\documentclass[a4paper,10pt,french]{article}


\input macrodwicky.tex
\geometry{verbose,letterpaper,tmargin=1cm,bmargin=1cm,lmargin=2cm,rmargin=2cm}

\begin{document}
\pagestyle{empty}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune
\textbf{Nom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$ \hfill \textbf{Pr\'enom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$  \hfill Classe :$\dots\dots$\\
\psframebox[linestyle=solid,shadow=true,framearc=0.5,fillcolor=vert!30]{
\begin{minipage}{17cm}
\begin{center}
\vspace{1mm}
\textsc{\textbf{Correction de l'interrogation n$^{\circ}2$ }}
\end{center}
\vspace{-3mm}
\end{minipage}
}
\setcounter{section}{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	 Interro
\begin{center}
\textit{\textbf{On prendra soin de coller le sujet sur la copie. La note tiendra compte de la qualité de la rédaction et de l'application.}}
\end{center}

\begin{exoi}\hfill (4 points)

\begin{footnotesize}
On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0=0$ et $u_{n+1}=2u_n+n^2+1$

\end{footnotesize}
\begin{enumerate}
\item {\footnotesize Démontrer, par récurrence, que $u_n\geq n^2$}

\begin{sol}
Notons $\mathscr P(n) : u_n \geq 2$

\begin{itemize}
\item \textit{\textbf{Initialisation}} : Montrons que $\mathscr P$ est vraie au rang $0$

De fait $u_0=0\geq 0^2=0$.

\item \textbf{\textit{Hérédité}} : Montrons que si $u_n\geq n^2$ alors $u_{n+1}\geq (n+1)^2$

Si $u_n\geq n^2$ comme $u_{n+1}=2u_n+n^2+1$ on a $u_{n+1}\geq 3n^2+1$

De plus $3n^2+1\geq (n+1)^2 \Longleftrightarrow 2n^2-2n\geq 0 \Longleftrightarrow 2n(n-1)\geq 0$

De sorte que pour tout entier naturel $n\geq 1$ on ait $2n(n-1)\geq 0$ puis pour $n=1$ et pour $n=0$ on a $2n(n-1)=0$, ainsi on a pour tout entier naturel $n$ établit que $3n^2+1\geq (n+1)^2$ et donc que $u_{n+1}\geq (n+1)^2$.

\item \textbf{\textit{Conclusion}} : $\mathscr P$ est initialisée à partir de $n=0$ et est héréditaire donc pour tout entier naturel $n$ on a :

$u_n\geq n^2$
\end{itemize}
\end{sol} 

\item {\footnotesize Déterminer $\lim\limits_{n\to+\infty} n^2$ puis en déduire la limite de la suite $(u_n)$.}

\begin{sol}
Puisque  $\lim\limits_{n\to+\infty} n^2=+\infty$ et puisque  $u_n\geq n^2$ on a par comparaison :
$$ \lim\limits_{n\to+\infty} u_n=+\infty$$
\end{sol}
\end{enumerate}

\end{exoi}

\begin{exoi}\hfill (6 points)\\

\begin{footnotesize}
On considère la suite $(v_n)$ définie par :$$v_0=2\quad \text{et}\quad  v_{n+1}=\dfrac{v_n^2+2}{2v_n}$$

\end{footnotesize}\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item \begin{footnotesize}
Soit $f$ la fonction définie sur $[\sqrt{2};+\infty[$ par :
$$ f(x)=\dfrac{x^2+2}{2x}$$
\end{footnotesize}


\begin{footnotesize}
Déterminer le tableau de variation de $f$ sur $[\sqrt{2};+\infty[$.

