u_n)$ est bornée.
\end{enumerate}
\end{exoi}

\begin{exoi}Soit la suite $(u_n)$ définie par : $$ $$
$$\left\{ \begin{array}{l} u_0=0 \\ u_{n+1}=\sqrt{6+u_n} \end{array} \right.$$
Montrer, par récurrence, que cette suite est bornée.\end{exoi}

\Sol{Compte tenu de la définition de la suite (et de la présence du signe radical), on peut minorée la suite par $0$, mais par quoi la majorée ??\\
Le calcul des premiers termes, donne ici une indication :
$$ u_1\simeq 2,45\quad u_2\simeq 2,91 \quad u_3\simeq 2,98$$
Notons $\mathscr P(n)$ la propriété $0\leq u_n\leq 3$ et démontrons cette propriété par récurrence
\begin{itemize}
\item \textbf{Initialisation} : $\mathscr P(0)$ est vraie de manière évidente puisque $u_0=0$
\item \textbf{Hérédité} : Supposons que $\mathscr P(n)$ est vraie, et montrons que $\mathscr P(n+1)$ l'est aussi.\\
Dans ce cas on a : $\qquad \qquad \qquad  0\leq u_n \leq 3$\\
Par conséquent : $ \qquad \qquad \qquad 6\leq 6+u_n\leq 9$\\
Et par passage à la racine : $\qquad \qquad \sqrt{6}\leq \sqrt{6+u_n}\leq 3$ \\
Au final : $ \qquad \qquad \qquad \sqrt{6}\leq u_{n+1}\leq 3\Longrightarrow 0\leq u_{n+1}\leq 3$\\
Par conséquent $\mathscr P(n+1)$ est vraie, et on vient de montrer, par récurrence, que $\forall n\in\N$ on a : $$ 0\leq u_{n+1}\leq 3$$
i.e que $(u_n)$ est une suite bornée.
\end{itemize}
}

\pagebreak
\section{Inégalités et limites}

\subsection{Limites finies}

\begin{theo}
Si $(u_n)$ est une suite convergente alors $(u_n)$ est bornée. 
\end{theo}


\Dem{Notons $\ell$ la limite de la suite $(u_n)$, alors tous les termes de la suite appartiennent à l'intervalle $]\ell-1;\ell+1[$ 
à partir d'un certain rang $N$. On a alors pour tout $n \geq N$ : $$ \ell-1< u_n<\ell+1$$
Notons $m=min(u_0;u_1;u_2;\dots;u_{N-1};\ell-1)$ et $M=max(u_0;u_1;u_2;\dots;u_{N-1};\ell+1)$, alors on a :
$$ \forall n\in\N \qquad m\leq u_n\leq M$$
ce qui prouve que la suite $(u_n)$ est bornée.}





\begin{prop}
 Soient $u$ et $v$ deux suites convergentes telles que $u_n < v_n$ ou $u_n \leq v_n$ à partir d'un certain rang. 
Alors, dans les deux cas, on a : 
$$ \lim\limits_{n \to +\infty}u_n\leq \lim\limits_{n \to +\infty}v_n$$
\end{prop}



