\documentclass[a4paper,10pt,french]{article}


\input macrodwicky.tex
\geometry{verbose,letterpaper,tmargin=1cm,bmargin=1cm,lmargin=2cm,rmargin=2cm}

\begin{document}
\pagestyle{empty}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune
\textbf{Nom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$ \hfill \textbf{Pr\'enom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$  \hfill Classe :$\dots\dots$\\
\psframebox[linestyle=solid,shadow=true,framearc=0.5,fillcolor=vert!30]{
\begin{minipage}{17cm}
\begin{center}
\vspace{1mm}
\textsc{\textbf{ Correction de l'interrogation n$^{\circ}4$ }}
\end{center}
\vspace{-3mm}
\end{minipage}
}
\setcounter{section}{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	 Interro
\begin{center}
\textit{\textbf{On prendra soin de coller le sujet sur la copie. La note tiendra compte de la qualité de la rédaction et de l'application.}}
\end{center}

\begin{exoi}\hfill \textit{10 points}

\begin{footnotesize}
Dans le plan complexe munit du repère orthonormal $(O;\vec{u},\vec{v})$, on considère le point $M$ d'affixe $z$ et le point $M'$ d'affixe $z'$ définit par :
$$ z'=-z^2-1$$
\end{footnotesize}
On dit que $M'$ est l'image du point $M$.
\begin{enumerate}
\item {\footnotesize Quel est l'image du point $M$ d'affixe $i$ ?}

\begin{sol}
L'image du point $M$ d'affixe $i$ est le point $M'$ d'affixe $z'=-(i)^2-1=1-1=0$.
\end{sol}
\item {\footnotesize Quels sont les points $M$ dont l'image est l'origine du repère ?}

\begin{sol}
Les points $M$ dont l'image est l'origine du repère sont ceux dont l'affixe $z$ est solution de l'équation $-z^2-1=0 \Longleftrightarrow z^2=-1 \Longleftrightarrow z=\pm i$.
\end{sol}
\item 
\begin{enumerate}
\item \begin{footnotesize}
Résoudre, dans $\mathscr C$, l'équation :
$$ z^2+z+1=0$$
\end{footnotesize}

\begin{sol}

$\Delta=b^2-4ac=1-4=-3$ donc l'équation $z^2+2z+1=0$ admet deux solutions complexes conjuguées qui sont  $\dfrac{-1\pm i\sqrt{3}}{2}$.
\end{sol}
\item {\footnotesize En déduire l'ensemble des points $M$ du plan confondu avec leur image $M'$, c'est-à-dire vérifiant $z'=z$.  }

\begin{sol}

$$z'=z \Longleftrightarrow -z^2-1=z \Longleftrightarrow 0=z^2+z+1 \Longleftrightarrow z=\dfrac{-1\pm i\sqrt{3}}{2}$$
\end{sol}
\end{enumerate}
\item {\footnotesize On note $j=-\dfrac{1}{2}+i\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.}
\begin{enumerate}
\item {\footnotesize Déterminer le module et un argument de $j$ puis écrire $j$ sous forme trigonométrique.}

\begin{sol}

$$ j=\cos \dfrac{2\pi}{3}+i\sin\dfrac{2\pi}{3}$$
donc $|j|=1$ et $arg(j)=2 \pi3$
\end{sol}
\item {\footnotesize Déterminer le module et un argument de $\overline{j}$ puis écrire $\overline{j}$ sous forme trigonométrique.}

\begin{sol}
$\overline{j}=-\dfrac{1}{2}-i\dfrac{\sqrt{3}}{2}$, puisque $|j|=1$ alors $|\overline{j}|=1$ et puisque $arg(j)=\dfrac{2\pi}{3}$ alors $arg(\overline{j})=-2\pi	3$ d'où :
$$\overline{j}=\cos \dfrac{-2\pi}{3}+i\sin\dfrac{-2\pi}{3}$$
\end{sol}
\end{enumerate}
\item {\footnotesize On note $M_n$ le point du plan complexe d'affixe $z_n$ définit par $z_n=j^n$ pour tout entier naturel $n$.}
\begin{enumerate}
\item {\footnotesize Calculer $OM_n$, que peut-on en déduire quant à la position des points $M_n$ dans le plan complexe ?}

\begin{sol}
 
 $$OM_n=|j^n|=|j|^n=1^n=1$$
 
 $M_n$ est un point du cercle trigonométrique pour tout entier naturel $n$.
\end{sol}
\item {\footnotesize Démontrer qu'un argument de $z_n$ vaut $\dfrac{2n\pi}{3}$.}

\begin{sol}

$$ arg(z_n)=arg(j^n)=n arg(j)=\dfrac{2n\pi}{3}$$
\end{sol}
\item {\footnotesize Placer à l'aide de la règle non graduée et du compas, les points $M_0$, $M_1$, $M_2$ et $M_3$ sur une figure.}
\item {\footnotesize Expliquer où se situe le point $M_{2017}$ dans le plan complexe puis le placer sur votre figure.}

\begin{sol}
$M_{2017}$ est tout d'abord un point du cercle trigonométrique, de plus son argument vaut $\dfrac{4034 \pi}{3}=\dfrac{3\times 1347\pi+2\pi}{3}=1347\pi+\dfrac{2\pi}{3}=673\times 2\pi	+\pi+\dfrac{2\pi}{3}=\dfrac{4\pi}{3}+673\times 2\pi$
\end{sol}
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exoi}