\end{footnotesize}

On a pour tout nombre réel $xx\geq \sqrt{2}$ : 

$$ f'(x)=\dfrac{2x(2x)-2(x^2+2)}{(2x)^2}=\dfrac{4x^2-2x^2-4}{4x^2}=\dfrac{x^2-2}{2x^2}$$

De plus si $x\geq\sqrt{2}$ alors $2x>0$ et $x^2-2\geq 0$ donc le quotient est positif i.e on a $f'(x)\geq 0$ sur $[\sqrt{2};+\infty[$ et donc la fonction $f$ est strictement croissante sur $[\sqrt{2};+\infty[$.
\item {\footnotesize Démontrer ,par récurrence, que pour tout entier naturel $n$ on a : $\sqrt{2}\leq v_{n+1}\leq v_n$}


\begin{sol}
Notons $\mathscr P(n) : \sqrt{2}\leq v_{n+1}\leq v_n$

\begin{itemize}
\item \textit{\textbf{Initialisation}} : Montrons que $\mathscr P$ est vraie au rang $0$

De fait $v_1=f(v_0)=\dfrac{2^2+2}{4}=1,5$ et $v_0=2$, donc on a bien $\sqrt{2}<v_1<v_0$

\item \textbf{\textit{Hérédité}} : Montrons que si $ \sqrt{2}\leq v_{n+1}\leq v_n$ alors $ \sqrt{2}\leq v_{n+2}\leq v_{n+1}$

Comme $ \sqrt{2}\leq v_{n+1}\leq v_n$ et comme $f$ est strictement croissante sur $[\sqrt{2};+\infty[$ on a :

$$ f\left(\sqrt{2}\right)\leq f(v_{n})\leq f(v_{n+1}) $$
 et donc :
 
 $$ \dfrac{2+2}{2\sqrt{2}}\leq v_{n+1}\leq v_{n+2} \Longleftrightarrow \sqrt{2}\leq v_{n+2}\leq v_{n+1}$$


\item \textbf{\textit{Conclusion}} : $\mathscr P$ est initialisée à partir de $n=0$ et est héréditaire donc pour tout entier naturel $n$ la suite $(v_n)$ est décroissante et minorée par $\sqrt{2}$.
\end{itemize}
\end{sol} 

\item {\footnotesize En déduire que la suite $(v_n)$ converge vers un nombre réel $\ell$. }

\begin{sol}
Comme $(v_n)$ est décroissante et minorée (ici par $\sqrt{2}$) alors elle converge vers un réel qui est ici supérieur ou égal à $\sqrt{2}$.
\end{sol}
\end{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item {\footnotesize Résoudre, dans $\R$, l'équation $x=\dfrac{x^2+2}{2x}$}

On pour $x\neq 0$ : $$x=\dfrac{x^2+2}{2x} \Longleftrightarrow 2x^2=x^2+2 \Longleftrightarrow x^2=2 \Longleftrightarrow x=\pm \sqrt{2}$$
\item {\footnotesize Déterminer la limite $\ell$ de la suite $(v_n)$.}

\begin{sol}
On sait que $(v_n)$ converge, disons que $v_n$ converge vers $\ell$. Dans ce cas, $\lim\limits_{n \to+\infty} \dfrac{v_n^2+2}{2v_n}=\dfrac{\ell^2+2}{2\ell}$ et $\lim\limits_{n \to+\infty}  v_{n+1}=\ell$ d'où on tire le fait que $\ell$ est solution de l'équation $$ \ell=\dfrac{\ell^2+2}{2\ell}$$

Ainsi $\ell=\pm \sqrt{2}$ mais puisque $(v_n)$ est minorée par $\sqrt{2}$ alors $(v_n)$ converge vers $\sqrt{2}$.
\end{sol}
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exoi}

\pagebreak
\setcounter{exoBac}{0}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune
\textbf{Nom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$ \hfill \textbf{Pr\'enom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$  \hfill Classe :$\dots\dots$\\
\psframebox[linestyle=solid,shadow=true,framearc=0.5,fillcolor=vert!30]{
\begin{minipage}{17cm}
\begin{center}
\vspace{1mm}
\textsc{\textbf{ Interrogation n$^{\circ}2$ }}
\end{center}
\vspace{-3mm}
\end{minipage}
}
\setcounter{section}{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	 Interro
\begin{center}
\textit{\textbf{On prendra soin de coller le sujet sur la copie. La note tiendra compte de la qualité de la rédaction et de l'application.}}
\end{center}

\begin{exoi}\hfill (4 points)

\begin{footnotesize}
On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_{n}=\dfrac{2n+(-1)^n}{n}$