\Dem{Notons $\ell_1$ la limite de $u$, $\ell_2$ la limite de $v$ et $N_0$ le rang à partir duquel $u_n<v_n$.\\
Raisonnons par l'absurde et supposons que $\ell_1>\ell_2$.\\
Notons $d=\ell_1-\ell_2$
Par définition, l'intervalle ouvert $I_1$ de centre $\ell_1$ et de rayon $ \dfrac{d}{3}$ contient 
tous les termes de la suite $u$ à partir d'un certain rang $N_1$, de même l'intervalle ouvert $I_2$ de centre $\ell_2$ et
de rayon $ \dfrac{d}{3}$ contient tous les termes de la suite $v$ à partir d'un certain rang. \\
On a le schéma suivant :
\begin{center}
\psset{xunit=0.5cm,yunit=0.5cm}
\begin{pspicture*}(-10,-4)(21,2)
\psgrid[subgriddiv=0,gridlabels=0,gridcolor=lightgray](0,0)(-4.5,-0.5)(11,0.5)
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=10pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\psline(-2.5,0.5)(-2,0.5)
\psline(-2,-0.5)(-2.5,-0.5)
\psline(-2,-0.5)(-2,0.5)
\psline(2.5,0.5)(2,0.5)
\psline(2,-0.5)(2.5,-0.5)
\psline(2,-0.5)(2,0.5)
\psline(3.5,0.5)(4,0.5)
\psline(4,-0.5)(3.5,-0.5)
\psline(4,-0.5)(4,0.5)
\psline(8.5,0.5)(8,0.5)
\psline(8,0.5)(8,-0.5)
\psline(8,-0.5)(8.5,-0.5)
\psline{->}(-8,0)(10,0)
\psline{<->}(0,-1)(6,-1)
\psline(2,-0.9)(2,-1.1)
\psline(4,-0.9)(4,-1.1)
\psline[linestyle=dashed](0,0)(0,-1)
\psline[linestyle=dashed](6,0)(6,-1)
\rput[bl](3,-1.5){\blue{$d$}}
\psdots[dotstyle=x,linecolor=blue](0,0)
\rput[bl](0.13,0.2){\blue{$\ell_2$}}
\psdots[dotstyle=x,linecolor=blue](6,0)
\rput[bl](6.06,0.2){\blue{$\ell_1$}}
\end{pspicture*} 
\end{center}
}
\DemS{
Par conséquent à partir de $N=max(N_0, N_1, N_2)$, on a :
\begin{itemize}
 \item $u_n<v_n$
 \item $u_n\in I_1$ donc $u_n > \ell_1 - \dfrac{d}3$
 \item $v_n\in I_2$ donc $v_n < \ell_2 + \dfrac{d}3 < \ell_1 - \dfrac{d}3 < u_n$
\end{itemize}
Ce qui est absurde. D'où $\ell_1 \leq \ell_2$.
}

\Att{
Le cas d'une inégalité stricte sur les termes de la suite et d'une égalité des limites est fréquent.
}

\Expl{
Soient $u$ et $v$ les suites définies sur $\N^*$ par $u_n=\dfrac1{n^2}$ et $v_n=\dfrac1n$.\\
Alors à partir de $N_0=2$ on a $n^2>n \iff \dfrac1{n^2} < \dfrac1{n} \iff u_n < v_n$.\\
Or on sait déjà que $\lim\limits_{n\to + \infty} u_n = \lim\limits_{n\to + \infty} v_n = 0$.
On est donc dans le cas où $\ell_1 = \ell_2$.
}


\Rq{
On sait qu'une suite convergente est bornée par $M\in\R$ et $m\in\R$, donc ce théorème nous indique que sa limite $\ell$ est telle que :
$$m\leq \ell \leq M$$
En effet, il suffit de prendre pour  $(v_n)$ la suite constante  égale à $M$, alors on a $\ell \leq M$. On procède de même pour $m$.
}

\begin{theo}[des gendarmes]
Soit $u$, $v$ et $w$ trois suites et $\ell \in \R$ tels que :
\begin{enumerate}
\item à partir d'un certain rang $u_n\leq v_n\leq w_n $
\item $ \lim\limits_{n \to +\infty}u_n=\lim\limits_{n \to +\infty}w_n=\ell$
\end{enumerate}
Alors $v$ converge aussi et on a $ \lim\limits_{n \to +\infty}v_n=\ell$
\end{theo}

\Dem{Soit $I$ un intervalle ouvert contenant $\ell$.
Notons $N_0$ le rang à partir duquel on a $u_n\leq v_n\leq w_n $\\
$N_1$ le rang à partir duquel tous les termes de la suite $(u_n)$ sont contenus dans $I$ et $N_2$ 
le rang à partir duquel tous les termes de la suite $(w_n)$ sont contenus dans $I$. \\
Notons $N=max(N_0;N_1;N_2)$, alors on a :
\begin{itemize}
\item à partir du rang $N$, $u_n\leq v_n\leq w_n $
\item D'après le point précédent, tous les termes de la suite $v_n$ sont contenus dans $I$
 à partir du rang $N$, ce qui prouve que la suite $(v_n)$ converge vers $\ell$
\end{itemize}}


