\documentclass[a4paper,10pt,french]{article}


\input macrodwicky.tex
\geometry{verbose,letterpaper,tmargin=1cm,bmargin=1cm,lmargin=2cm,rmargin=2cm}

\begin{document}
\pagestyle{empty}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune
\textbf{Nom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$ \hfill \textbf{Pr\'enom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$  \hfill Classe :$\dots\dots$\\
\psframebox[linestyle=solid,shadow=true,framearc=0.5,fillcolor=vert!30]{
\begin{minipage}{17cm}
\begin{center}
\vspace{1mm}
\textsc{\textbf{ Correction de l'interrogation n$^{\circ}3$ }}
\end{center}
\vspace{-3mm}
\end{minipage}
}
\setcounter{section}{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	 Interro
\begin{center}
\textit{\textbf{On prendra soin de coller le sujet sur la copie. La note tiendra compte de la qualité de la rédaction et de l'application.}}
\end{center}

\begin{exoi}\hfill \textit{10 points}

\begin{footnotesize}
Dans le plan complexe, soit $M_1$ le point d'affixe $z=-1+\sqrt{3}i$.

\end{footnotesize}\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}

\item 
{\footnotesize Calculer le module de $z$.}

\begin{sol}
$z=-1+i\sqrt{3}$ donc $$ |z|=\sqrt{(-1)^2+(\sqrt{3})^2}=\sqrt{1+3}=2$$
\end{sol}
\item {\footnotesize Calculer un argument de $z$.}

\begin{sol}
Un argument de $z$, disons $\theta$, vérifie nécessaire $\cos\theta=\dfrac{-1}{2}$ et $\sin\theta=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ donc $\theta=\dfrac{2\pi}{3}+2k\pi$ où $k\in\Z$.
\end{sol}
\item {\footnotesize Placer, en utilisant uniquement la règle non graduée et le compas, le point $M$ dans le plan complexe (\textit{en laissant apparaître les traits de construction.)}}

\begin{sol}

On utilise le fait que le point $M$ a pour abscisse $-1$ et pour module $2$ :

\begin{center}
\newrgbcolor{xdxdff}{0.49 0.49 1}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-3.46,-3.48)(3.92,2.9)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=2,Dy=2,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-3.46,-3.48)(3.92,2.9)
\psline(-1,-3.48)(-1,2.9)
\pscircle(0,0){2}
\begin{scriptsize}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=xdxdff](0,0)
\rput[bl](0.08,0.12){\xdxdff{$O$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=darkgray](-1,1.73)
\rput[bl](-0.92,1.86){\darkgray{$M$}}
\end{scriptsize}
\end{pspicture*}
\end{center} 
\end{sol}
\end{enumerate}
\item {\footnotesize On considère le point $M_n$ avec $n \geq 1$ d'affixe $z_n=(-1+\sqrt{3}i)^n$}
\begin{enumerate}
\item {\footnotesize Calculer puis placer $z_2$.}

\begin{sol}

$z_2=z_1^2$, donc $|z_2|^2=|z_1^2|=|z_1|^2=2^2=4$ et $arg(z_2)=arg(z_1^2)+2k\pi$ donc $arg(é_2)=2arg(z_1)+2k\pi=\dfrac{4\pi}{3}+2k\pi$

d'où :

$$ z_2=4\left(\cos \dfrac{4\pi}{3}+i\sin\dfrac{4\pi}{3}\right)=4\left(-\dfrac{1}{2}-i\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)=-2-2i\sqrt{3}$$


\begin{center}
\newrgbcolor{xdxdff}{0.49 0.49 1}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-4.12,-4.76)(4.24,4.48)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=2,Dy=2,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-4.12,-4.76)(4.24,4.48)
\psline(-1,-4.76)(-1,4.48)
\pscircle(0,0){2}
\pscircle(0,0){4}
\psline(-2,-4.76)(-2,4.48)
\begin{scriptsize}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=xdxdff](0,0)
\rput[bl](0.08,0.12){\xdxdff{$O$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=darkgray](-1,1.73)
\rput[bl](-0.92,1.86){\darkgray{$M$}}
\rput[bl](-2.02,3){$d$}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=darkgray](-2,-3.46)
\rput[bl](-1.92,-3.34){\darkgray{$M_2$}}
\end{scriptsize}
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{sol}
\item\begin{footnotesize}
 Soit la suite $(u_n)$ définie pour tout entier naturel $n\geq 1$ par $u_n=|z_n|$, démontrer que :
$$ u_n=2^n$$
\end{footnotesize}
\begin{sol}
Pour tout entier naturel $n$ on a :
$$ u_n=|z_n|=\left|(-1+i\sqrt{3})^n\right|=\left|-1+i\sqrt{3}\right|^n=2^n$$
\end{sol}
\item {\footnotesize Donner la limite de la suite $(u_n)$ }

\begin{sol}
Puisque $2>1$ on a :
$$ \lim\limits_{n\to+\infty}2^n=+\infty$$
\end{sol}
\item{\footnotesize  Interprétrer géométriquement le résultat précédent.}

\begin{sol}
$u_n=|z_n|=OM_n$, la distance $OM_n$ diverge donc vers $+\infty$.
\end{sol}
\end{enumerate} 
\end{enumerate}
\end{exoi}


