\documentclass[a4paper,10pt,french]{article}


\input macrodwicky.tex
\geometry{verbose,letterpaper,tmargin=1cm,bmargin=1cm,lmargin=2cm,rmargin=2cm}

\begin{document}
\pagestyle{empty}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune
\textbf{Nom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$ \hfill \textbf{Pr\'enom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$  \hfill Classe :$\dots\dots$\\
\psframebox[linestyle=solid,shadow=true,framearc=0.5,fillcolor=vert!30]{
\begin{minipage}{17cm}
\begin{center}
\vspace{1mm}
\textsc{\textbf{ Correction de l'interrogation n$^{\circ}1$ }}
\end{center}
\vspace{-3mm}
\end{minipage}
}
\setcounter{section}{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	 Interro
\begin{center}
\textit{\textbf{On prendra soin de coller le sujet sur la copie. La note tiendra compte de la qualité de la rédaction et de l'application.}}
\end{center}

\begin{exoi}\hfill (4 points)
\begin{footnotesize}

On considère la suite $(v_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par :
$$ v_n=\dfrac{n-1}{n^2+1}$$
Déterminer $\lim\limits_{n\to +\infty} v_n$.
\end{footnotesize}
\end{exoi}

\begin{exoi}\hfill (6 points)\\
\begin{footnotesize}
Soit $(u_n)$ une suite définie par $u_0=0$ et $u_{n+1}=\dfrac{1+2u_n}{2+u_n}$ pour tout entier naturel $n$.

\end{footnotesize}
\begin{enumerate}
\item {\footnotesize Soit $f(x)=\dfrac{1+2x}{2+x}$. Démontrer que la fonction $f$ est strictement croissante sur $[0;+\infty[$.}

Pour $x\neq -2$ :
$$f'(x)=\dfrac{(1+2x)'(2+x)-(1+2x)(2+x)'}{(2+x)^2}=\dfrac{2(2+x)-(1+2x)}{(2+x)^2}=\dfrac{4+2x-1-2x}{(2+x)^2}=\dfrac{3}{(2+x)^2}$$ 

\input tabvar
$$\tabvar{%
\tx{x}&\tx{-\infty}&&\tx{-2}&&\tx{+\infty}\cr
\tx{f'(x)}&&\tx{+}&\doubletraitmilieu&\tx{+}&\cr
\tx{f(x)}&&\fm&\doubletraitmilieu&\fm&\cr
}$$
\item {\footnotesize Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$ on a $0\leq u_n<1$.}

Notons $\mathscr P(n) :0\leq u_n<1$

\begin{itemize}
\item \textbf{\textit{Initialisation}} : Montrons que $\mathscr P$ est vraie au rang $0$.

On sait que $u_0=0$ et on a bien $0\leq 0<1$ donc $\mathscr P$ est vraie au rang $0$.
\item \textbf{\textit{Hérédité}} : Montrons que si $0\leq u_n<1$ alors $0\leq u_{n+1}<1$

On sait que $u_{n+1}=\dfrac{1+2u_n}{2+u_n}$ et on suppose $0\leq u_n<1$

On a la série d'équivalence :

\begin{align*}
& 0\leq u_n<1 \\
\Longleftrightarrow & f(0)\leq f(u_n)<f(1)\\
\Longleftrightarrow  & \dfrac{1}{2}\leq u_{n+1}<1\\
\end{align*}

donc $\mathscr P$ est héréditaire.

\item \textbf{\textit{Conclusion}} : $\mathscr P$ est initialisée à partir du rang $0$ et est héréditaire donc :
$$ 0\leq u_n<1$$
\end{itemize}

\item {\footnotesize Démontrer que la suite $(u_n)$ est strictement croissante. Que peut-on en déduire ?}

Notons $\mathscr P(n) :u_n<u_{n+1}$

\begin{itemize}
\item \textbf{\textit{Initialisation}} : Montrons que $\mathscr P$ est vraie au rang $0$.

On sait que $u_0=0$ et on a $u_1=\dfrac{1}{2}$ donc $u_0<u_1$ et donc $\mathscr P$ est vraie au rang $0$.
\item \textbf{\textit{Hérédité}} : Montrons que si $u_n<u_{n+1}$ alors $u_{n+1}<u_{n+2}$

On sait que $u_{n+1}=\dfrac{1+2u_n}{2+u_n}$ et on suppose $u_n<u_{n+1}$

On a la série d'équivalence :

\begin{align*}
& u_n<u_{n+1}\\
\Longleftrightarrow & f(u_n)<f(u_{n+1})\\
\Longleftrightarrow  & u_n<u_{n+1}\\
\end{align*}

donc $\mathscr P$ est héréditaire.