\end{footnotesize}
\begin{enumerate}
\item \begin{footnotesize}
Déterminer la limite des suites suivantes :
$$v_n=\dfrac{2n-1}{n}\qquad \text{et}\qquad w_n=\dfrac{2n+1}{n}$$
\end{footnotesize}

\begin{sol}
$v_n=\dfrac{n(2-1/n)}{n}=2-\dfrac{1}{n}$ donc $\lim\limits_{n\to+\infty} v_n=2$, de même on montre que $\lim\limits_{n\to+\infty} w_n=2$
\end{sol}
\item {\footnotesize En déduire la limite de la suite $(u_n)$.}

\begin{sol}
Du fait que $-1\leq (-1)^n\leq 1$ on tire que $v_n\leq u_n\leq w_n$ et du théorème des gendarmes on déduit que $$ \lim\limits_{n\to+\infty} u_n=2$$
\end{sol}
\end{enumerate}



\end{exoi}

\begin{exoi}\hfill (6 points)\\

\begin{footnotesize}
On considère la suite $(v_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par  :$$v_0=0\quad \text{et}\quad  v_{n+1}=\dfrac{2v_n+3}{v_n+4}$$

\end{footnotesize}\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item S\begin{footnotesize}
oit $f$ la fonction définie sur $\R\textbackslash\{-4\}$ par :
$$ f(x)=\dfrac{2x+3}{x+4}$$
Déterminer le tableau de variation de $f$ sur $\R\textbackslash\{-4\}$.
\end{footnotesize}

Pour $f\neq -4$ on a :
$$ f'(x)=\dfrac{2(x+4)-(2x+3)}{(x+4)^2}=\dfrac{5}{(x+4)^2}$$

%:-+-+-+-+- Engendré par : http://math.et.info.free.fr/TikZ/TableauxVariations/
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.875]
% Styles 
\tikzstyle{cadre}=[thin]
\tikzstyle{fleche}=[->,>=latex,thin]
\tikzstyle{nondefini}=[lightgray]
% Dimensions Modifiables
\def\Lrg{1.5}
\def\HtX{1}
\def\HtY{0.5}
% Dimensions Calculées
\def\lignex{-0.5*\HtX}
\def\lignef{-1.5*\HtX}
\def\separateur{-0.5*\Lrg}
% Largeur du tableau
\def\gauche{-1.5*\Lrg}
\def\droite{4.5*\Lrg}
% Hauteur du tableau
\def\haut{0.5*\HtX}
\def\bas{-2.5*\HtX-2*\HtY}
% Ligne de l'abscisse : x
\node at (-1*\Lrg,0) {$x$};
\node at (0*\Lrg,0) {$-\infty$};
\node at (2*\Lrg,0) {$4$};
\node at (4*\Lrg,0) {$+\infty$};
% Ligne de la dérivée : f'(x)
\node at (-1*\Lrg,-1*\HtX) {$f'(x)$};
\node at (0*\Lrg,-1*\HtX) {$$};
\node at (1*\Lrg,-1*\HtX) {$+$};
\node at (3*\Lrg,-1*\HtX) {$+$};
\node at (4*\Lrg,-1*\HtX) {$$};
% Ligne de la fonction : f(x)
\node  at (-1*\Lrg,{-2*\HtX+(-1)*\HtY}) {$f(x)$};
\node (f1) at (0*\Lrg,{-2*\HtX+(-2)*\HtY}) {$$};
\node[left] (f2) at (2*\Lrg,{-2*\HtX+(0)*\HtY}) {$$};
\node[right] (f3) at (2*\Lrg,{-2*\HtX+(-2)*\HtY}) {$$};
\node (f4) at (4*\Lrg,{-2*\HtX+(0)*\HtY}) {$$};
% Flèches
\draw[fleche] (f1) -- (f2);
\draw[fleche] (f3) -- (f4);
% Doubles barres
\draw[double distance=2pt] (2*\Lrg,\lignex-0.1*\HtX) -- (2*\Lrg,\lignef+0.1*\HtX);
\draw[double distance=2pt] (2*\Lrg,\lignef-0.1*\HtX) -- (2*\Lrg,\bas+0.1*\HtX);
% Encadrement
\draw[cadre] (\separateur,\haut) -- (\separateur,\bas);
\draw[cadre] (\gauche,\haut) rectangle  (\droite,\bas);
\draw[cadre] (\gauche,\lignex) -- (\droite,\lignex);
\draw[cadre] (\gauche,\lignef) -- (\droite,\lignef);
\end{tikzpicture}
\end{center}
%:-+-+-+-+- Fin

