\documentclass[10pt,a4paper,answers,fancyhdr]{article} % remplacer answers par noanswers pour ne pas afficher les solutions
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Définitions de la feuille d'exercices

\newcommand{\typedoc}{Correction du TG 1}          %%%%%%%%%%%%%%% 1ere ligne du titre de la feuille
\newcommand{\Ch}{Suites}		   %%%%%%%%%%%%%%%% 2eme ligne et en haut à droite après	
\newcommand{\ch}{R\'evisions}               %%%%%%%%%%%%%%% En haut à gauche (numero chapitre)
\newcommand{\Cl}{T$^\text{ale}$S}
\newcommand{\Annee}{2017-2018}

\newcommand{\serie}{Scientifique}
\newcommand{\num}{0}	
\newcommand{\tps}{2h}	



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Début
\begin{document}


\DocDav

\begin{exoi}

\begin{footnotesize}
On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0=3$ et $u_{n+1}=3u_n+2$, pour tout entier naturel $n$.

Démontrer que pour tout entier naturel $n$ on a :
$$ u_n=4\times 3^n-1$$
\end{footnotesize}
\end{exoi}

\begin{sol}

Notons $\mathscr P(n)$ la propriété :
$$ \mathscr P(n) : u_n=4\times 3^n-1$$
\begin{itemize}
\item \textit{\textbf{Initialisation}} :  Montrons que $\mathscr P$ est vraie pour  $n=0$.

$4 \times 3^0-1=4-1=3$ et on a bien $u_0=3$ ce qui confirme bien que $\mathscr P$ est vraie pour $n=0$.
\item \textbf{\textit{Hérédité}} : Montrons que si $ u_n=4\times 3^n-1$ alors $u_{n+1}=4\times 3^{n+1}-1$.

On sait que  $u_{n+1}=3u_n+2$ et on suppose que  $ u_n=4\times 3^n-1$ on en déduit alors que :
$$ u_{n+1}3\left(4\times 3^n-1\right)+2=4\times 3^{n+1}-3+2=4\times 3^{n+1}-1$$
autrement dit $\mathscr P$ est une propriété héréditaire.
\item \textbf{\textit{Conclusion}} : $\mathscr P$ est héréditaire et est initialisée à partir de $n=0$, on en déduit donc que :
$$\forall n\in \N \quad  :\quad u_n=4\times 3^n-1$$
\end{itemize}
\end{sol}

\begin{exoi}
\begin{footnotesize}
Soit la suite $(u_n)$ définie par $u_0=8$ et pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=\sqrt{u_n+1}$

Démontrer que la suite $(u_n)$ est minorée par $1$ et est décroissante.
\end{footnotesize}
\end{exoi}

\begin{sol}

Notons $\mathscr P(n)$ la propiété :
$$ \mathscr P(n) : 1\leq u_{n+1}\leq u_n$$
\begin{itemize}
\item \textbf{\textit{Initialisation}} : Montrons que $\mathscr P$ est vraie pour  $n=0$.

$u_1=\sqrt{8+1}=3$, on observe bien que $1\leq 3\leq 8 \Longleftrightarrow 1\leq u_1\leq u_0$ donc $\mathscr P$ est vraie au rang $0$.
\item \textbf{\textit{Hérédité}} : Montrons que si $ 1\leq u_{n+1}\leq u_n$ alors $  1\leq u_{n+2}\leq u_{n+1}$.

Posons $f(x)=\sqrt{x+1}$ pour $x\geq 1$, on a $f'(x)=\dfrac{(x+1)'}{2\sqrt{x+1}}=\dfrac{1}{2\sqrt{x+1}}>0$ lorsque $x \geq 1$.

Nous en concluons que $f$ est strictement croissante sur $[1;+\infty[$ d'où l'on tire la série d'équivalence suivante :



\begin{align*}
&  1\leq u_{n+1}\leq u_n\\
\Longleftrightarrow & f(1)\leq f(u_{n+1})\leq f(u_n) & \text{ car $f$ est strictement croissante sur $[1;+\infty[$)}
\Longleftrightarrow & \sqrt{2} \leq u_{n+2}\leq u_{n+1}&\\
\end{align*}

De plus $\sqrt{2}>1$ d'où : $  1\leq u_{n+2}\leq u_{n+1}$, autrement dit $\mathscr P$ est une propriété héréditaire.
\item \textbf{\textit{Conclusion}} : $\mathscr P$ est héréditaire et est initialisée à partir de $n=0$, on en déduit donc que $(u_n)$ est une suite minorée et décroissante.