\pagebreak
\setcounter{exoBac}{0}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune
\textbf{Nom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$ \hfill \textbf{Pr\'enom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$  \hfill Classe :$\dots\dots$\\
\psframebox[linestyle=solid,shadow=true,framearc=0.5,fillcolor=vert!30]{
\begin{minipage}{17cm}
\begin{center}
\vspace{1mm}
\textsc{\textbf{ Correction de l'interrogation n$^{\circ}3$ }}
\end{center}
\vspace{-3mm}
\end{minipage}
}
\setcounter{section}{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	 Interro
\begin{center}
\textit{\textbf{On prendra soin de coller le sujet sur la copie. La note tiendra compte de la qualité de la rédaction et de l'application.}}
\end{center}


\begin{exoi}\hfill \textit{10 points}

\begin{footnotesize}
Dans le plan complexe, soit $M_1$ le point d'affixe $z=\dfrac{1}{4}-\dfrac{\sqrt{3}}{4}i$.

\end{footnotesize}\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item{\footnotesize  Calculer le module de $z$.}

\begin{sol}
$z=\dfrac{1}{4}-\dfrac{\sqrt{3}}{4}i$ donc $$ |z|=\sqrt{(1/4)^2+(\sqrt{3}/4)^2}=\sqrt{1/16+3/16}=\dfrac{1}{2}$$
\end{sol}
\item {\footnotesize Calculer un argument de $z$.}

\begin{sol}
Un argument de $z$, disons $\theta$, vérifie nécessaire $\cos\theta=\dfrac{1/4}{1/2}=\dfrac{1}{4}\times 2=\dfrac{1}{2}$ et $\sin\theta=\dfrac{\sqrt{3}/4}{1/2}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ donc $\theta=\dfrac{\pi}{3}+2k\pi$ où $k\in\Z$.
\end{sol}
\item {\footnotesize Placer, en utilisant uniquement la règle non graduée et le compas, le point $M$ dans le plan complexe (\textit{en laissant apparaître les traits de construction.)}}

\begin{sol}
Cf. question suivante.
\end{sol}
\end{enumerate}
\item {\footnotesize On considère le point $M_n$ avec $n \geq 1$ d'affixe $z_n=\left(\dfrac{1}{4}-\dfrac{\sqrt{3}}{4}i\right)^n$}
\begin{enumerate}
\item {\footnotesize  Calculer puis placer $z_2$.}


$z_2=z_1^2$, donc $|z_2|^2=|z_1^2|=|z_1|^2=0.5^2=\dfrac{1}{4}$ et $arg(z_2)=arg(z_1^2)+2k\pi$ donc $arg(z_2)=2arg(z_1)+2k\pi=\dfrac{2\pi}{3}+2k\pi$

d'où :

$$ z_2=\dfrac{1}{4}\left(\cos \dfrac{2\pi}{3}+i\sin\dfrac{2\pi}{3}\right)=\dfrac{1}{4}\left(-\dfrac{1}{2}+i\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)=-\dfrac{1}{8}-i\dfrac{\sqrt{3}}{8}$$

Du module de $z_1$ et $z_2$ et de leurs arguments on place les points $M$ et $M_2$ sans difficulté :

\begin{center}
\newrgbcolor{xdxdff}{0.49 0.49 1}
\psset{xunit=4.0cm,yunit=4.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-0.62,-0.56)(0.69,0.59)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=0.1,Dy=0.1,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-0.62,-0.56)(0.69,0.59)
\psline(0.25,-0.56)(0.25,0.59)
\pscircle(0,0){2}
\pscircle(0,0){1}
\psline(-0.13,-0.56)(-0.13,0.59)
\begin{scriptsize}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=xdxdff](0,0)
\rput[bl](0.01,0.01){\xdxdff{$O$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=darkgray](0.25,0.43)
\rput[bl](0.26,0.44){\darkgray{$M$}}
\rput[bl](-0.13,0.18){$d$}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=darkgray](-0.13,-0.22)
\rput[bl](-0.12,-0.2){\darkgray{$M_2$}}
\end{scriptsize}
\end{pspicture*}
\end{center}
\item \begin{footnotesize}
Soit la suite $(u_n)$ définie pour tout entier naturel $n\geq 1$ par $u_n=|z_n|$, démontrer que :
$$ u_n=2^n$$
\end{footnotesize}

\begin{sol}
Pour tout entier naturel $n$ on a :
$$ u_n=|z_n|=\left|(-1/4+i\sqrt{3}/4)^n\right|=\left|-1/4+i\sqrt{3}/4\right|^n=\left(\dfrac{1}{2}\right)^n$$
\end{sol}
\item {\footnotesize Donner la limite de la suite $(u_n)$ }

\begin{sol}
Puisque $-1<\dfrac{1}{2}<1$ on a :
$$ \lim\limits_{n\to+\infty}0.5^n=0$$
\end{sol}
\item{\footnotesize  Interprétrer géométriquement le résultat précédent.}

\begin{sol}
$u_n=|z_n|=OM_n$, la distance $OM_n$ converge vers $0$ et donc le point $M_n$ se rapproche inexoblarement de l'origine du repère lorsque $n$ tends vers $+\infty$.
\end{sol}\end{enumerate} 
\end{enumerate}
\end{exoi}

\end{document}