\vfill
\setcounter{exoBac}{0}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune
\textbf{Nom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$ \hfill \textbf{Pr\'enom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$  \hfill Classe :$\dots\dots$\\
\psframebox[linestyle=solid,shadow=true,framearc=0.5,fillcolor=vert!30]{
\begin{minipage}{17cm}
\begin{center}
\vspace{1mm}
\textsc{\textbf{ Correction de l'interrogation n$^{\circ}3$ }}
\end{center}
\vspace{-3mm}
\end{minipage}
}
\setcounter{section}{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	 Interro
\begin{center}
\textit{\textbf{On prendra soin de coller le sujet sur la copie. La note tiendra compte de la qualité de la rédaction et de l'application.}}
\end{center}


\begin{exoi}\hfill \textit{10 points}

\begin{footnotesize}
Dans le plan complexe munit du repère orthonormal $(O;\vec{u},\vec{v})$, on considère le point $M$ d'affixe $z$ et le point $M'$ d'affixe $z'$ définit par :
$$ z'=\dfrac{-z^2-1}{\sqrt{2}}$$
On dit que $M'$ est l'image du point $M$.
\end{footnotesize}
\begin{enumerate}
\item {\footnotesize Quel est l'image du point $M$ d'affixe $i$ ?}

\begin{sol}
L'image du point $M$ d'affixe $i$ est le point $M'$ d'affixe $z'=(-(i)^2-1)/\sqrt{2}=(1-1)/\sqrt{2}=0$.

\end{sol}
\item {\footnotesize Quels sont les points $M$ dont l'image est l'origine du repère ?}

\begin{sol}
Les points $M$ dont l'image est l'origine du repère sont ceux dont l'affixe $z$ est solution de l'équation $\dfrac{-z^2-1}{\sqrt{2}}=0 \Longleftrightarrow -z^2-1=0 \Longleftrightarrow z^2=-1 \Longleftrightarrow z=\pm i$.
\end{sol}
\item 
\begin{enumerate}
\item \begin{footnotesize}
Résoudre, dans $\mathscr C$, l'équation :
$$ z^2+\sqrt{2} z+1=0$$
\end{footnotesize}

\begin{sol}

$\Delta=b^2-4ac=2-4=-2$ donc l'équation $z^2+\sqrt{2} z+1=0$ admet deux solutions complexes conjuguées qui sont  $\dfrac{-\sqrt{2}\pm i\sqrt{2}}{2}$.
\end{sol}
\item{\footnotesize  En déduire l'ensemble des points $M$ du plan confondu avec leur image $M'$, c'est-à-dire vérifiant $z'=z$.  }

\end{enumerate}

\begin{sol}

$$z'=z \Longleftrightarrow -z^2-1=\sqrt{2} z \Longleftrightarrow 0=z^2+\sqrt{2}z+1 \Longleftrightarrow z=\dfrac{-\sqrt{2}\pm i\sqrt{2}}{2}$$
\end{sol}
\item On note $k=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}+i\dfrac{\sqrt{2}}{2}$.
\begin{enumerate}
\item {\footnotesize Déterminer le module et un argument de $k$ puis écrire $k$ sous forme trigonométrique.}


\begin{sol}

$$ K=\cos \dfrac{3\pi}{4}+i\sin\dfrac{3\pi}{4}$$
donc $|k|=1$ et $arg(k)=\dfrac{3\pi}{4}$
\end{sol}
\item {\footnotesize Déterminer le module et un argument de $\overline{K}$ puis écrire $\overline{K}$ sous forme trigonométrique.}

\begin{sol}
$\overline{k}=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}-i\dfrac{\sqrt{2}}{2}$, puisque $|k|=1$ alors $|\overline{k}|=1$ et puisque $arg(k)=\dfrac{3\pi}{4}$ alors $arg(\overline{k})=-\dfrac{3\pi}{4}$ d'où :
$$\overline{k}=\cos \dfrac{-3\pi}{4}+i\sin\dfrac{-3\pi}{4}$$
\end{sol}
\end{enumerate}
\item {\footnotesize On note $M_n$ le point du plan complexe d'affixe $z_n$ définit par $z_n=k^n$ pour tout entier naturel $n$.}
\begin{enumerate}
\item {\footnotesize Calculer $OM_n$, que peut-on en déduire quant à la position des points $M_n$ dans le plan complexe ?}

\begin{sol}
 
 $$OM_n=|k^n|=|k|^n=1^n=1$$
 
 $M_n$ est un point du cercle trigonométrique pour tout entier naturel $n$.
\end{sol}
\item {\footnotesize Démontrer qu'un argument de $z_n$ vaut $\dfrac{3n\pi}{4}$.}

\begin{sol}

$$ arg(z_n)=arg(k^n)=n arg(k)=\dfrac{3n\pi}{4}$$
\end{sol}
\item {\footnotesize Placer à l'aide de la règle non graduée et du compas, les points $M_0$, $M_1$, $M_2$, $M_3$, $M_4$, $M_5$, $M_6$, $M_7$ et $M_8$.}
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exoi}

\end{document}