\item \textbf{\textit{Conclusion}} : $\mathscr P$ est initialisée à partir du rang $0$ et est héréditaire donc la suite $(u_n)$ est strictement croissante.

On peut déduire du fait que $(u_n)$ est majorée par $1$ et est strictement croissante que $(u_n)$ converge vers un réel $\ell$ ayant la particularité d'être inférieur ou égal à 1.
\end{itemize}
\end{enumerate}
\end{exoi}

\pagebreak
\setcounter{exoBac}{0}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune
\textbf{Nom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$ \hfill \textbf{Pr\'enom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$  \hfill Classe :$\dots\dots$\\
\psframebox[linestyle=solid,shadow=true,framearc=0.5,fillcolor=vert!30]{
\begin{minipage}{17cm}
\begin{center}
\vspace{1mm}
\textsc{\textbf{ Interrogation n$^{\circ}1$ }}
\end{center}
\vspace{-3mm}
\end{minipage}
}
\setcounter{section}{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	 Interro
\begin{center}
\textit{\textbf{On prendra soin de coller le sujet sur la copie. La note tiendra compte de la qualité de la rédaction et de l'application.}}
\end{center}

\begin{exoi}\hfill (4 points)
\begin{footnotesize}

Soit $(u_n)$ une suite définie pour tout entier naturel $n$ par $u_0=2$ et $u_{n+1}=\dfrac{u_n}{1+u_n}$

\end{footnotesize}
\begin{enumerate}
\item \begin{footnotesize}
Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$ on a :
$$ u_n=\dfrac{2}{2n+1}$$
\end{footnotesize}

\begin{sol}
Notons $\mathscr P(n)$ la propriété suivante :
$$ \mathscr P(n) : u_n=\dfrac{2}{2n+1}$$
\begin{itemize}
\item \textbf{\textit{Initialisation}} : Montrons que $ \mathscr P$ est vraie pour $n=0$.

Pour cela calculons $\dfrac{2}{2\times 0+1}=2$ et puisque $u_0=2$ la propriété $\mathscr P$ est vraie pour $n=0$.
\item \textbf{\textit{Hérédité}} : Montrons que si $u_n=\dfrac{2}{2n+1}$ alors $u_{n+1}=\dfrac{2}{2(n+1)+1}=\dfrac{2}{2n+3}$

Nous savons que  $u_{n+1}=\dfrac{u_n}{1+u_n}$ et nous supposons que $u_n=\dfrac{2}{2n+1}$, par conséquent nous en déduisons que :
$$ u_{n+1}= \dfrac{\frac{2}{2n+1}}{1+\frac{2}{2n+1}}=\dfrac{\frac{2}{2n+1}}{\frac{2n+1+2}{2n+1}}=\dfrac{\frac{2}{2n+1}}{\frac{2n+3}{2n+1}}=\dfrac{2}{2n+1}\times \dfrac{2n+1}{2n+3}=\dfrac{2}{2n+3}$$

et donc $\mathscr P$ est une propriété héréditaire.
\item \textbf{\textit{Conclusion}} : $\mathscr P$ est initialisée à partir de $n=0$ et est héréditaire donc on a démontré par récurrence que :
$$ \forall n\in \N : \qquad u_n=\dfrac{2}{2n+1}$$
\end{itemize}
 \end{sol}
\item {\footnotesize En déduire la limite de la suite $(u_n)$.}

\begin{sol}
Comme $\lim\limits_{n\to+\infty} 2n+1=+\infty$, on obtient par quotient :
$$ \lim\limits_{n\to+\infty} \dfrac{2}{2n+1}=0 \Longleftrightarrow \lim\limits_{n \to+\infty} u_n=0$$
\end{sol}
\end{enumerate} 
\end{exoi}

\begin{exoi}\hfill (6 points)\\
\begin{footnotesize}
On considère la suite $(v_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $v_0=1$ et $v_{n+1}=\sqrt{v_n+3}$

\end{footnotesize}
\begin{enumerate}
\item {\footnotesize Démontrer, par récurrence, que la suite $(v_n)$ est croissante.}


\begin{sol}
Notons $\mathscr P(n)$ la propriété suivante :
$$ \mathscr P(n) : 0<v_n\leq v_{n+1}$$
\begin{itemize}
\item \textbf{\textit{Initialisation}} : Montrons que $ \mathscr P$ est vraie pour $n=0$.