%:>>>>> code du tableau à ré-injecter
%[
%	["x", "f'(x)", "f(x)"],
%	["-\\infty", "", "+", ""],
%	["4", ":", "+", ":"],
%	["+\\infty", "", "?", ""]
%]

\item {\footnotesize Démontrer ,par récurrence, que pour tout entier naturel $n$ on a : $0\leq v_{n}\leq v_{n+1}\leq 1$.}

\begin{sol}
Notons $\mathscr P(n) : 0\leq v_{n}\leq v_{n+1}\leq 1$

\begin{itemize}
\item \textit{\textbf{Initialisation}} : Montrons que $\mathscr P$ est vraie au rang $0$

De fait $v_1=f(v_0)=\dfrac{2\times 0+3	}{0+4}=0,75$ et $v_0=0$, donc on a bien $ 0\leq v_{0}\leq v_{1}\leq 1$

\item \textbf{\textit{Hérédité}} : Montrons que si $  0\leq v_{n}\leq v_{n+1}\leq 1$ alors $  0\leq v_{n}\leq v_{n+1}\leq 1$
Comme $0\leq v_{n}\leq v_{n+1}\leq 1$ et comme $f$ est strictement croissante sur $[0;1]$ on a :

$$ f(0) \leq f(v_n)\leq f(v_{n+1})\leq f(1) $$
 et donc :
 
 $$ \dfrac{3}{4}\leq v_{n+1}\leq v_{n+2}\leq 1 $$
 ce qui est mieux que ce nous souhaitions démontrer donc $\mathscr P$ est héréditaire.


\item \textbf{\textit{Conclusion}} : $\mathscr P$ est initialisée à partir de $n=0$ et est héréditaire donc pour tout entier naturel $n$ la suite $(v_n)$ est croissante et bornée entre $0$ et $1$
\end{itemize}
\end{sol} 

\item{\footnotesize  En déduire que la suite $(v_n)$ converge vers un nombre réel $\ell$. }

\begin{sol}
Comme $(v_n)$ est croissante et majorée par $1$ alors elle converge vers un réel qui est inférieur ou éventuellement égal à $1$.
\end{sol}
\end{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item {\footnotesize Résoudre, dans $\R$, l'équation $x=\dfrac{2x+3}{x+4}$}

\begin{sol}
On a, bien entendu pour $x\neq -4$ :  $$ x=\dfrac{2x+3}{x+4} \Longleftrightarrow x(x+4)=2x+3 \Longleftrightarrow x^2+2x-3=0$$

$\Delta=4+12=16$ de sorte que l'équation admet deux solutions que voici :

 $$x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-2-4}{2}=-3\qquad \text{et}\qquad x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=1$$
\end{sol}
\item {\footnotesize Déterminer la limite $\ell$ de la suite $(v_n)$.}

\begin{sol}
On sait que $(v_n)$ converge, disons que $v_n$ converge vers $\ell$. Dans ce cas, $\lim\limits_{n \to+\infty} \dfrac{2v_n+3}{v_n+4}=\dfrac{2\ell+3}{\ell+4}$ et $\lim\limits_{n \to+\infty}  v_{n+1}=\ell$ d'où on tire le fait que $\ell$ est solution de l'équation $$ \ell=\dfrac{2\ell+3}{\ell+4}$$

Ainsi $\ell=-3$ ou $1$ mais puisque $(v_n)$ est minorée par $0$ alors $(v_n)$ converge vers $1$.
\end{sol}
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exoi}



\end{document}