\Expl{
Soient les suites $u$ et $v$ définies sur $\N^*$ par 
$u_n=1+\dfrac{3\cos(n)}{n^2}$ \qquad et \qquad $v_n=\dfrac{(-1)^n+3n^2}{n^2}$.
\begin{itemize}
 \item On sait que pour tout $n\in\N^*$ on a $-1 \leq \cos(n) \leq 1$ donc $1-\dfrac{3}{n^2} \leq u_n \leq 1+\dfrac{3}{n^2}$.\\
Or $\lim\limits_{n \to + \infty} \left(1-\dfrac{3}{n^2} \right)=\lim\limits_{n \to + \infty} \left(1+\dfrac{3}{n^2} \right)=1$.\\
D'après le théorème des gendarmes, on conclut que $\lim\limits_{n \to + \infty} u_n=1$.
 \item On sait que pour tout $n\in\N^*$ on a $-1 \leq (-1)^n \leq 1$ donc $\dfrac{-1+3n^2}{n^2} \leq v_n \leq \dfrac{1+3n^2}{n^2}$.\\
Or $\lim\limits_{n \to + \infty} \dfrac{-1+3n^2}{n^2} =\lim\limits_{n \to + \infty} \dfrac{1+3n^2}{n^2} =3$.\\
D'après le théorème des gendarmes, on conclut que $\lim\limits_{n \to + \infty} v_n=3$.
\end{itemize}
}


\subsection{Limites infinies}

\begin{theo}[Théorème de comparaison]
Soient $u$ et $v$ deux suites telles que $u_n \leq v_n$ à partir d'un certain rang. 
\begin{itemize}
\item Si $\lim\limits_{n\to + \infty}u_n = + \infty$\quad alors \quad $\lim\limits_{n\to + \infty}v_n = + \infty$\\
\item  Si $\lim\limits_{n\to + \infty}v_n = - \infty$\quad alors \quad $\lim\limits_{n\to + \infty}u_n = - \infty$
\end{itemize}
\end{theo}

\Dem{
\begin{itemize}
 \item Considérons $A$ un réel. On sait que $u$ diverge vers $+\infty$ donc
à partir d'un certain rang $N$ tous les termes de la suite $u$ vérifient : $ u_n>A$.\\
Par conséquent, à partir du rang $N$, on a aussi $v_n>A$, ce qui prouve que $v$ diverge vers $+\infty$. \\
\item La deuxième démonstration est analogue.
\end{itemize}
}

\Expl{
Soient les suites $u$ et $v$ définies sur $\N$ par $u_n=n^2-3\sin(n)$ et $v_n=-n+1+(-1)^n$.
\begin{itemize}
 \item On sait que pour tout $n\in\N$ on a $-1\leq \sin(n) \leq 1$ donc $n^2 -3 \leq u_n$.\\
Or $\lim\limits_{n\to + \infty} n^2-3 = + \infty$ donc $\lim\limits_{n\to + \infty} u_n = + \infty$.
\item  On sait que pour tout $n\in\N$ on a $ (-1)^n \leq 1$ donc $v_n \leq -n + 2 $.\\
Or $\lim\limits_{n\to + \infty} -n+2 = - \infty$ donc $\lim\limits_{n\to + \infty} v_n = - \infty$.
\end{itemize}
}


\subsection{Application à la suite $(q^n)$ avec $q\in\R$}

\begin{prop}
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item Si $q>1$, on a $\lim\limits_{n \to +\infty} q^n=+\infty$
\item Si $q=1$, on a $\lim\limits_{n \to +\infty} q^n=1$\\
\item Si $-1<q<1$, on a $\lim\limits_{n \to +\infty} q^n=0$
\item Si $q<-1$, on a $(q^n)$ n'admet pas de limite.\\
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{prop}