Pour cela calculons $v_1=\sqrt{1+3}=2$ et puisque $v_0=1<2$ la propriété $\mathscr P$ est vraie pour $n=0$.
\item \textbf{\textit{Hérédité}} : Montrons que si $ 0<v_n\leq v_{n+1}$ alors $ 0<v_{n+1}\leq v_{n+2}$

Nous savons que  $v_{n+1}=\sqrt{v_n+3}$ et nous supposons que  $0< v_n\leq v_{n+1}$, par conséquent nous en déduisons que :
$$  0<v_n\leq v_{n+1} \Longrightarrow 3<v_n+3\leq v_{n+1}+3 \Longrightarrow \sqrt{3}<\sqrt{v_n+3}\leq \sqrt{v_{n+1}+3} \Longrightarrow \sqrt{3}<v_{n+1}\leq v_{n+2} \Longrightarrow 0<v_{n+1}\leq v_{n+2}$$



et donc $\mathscr P$ est une propriété héréditaire.
\item \textbf{\textit{Conclusion}} : $\mathscr P$ est initialisée à partir de $n=0$ et est héréditaire donc on a démontré par récurrence que la suite était croissante, au passage on a aussi démontré qu'elle était minorée par $0$ (obligatoire pour pouvoir appliquer la racine).
\end{itemize}
 \end{sol}
\item {\footnotesize Démontrer que pour tout entier naturel $n$ on a : $0<v_n<3$. }

\begin{sol}
Notons $\mathscr P(n)$ la propriété suivante :
$$ \mathscr P(n) : 0<v_n<3$$
\begin{itemize}
\item \textbf{\textit{Initialisation}} : Montrons que $ \mathscr P$ est vraie pour $n=0$.

C'est évident puisque $v_0=1$  est compris entre 0 et 3, donc la propriété $\mathscr P$ est vraie pour $n=0$.
\item \textbf{\textit{Hérédité}} : Montrons que si $ 0<v_n<3$ alors $ 0<v_{n+1}<3$

Nous savons que  $v_{n+1}=\sqrt{v_n+3}$ et nous supposons que  $0< v_n<3$, par conséquent nous en déduisons que :
$$  0<v_n<3 \Longrightarrow 3<v_n+3<6 \Longrightarrow \sqrt{3}<\sqrt{v_n+3}<\sqrt{6} \Longrightarrow 0<v_{n+1}<3 $$



et donc $\mathscr P$ est une propriété héréditaire.
\item \textbf{\textit{Conclusion}} : $\mathscr P$ est initialisée à partir de $n=0$ et est héréditaire donc on a démontré par récurrence que la suite était minorée par $0$ et majorée par $3$.
\end{itemize}
\end{sol}

\begin{footnotesize}
Que peut-on déduire des deux résultats précédents ?

\end{footnotesize}

\begin{sol}
La suite $(v_n)$ est croissante et majorée, donc d'après le théorème de convergence monotone elle converge vers un réel $\ell$ qui a la particularité d'être inférieur ou égal à $3$.
\end{sol}

\item {\footnotesize On considère une autre suite $(w_n)$ définie par la relation $w_{n+1}=\sqrt{w_n+3}$ de premier terme inconnue. Déterminer $w_0$ de telle manière à ce que la suite soit constante.}

\begin{sol}
La suite $(w_n)$ est constante si et seulement si $w_{n+1}=w_n \Longleftrightarrow \sqrt{w_n+3}=w_n$ pour tout entier naturel $n$

Premièrement on doit avoir $w_n>0$ et deuxièmement $\sqrt{w_n+3}=w_n\Longrightarrow w_n+3=w_n^2\Longrightarrow w_n^2-w_n-3=0$

Cherchons les racines du trinôme $x^2-x-3$ en calculant son discriminant $\Delta=b^2-4ac=1+12=13$ donc ce trinôme admet deux racines :
$$ x_1=\dfrac{1-\sqrt{13}}{2}\qquad \text{et}\qquad x_2=\dfrac{1+\sqrt{13}}{2}$$
Seule $x_2>0$ donc pour que la suite soit constante il n'existe qu'une possibilité, celle de choisir $w_0=x_2$.
\end{sol}
\end{enumerate}
\end{exoi}



\end{document}