\end{itemize}
\end{sol}
\pagebreak
\begin{exoi}
\begin{footnotesize}
Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_0=3$ et pour tout entier naturel $n$ :
$$ u_{n+1}=\dfrac{4u_n-2}{u_n+1}$$
\end{footnotesize}
\begin{enumerate}
\item \begin{footnotesize}
Dresser le tableau de variations de la fonction $f$ définie sur $]-1;+\infty[$ par :
$$ f(x)=\dfrac{4x-2}{x+1}$$
\end{footnotesize}

\begin{sol}

On a, pour $x>-1$ :
$$ f'(x)=\dfrac{(4x-2)'(x+1)-(4x-2)(x+1)'}{(x+1)^2}=\dfrac{4(x+1)-(4x-2)}{(x+1)^2}=\dfrac{4x+4-4x+2}{((x+1)^2}=\dfrac{6}{(x+1)^2}$$

Trivialement $f'(x)>0$ pour $x>-1$ et donc la fonction $f$ est strictement croissante sur $]-1;+\infty[$.
\end{sol}


\item {\footnotesize Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$ on a $u_n>2$.}


\begin{sol}

Notons $\mathscr P(n)$ la propriété :
$$ \mathscr P(n) : u_n>2$$
\begin{itemize}
\item \textit{\textbf{Initialisation}} :  Montrons que $\mathscr P$ est vraie pour  $n=0$.

$u_0=3>2$ ce qui confirme bien que $\mathscr P$ est vraie pour $n=0$.
\item \textbf{\textit{Hérédité}} : Montrons que si $ u_n>2$ alors $u_{n+1}>2$.

On sait que  $u_{n+1}=f(u_n)$ puis que $f$ est strictement croissante sur $]-1;+\infty[$ et on suppose que  $ u_n>2$ on en déduit alors que :
$$ f(u_n)>f(2) \Longleftrightarrow u_{n+1}>2$$
autrement dit $\mathscr P$ est une propriété héréditaire.
\item \textbf{\textit{Conclusion}} : $\mathscr P$ est héréditaire et est initialisée à partir de $n=0$, on en déduit donc que :
$$\forall n\in \N \quad  :\quad u_n=4\times 3^n-1$$
\end{itemize}
\end{sol}

\item {\footnotesize La suite est-elle monotone ?}

\begin{sol}

Calculons dans un premier temps $u_1=f(u_0)=f(3)=\dfrac{10}{4}=2,5$.

Notons $\mathscr P(n)$ la propriété :
$$ \mathscr P(n) : u_n>u_{n+1}$$
\begin{itemize}
\item \textit{\textbf{Initialisation}} :  Montrons que $\mathscr P$ est vraie pour  $n=0$.

$u_0=3>2,5=u_1$ ce qui confirme bien que $\mathscr P$ est vraie pour $n=0$.
\item \textbf{\textit{Hérédité}} : Montrons que si $ u_n>u_{n+1}$ alors $u_{n+1}>u_{n+2}$.

On sait que  $u_{n+1}=f(u_n)$ puis que $f$ est strictement croissante sur $]-1;+\infty[$ mais aussi que $u_2>2$ et on suppose que $ u_n>u_{n+1}$ on a alors que :
$$u_n>u_{n+1} (>2) \Longrightarrow f(u_n)>f(u_{n+1}) \Longrightarrow u_{n+1}>u_{n+2}$$
autrement dit $\mathscr P$ est une propriété héréditaire.
\item \textbf{\textit{Conclusion}} : $\mathscr P$ est héréditaire et est initialisée à partir de $n=0$, on en déduit donc que la suite $(u_n)$ est monotone (elle est en particulier strictement décroissante).
\end{itemize}
\end{sol}
\end{enumerate}
 \end{exoi}



\end{document}