\Dem{
On commence par démontrer par récurrence l'inégalité de Bernoulli (cf p 17 du Déclic ou Exo 10 du chapitre précédent) :
$$ \text{$\forall x \geq 0$ et $\forall n\in\N$ on a :} (1+x)^n\geq 1+nx$$
\begin{enumerate}
\item Si $q>1$ alors $q=q'+1$ avec $q'>0$ et on a $q^n=(1+q')^n \geq 1+nq'$.\\
Or $\lim\limits_{n\to + \infty}(1+nq')=+\infty$ car $q'>0$. Donc  $\lim\limits_{n \to +\infty} q^n=+\infty$.
\item Si $q=1$ alors $(q^n)$ est constante égale à 1 (donc convergente vers $1$) .
\item Si $-1<q<1$. On pose $q'=\dfrac{1}{|q|}$. Alors $q'>1$ et $\lim\limits_{n \to +\infty} (q')^n=+\infty$. \\
Donc $\lim\limits_{n \to +\infty} q^n=\pm\lim\limits_{n \to +\infty} \dfrac{1}{(q')^n}=0$.
\item Si $q\leq -1$, alors $(q^{2n})$ tend vers $+\infty$ tandis que $(q^{2n+1})$ tend vers $-\infty$. \\
Donc $(q^n)$ n'a pas de limite.
\end{enumerate} 
}

\Expl{
Déterminer la limite de la suite géométrique de raison 2 et de premier terme $-3$.
}




\section{Suites monotones et limites}



\begin{theo}[Admis]
\begin{itemize}
 \item Toute suite croissante et majorée de réels converge.
 \item Toute suite décroissante et minorée de réels converge.
\end{itemize}
\end{theo}

\Expl{
Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_n=1+\dfrac{1}{n}$ sur $\N^*$. Cette suite est décroissante minorée par $1$, 
donc elle converge. 
}

\Att{
Ici le minorant trouvé est la limite, mais ce n'est pas toujours le cas ! Le théorème donne l'existence d'une limite mais pas sa valeur.
}

\Expl{
On considère la suite $w$ définie par 
$$\left\{ \begin{array}{l}
 w_0=0.6 \\ w_{n+1}=0.7 w_n + 0.1
\end{array}\right.$$
\begin{enumerate}
 \item Démontrer par récurrence que pour tout entier $n$ on a $0 \leq w_{n+1} \leq w_n \leq 1$
 \item Justifier alors que la suite $w$ est convergente.
 \item Préciser la valeur de sa limite.
\end{enumerate}
}

\Sol{
\begin{enumerate}
 \item \begin{itemize}
        \item Initialisation : $w_1=0.52$ donc on a bien $0 \leq w_1 \leq w_0 \leq 1$
 \item Hérédité : On suppose que $\exists k \in \N$ , $0 \leq w_{k+1} \leq w_k \leq 1$.
Alors on a 
$$0 \leq 0.7w_{k+1} \leq 0.7w_k \leq 0.7 \iff 0.1 \leq 0.7w_{k+1}+0.1 \leq 0.7w_k+0.1 \leq 0.8 \iff 0.1 \leq w_{k+2} \leq w_{k+1} \leq 0.8$$
Donc on a bien $0 \leq w_{k+2} \leq w_{k+1} \leq 1$. La propriété est héréditaire.
 \item La propriété est initialisée et héréditaire, donc elle est vraie pour tout $n$.
       \end{itemize}
 \item On déduit de la question précédente que la suite $(w_n)$ est décroissante et minorée par $0$, donc elle converge vers un réel $\ell$.
 \item La suite $\left(w_{n+1}\right)$ est une sous-suite de $(w_n)$ donc elle converge vers $\ell$.\\
De plus, $w_{n+1}=0.7w_n+0.1$ et on sait que $\lim\limits_{n\to + \infty} 0.7w_n+0.1 = 0.7\ell +0.1$.\\
Par unicité de la limite on obtient $\ell = 0.7 \ell + 0.1 \iff \ell = \dfrac13$.
\end{enumerate}
}


\begin{theo}
\begin{itemize}
 \item Toute suite croissante non majorée diverge vers $+\infty$.
 \item Toute suite décroissante non minorée diverge vers $-\infty$.
\end{itemize}
\end{theo}

\Dem{
\begin{itemize}
 \item Soit $(u_n)$ une suite croissante non majorée et un intervalle $I=]A;+\infty[$ ($A\in\R$). 
La suite $u$ n'étant pas majorée, il existe un entier $n_0$ tel que $u_{n_0} \geq A$. \\
La suite $u$ étant croissante, tous les termes après le rang $n_0$ sont supérieurs à $A$, donc contenus dans $I$.\\
Donc la suite $(u_n)$ tend vers $+\infty$.
 \item La deuxième partie découle de la première, en considérant la suite $(-u_n)$, croissante non majorée.
\end{itemize}
}

\end{document}
